Hay un tipo especial de sistema que requiere estudio adicional. Este tipo de sistema se denomina sistema homogéneo de ecuaciones, que definimos anteriormente en Definición . Nuestro enfoque en esta sección es considerar qué tipos de soluciones son posibles para un sistema homogéneo de ecuaciones.
Considere la siguiente definición.
Definition \(\pageIndex{1}\): Solución trivial
Considere el sistema homogéneo de ecuaciones dado por \ Then, \(x_{1} = 0, x_{2} = 0, \cdots, x_{n} =0\) es siempre una solución a este sistema. A esto lo llamamos la solución trivial .
Si el sistema tiene una solución en la que no todos los \(x_1, \cdots, x_n\) son iguales a cero, entonces llamamos a esta solución no trivial . La solución trivial no nos dice mucho sobre el sistema, ya que dice que \(0=0\)! Por lo tanto, cuando se trabaja con sistemas homogéneos de ecuaciones, queremos saber cuándo el sistema tiene una solución no trivial.
Supongamos que tenemos un sistema homogéneo de ecuaciones \(m\), utilizando variables \(n\), y supongamos que \(n > m\). En otras palabras, hay más variables que ecuaciones. Entonces, resulta que este sistema siempre tiene una solución no trivial. El sistema no solo tendrá una solución no trivial, sino que también tendrá infinitas soluciones. También es posible, pero no necesario, tener una solución no trivial si \(n=m\) y \(n<m\).
Considere el siguiente ejemplo.
Ejemplo \(\pageIndex{1}\): Soluciones a un Sistema Homogéneo de Ecuaciones
Encuentre las soluciones no triviales al siguiente sistema homogéneo de ecuaciones \
Solución
Observe que este sistema tiene\ (m = 2\) ecuaciones y\ (n = 3\) variables, so\(n>m\). Por lo tanto, en nuestra discusión anterior, esperamos que este sistema tenga infinitas soluciones.
El proceso que utilizamos para encontrar las soluciones para un sistema homogéneo de ecuaciones es el mismo que usamos en la sección anterior. Primero, construimos la matriz aumentada, dada por\\] Luego, llevamos esta matriz a su, dada a continuación. \\ ] El sistema de ecuaciones correspondiente es \ Puesto que \(z\) no está restringido por ninguna ecuación, sabemos que esta variable se convertirá en nuestro parámetro. Sea \(z=t\) donde \(t\) es cualquier número. Por lo tanto, nuestra solución tiene la forma\, por lo tanto, este sistema tiene infinitas soluciones, con un parámetro \(t\).
Supongamos que tuviéramos que escribir la solución del ejemplo anterior de otra forma. Específicamente, \ se puede escribir como \ = \ left + t \ left\] Observe que hemos construido una columna a partir de las constantes de la solución (todas iguales a \(0\)), así como una columna correspondiente a los coeficientes de \(t\) en cada ecuación. Si bien discutiremos esta forma de solución más en capítulos posteriores, por ahora considere la columna de coeficientes del parámetro \(t\). En este caso, esta es la columna \(\left\).
Hay un nombre especial para esta columna, que es solución básica. Las soluciones básicas de un sistema son columnas construidas a partir de los coeficientes de los parámetros de la solución. A menudo denotamos soluciones básicas por \(X_1, X_2\), etc., dependiendo de cuántas soluciones se produzcan. Por lo tanto, el ejemplo tiene la solución básica \(X_1 = \left\).
Exploramos esto más a fondo en el siguiente ejemplo.
Ejemplo \(\pageIndex{1}\): Soluciones básicas de un Sistema homogéneo
Considere el siguiente sistema homogéneo de ecuaciones. \ Encuentre las soluciones básicas para este sistema.
Solución
La matriz aumentada de este sistema y el resultado son \ \rightarrow \cdots \rightarrow \left\] Cuando se escribe en ecuaciones, este sistema viene dado por \ Notice que solo \(x\) corresponde a una columna pivotante. En este caso, tendremos dos parámetros, uno para \(y\) y otro para \(z\). Sea \(y = s\) y \(z=t\) para cualquier número \(s\) y \(t\). Entonces, nuestra solución se convierte en \ , que se puede escribir como \ = \ left + s \ left + t \ left\ ] Puede ver aquí que tenemos dos columnas de coeficientes correspondientes a parámetros, específicamente una para \(s\) y otra para \(t\). Por lo tanto, este sistema tiene dos soluciones básicas! Estos son \, X_2 = \left\]
ahora presentamos una nueva definición.
Definition \(\pageIndex{1}\): Combinación lineal
Let \(X_1,\cdots ,X_n,V\) ser matrices de columna. Entonces se dice que \(V\) es una combinación lineal de las columnas \(X_1,\cdots , X_n\) si existen escalares, \(a_{1},\cdots ,a_{n}\) tal que \
Un resultado notable de esta sección es que una combinación lineal de las soluciones básicas es de nuevo una solución para el sistema. Aún más notable es que cada solución se puede escribir como una combinación lineal de estas soluciones. Por lo tanto , si tomamos una combinación lineal de las dos soluciones como ejemplo, esto también sería una solución. Por ejemplo, podríamos tomar la siguiente combinación lineal
\ + 2 \ left= \ left\ ] Debería tomarse un momento para verificar que \ = \ left\]
es de hecho una solución al sistema en el ejemplo .
Otra forma de obtener más información sobre las soluciones de un sistema homogéneo es considerar el rango de la matriz de coeficientes asociada. Ahora definimos lo que se entiende por el rango de una matriz.
Definición \(\pageIndex{1}\): Rango de una matriz
Sea \(A\) una matriz y considere cualquiera de \(A\). Entonces, el número \(r\) de las entradas principales de \(A\) no depende de la que usted elija, y se llama el rango de \(A\). Lo denotamos por Rango (\(A\)).
De manera similar, podríamos contar el número de posiciones de pivote (o columnas de pivote) para determinar el rango de \(A\).
Ejemplo \(\pageIndex{1}\): Hallar el Rango de una Matriz
Considere la matriz\\] ¿Cuál es su rango?
Solución
Primero, necesitamos encontrar la de \(A\). A través del algoritmo habitual, encontramos que esto es \\] Aquí tenemos dos entradas iniciales, o dos posiciones de pivote, que se muestran arriba en los cuadros.El rango de \(A\) es \(r = 2.\)
Observe que habríamos logrado la misma respuesta si hubiéramos encontrado la de \(A\) en lugar de la.
Supongamos que tenemos un sistema homogéneo de ecuaciones \(m\) en variables \(n\), y supongamos que \(n > m\). De nuestra discusión anterior, sabemos que este sistema tendrá infinitas soluciones. Si consideramos el rango de la matriz de coeficientes de este sistema, podemos averiguar aún más sobre la solución. Tenga en cuenta que estamos viendo solo la matriz de coeficientes, no toda la matriz aumentada.
Teorema \(\pageIndex{1}\): Rango y Soluciones para un Sistema Homogéneo
Sea \(A\) la matriz de coeficientes \(m \veces n\) correspondiente a un sistema homogéneo de ecuaciones, y suponga que \(A\) tiene rango \(r\). Entonces, la solución al sistema correspondiente tiene parámetros \(n-r\).
Considere nuestro ejemplo anterior en el contexto de este teorema. El sistema en este ejemplo tiene ecuaciones \(m = 2\) en variables \(n = 3\). Primero, porque \(n>m\), sabemos que el sistema tiene una solución no trivial y, por lo tanto, infinitas soluciones. Esto nos dice que la solución contendrá al menos un parámetro. ¡El rango de la matriz de coeficientes puede decirnos aún más sobre la solución! El rango de la matriz de coeficientes del sistema es \(1\), ya que tiene una entrada principal en . El teorema nos dice que la solución tendrá parámetros \(n-r = 3-1 = 2\). Puede comprobar que esto es cierto en el ejemplo solución a .
Observe que si \(n=m\) o \(n<m\), es posible tener una única solución (que será la solución trivial) o una infinidad de soluciones.
Aquí no nos limitamos a sistemas homogéneos de ecuaciones. El rango de una matriz se puede usar para aprender sobre las soluciones de cualquier sistema de ecuaciones lineales. En la sección anterior, discutimos que un sistema de ecuaciones no puede tener solución, una solución única,o infinitas soluciones. Supongamos que el sistema es consistente, sea homogéneo o no. El siguiente teorema nos dice cómo podemos usar el rango para aprender sobre el tipo de solución que tenemos.
Teorema \(\pageIndex{1}\): Rango y Soluciones para un Sistema Consistente de Ecuaciones
Sea \(A\) la matriz aumentada \(m \times \left( n+1 \right)\) correspondiente a un sistema consistente de ecuaciones en variables \(n\), y suponga que \(A\) tiene rango \(r\). A continuación,
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el sistema tiene una solución única si \(r = n\)
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el sistema tiene infinidad de soluciones si \(r < n\)
no vamos a presentar una prueba formal de este, pero tenga en cuenta las siguientes discusiones.
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Sin solución El teorema anterior asume que el sistema es consistente, es decir, que tiene una solución. Resulta que es posible que la matriz aumentada de un sistema sin solución tenga cualquier rango \(r\) siempre y cuando \(r>1\). Por lo tanto, debemos saber que el sistema es consistente para poder usar este teorema.
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Solución única Suppose \(r = n\). Luego, hay una posición de pivote en cada columna de la matriz de coeficientes de \(A\). Por lo tanto, hay una solución única.
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Infinitas soluciones Suponen \(r< n\). Luego hay infinitas soluciones. Hay menos posiciones pivotantes (y, por lo tanto, menos entradas iniciales) que las columnas, lo que significa que no todas las columnas son columnas pivotantes. Las columnas que son \(no\) columnas pivotantes corresponden a parámetros. De hecho, en este caso tenemos parámetros \(n-r\).