Álgebra sin límites

Tasas de cambio

Las funciones lineales se aplican a problemas del mundo real que involucran una tasa constante.

Tasa de Cambio

ecuaciones Lineales a menudo incluyen una tasa de cambio. Por ejemplo, la velocidad a la que la distancia cambia con el tiempo se llama velocidad. Si se conocen dos puntos en el tiempo y la distancia total recorrida, se puede determinar la tasa de cambio, también conocida como pendiente. A partir de esta información, se puede escribir una ecuación lineal y luego se pueden hacer predicciones a partir de la ecuación de la línea.

Si no se especifica la unidad o cantidad con respecto a la cual algo está cambiando, generalmente la tasa es por unidad de tiempo. El tipo de frecuencia más común es «por unidad de tiempo», como la velocidad, la frecuencia cardíaca y el flujo. Las proporciones que no tienen un denominador temporal incluyen los tipos de cambio, las tasas de alfabetización y el campo eléctrico (en voltios/metro).

Al describir las unidades de una frecuencia, la palabra «per» se usa para separar las unidades de las dos mediciones utilizadas para calcular la frecuencia (por ejemplo, una frecuencia cardíaca se expresa «latidos por minuto»).

Tasa de Cambio: Aplicación en el mundo real

Un atleta comienza la práctica normal para la siguiente maratón durante la noche. A las 6: 00 pm comienza a correr y sale de su casa. A las 7: 30 pm, el atleta termina la carrera en casa y ha corrido un total de 7,5 millas. ¿Qué tan rápido fue su velocidad promedio en el transcurso de la carrera?

La velocidad de cambio es la velocidad de su carrera; distancia a lo largo del tiempo. Por lo tanto, las dos variables son tiempo (x) y distancia (y). El primer punto es en su casa, donde su reloj se lee a las 6: 00 pm. Esta es la hora de inicio, así que pongámoslo en 0. Así que nuestro primer punto es (0,0) porque aún no corrió a ninguna parte. Pensemos en nuestro tiempo en horas. Nuestro segundo punto es 1,5 horas después, y corrimos 7,5 millas. El segundo punto es (1.5,7.5). Nuestra velocidad (tasa de cambio) es simplemente la pendiente de la línea que conecta los dos puntos. La pendiente, dada por: m = \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} se convierte en m = \frac{7.5}{1.5}=5 millas por hora.

Ejemplo: Grafica la línea que ilustra la velocidad

Para graficar esta línea, necesitamos la intersección en y y la pendiente para escribir la ecuación. La pendiente era de 5 millas por hora y como el punto de partida estaba en (0,0), la intersección en y es 0. Así que nuestra función final es y = 5x.

Con esta nueva función, ahora podemos responder algunas preguntas más.

• ¿Cuántas millas corrió después de la primera media hora? Usando la ecuación, si x = \frac{1} {2}, resuelve para y. Si y = 5x, entonces y = 5 (0.5)=2.5 millas.
• Si siguió corriendo al mismo ritmo durante un total de 3 horas, ¿cuántas millas habrá corrido? Si x=3, resuelve para y. Si y = 5x, entonces y = 5 (3) = 15 millas.

Hay muchas aplicaciones de este tipo para ecuaciones lineales. Cualquier cosa que implique una tasa de cambio constante se puede representar bien con una línea con la pendiente. De hecho, mientras tenga solo dos puntos, si sabe que la función es lineal, puede graficarla y comenzar a hacer preguntas. Solo asegúrate de que lo que estás pidiendo y graficando tenga sentido. Por ejemplo, en el ejemplo de maratón, el dominio es realmente solo x\geq0, ¡ya que no tiene sentido entrar en tiempo negativo y perder millas!

Modelos matemáticos lineales

Los modelos matemáticos lineales describen aplicaciones del mundo real con líneas.

Modelos matemáticos

Un modelo matemático es una descripción de un sistema que utiliza conceptos y lenguaje matemáticos. Los modelos matemáticos se utilizan no solo en las disciplinas de ciencias naturales e ingeniería, sino también en las ciencias sociales. El modelado lineal puede incluir el cambio de población, los cargos por llamadas telefónicas, el costo de alquilar una bicicleta, el control del peso o la recaudación de fondos. Un modelo lineal incluye la tasa de cambio (m) y la cantidad inicial, la intersección en y b. Después de escribir el modelo y hacer un gráfico de la línea, cualquiera de los dos se puede usar para hacer predicciones sobre los comportamientos.

Modelo Lineal de la vida real

Muchas actividades cotidianas requieren el uso de modelos matemáticos, quizás inconscientemente. Una dificultad con los modelos matemáticos radica en traducir la aplicación del mundo real en una representación matemática precisa.

Ejemplo: Alquilar una furgoneta de mudanza

Una empresa de alquiler cobra una tarifa fija de 3 30 y 0 0.25 adicionales por milla para alquilar una furgoneta de mudanza. Escriba una ecuación lineal para aproximar el costo y (en dólares) en términos de x, el número de millas recorridas. ¿Cuánto costaría un viaje de 75 millas?

Usando la forma de intersección de pendiente de una ecuación lineal, con el costo total etiquetado como y (variable dependiente) y las millas etiquetadas como x (variable independiente):

\displaystyle y=mx+b

El costo total es igual a la tarifa por milla multiplicada por el número de millas recorridas más el costo de la tarifa plana:

\displaystyle y=0.25 x+30

Para calcular el costo de un viaje de 75 millas, sustituya 75 por x en la ecuación:

\displaystyle \begin{align} y&=0,25 x+30\\ &&&=48.75 \end{align}

la vida Real con el Modelo de Ecuaciones Múltiples

también Es posible modelo de múltiples líneas y sus ecuaciones.

Ejemplo

Inicialmente, los trenes A y B están a 325 millas el uno del otro. El tren A viaja hacia B a 50 millas por hora y el tren B viaja hacia A a 80 millas por hora. ¿A qué hora se encontrarán los dos trenes? En este momento, ¿hasta dónde viajaban los trenes?

Primero, comience con las posiciones de partida de los trenes, (intercepciones y, b). Las salidas del tren A son el origen, (0,0). Dado que el tren B está a 325 millas del tren A inicialmente, su posición es (0,325).

En segundo lugar, para escribir las ecuaciones que representan la distancia total de cada tren en términos de tiempo, calcule la tasa de cambio para cada tren. Dado que el tren A viaja hacia el tren B, que tiene un valor y mayor, la tasa de cambio del tren A debe ser positiva e igual a su velocidad de 50. El tren B está viajando hacia A, que tiene un valor y menor, lo que le da a B una tasa de cambio negativa: -80.

Las dos líneas son así:

\displaystyle y_A=50x\\

:

\displaystyle y_B=−80x+325

Los dos trenes se reunirá donde se cruzan las dos líneas. Para encontrar dónde se cruzan las dos líneas, establezca las ecuaciones iguales entre sí y resuelva para x:

\displaystyle y_{A}=y_{B}

\displaystyle 50x=-80x+325

Resolver para x da:

\displaystyle x=2.5

Los dos trenes se encuentran después de 2.5 horas. Para encontrar dónde está, conecte 2.5 en cualquiera de las ecuaciones.

Conectarlo a la primera ecuación nos da 50(2.5)=125, lo que significa que se encuentra después de que A viaje 125 millas.

Aquí está el modelo gráfico de distancia versus tiempo de los dos trenes:

Ajustar una curva

Ajustar una curva con una línea intenta dibujar una línea para que «se ajuste mejor» a todos los datos.

Ajuste de curva

El ajuste de curva es el proceso de construcción de una curva, o función matemática, que tiene el mejor ajuste a una serie de puntos de datos, posiblemente sujetos a restricciones. El ajuste de curva puede implicar la interpolación, donde se requiere un ajuste exacto a los datos, o el suavizado, en el que se construye una función «suave» que se ajusta aproximadamente a los datos. Las curvas ajustadas se pueden usar como ayuda para la visualización de datos, para inferir valores de una función donde no hay datos disponibles y para resumir las relaciones entre dos o más variables. La extrapolación se refiere al uso de una curva ajustada más allá del rango de los datos observados, y está sujeta a un mayor grado de incertidumbre, ya que puede reflejar el método utilizado para construir la curva tanto como refleja los datos observados.

En esta sección, solo ajustaremos líneas a puntos de datos, pero debe tenerse en cuenta que se pueden ajustar funciones polinómicas, círculos, funciones por piezas y cualquier número de funciones a datos y es un tema muy utilizado en las estadísticas.

Fórmula de regresión lineal

La regresión lineal es un enfoque para modelar la relación lineal entre una variable dependiente, y y una variable independiente, x. Con la regresión lineal, una línea en forma de intersección de pendiente, y=mx+b se encuentra que «se ajusta mejor» a los datos.

El modelo de regresión lineal más simple y quizás más común es la aproximación de mínimos cuadrados ordinarios. Esta aproximación intenta minimizar las sumas de la distancia al cuadrado entre la línea y cada punto.

\displaystyle m=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}\sum_{j=1}^{n}y_{j}}{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}^{2})-\frac{1}{n}(\sum_{i=1}^{n}x_{i})^{2}}

Para encontrar la pendiente de la recta de mejor ajuste, calcular en los siguientes pasos:

1. La suma del producto de las coordenadas x e y \sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}.
2. La suma de las coordenadas x \sum_{i=1}^{n}x_{i}.
3. La suma de las coordenadas \sum_{j=1}^{n}y_{j}.
4. La suma de los cuadrados de las coordenadas x \sum_{i=1}^{n}(x_{i}^{2}).
5. La suma de las coordenadas x al cuadrado (\sum_{i=1}^{n}x_{i})^{2}.
6. El cociente del numerador y el denominador.

\displaystyle \begin{align} b&= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_{1} – m \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i} \\ &= \left (\bar{y} – m \bar{x} \derecho) \end{alinean}

Para encontrar el intercepto (b), calcular utilizando los siguientes pasos:

1. El promedio de las coordenadas. Sea \bar{y}, pronunciado y-bar, que representa el valor medio (o medio) y de todos los puntos de datos: \bar y = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} y_{i}.
2. El promedio de las coordenadas x. Respectivamente, \bar{x}, pronunciado x-bar, es el valor medio (o promedio) de x de todos los puntos de datos: \bar x=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_{i}.
3. Reemplace los valores en la fórmula anterior b= \ bar{y} – m \bar{x}.

Usando estos valores de m y b, ahora tenemos una línea que se aproxima a los puntos en el gráfico.

Ejemplo: Escriba la línea de ajuste de mínimos cuadrados y, a continuación, grafique la línea que mejor se ajuste a los datos

Para n = 8 puntos: (-1,0),(0,0),(1,1),(2,2),(3,1),(4,2.5),(5,3) y (6,4).

Primero, encuentre la pendiente (m) y la intersección en y (b) que mejor se aproximen a estos datos, utilizando las ecuaciones de la sección anterior:

Para encontrar la pendiente, calcule:

1. La suma del producto de las coordenadas x e y \sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}.
2. La suma de las coordenadas x \sum_{i=1}^{n}x_{i}.
3. La suma de las coordenadas \sum_{i=1}^{n}y_{i}.

\displaystyle \begin{align} \sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}&&=57 \end{align} \displaystyle \begin{align} \sum_{i=1}^{n}x_{i}&&=20 \end{align}\displaystyle \begin{align} \sum_{i=1}^{n}y_{i}&&=13.5 \end{alinean}

\displaystyle m=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}\sum_{j=1}^{n}y_{j}}{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}^{2})-\frac{1}{n}(\sum_{i=1}^{n}x_{i})^{2}}

4. Calcular el numerador: El producto de la x
y coordenadas
menos una octava parte del producto de la suma de las coordenadas x y la suma de las coordenadas:

\displaystyle \sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}\sum_{j=1}^{n}y_{j}

El numerador en la pendiente de la ecuación es:

\displaystyle 57-\frac{1}{8}(20)(13.5)=23.25

5. Calcular el denominador: La
suma de los cuadrados de las coordenadas x menos de un octavo de la suma de las coordenadas x al cuadrado:

\displaystyle \sum_{i=1}^{n}(x_{i}^{2})-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i})^{2}

\displaystyle \begin{align} \sum_{i=1}^{n}(x_{i}^{2})&&=92 \end{alinean}

El denominador es 92-\frac{1}{8}(20)^{2}=92-50=42 y la pendiente es el cociente entre el numerador y el denominador: \frac{23.25}{42}\approx0.554.

Ahora para la intersección en y, (b) un octavo por el promedio de las coordenadas x: \bar{x}=\frac{20}{8}=2.5 y un octavo por el promedio de las coordenadas y: \bar{y} = \frac{13.5} {8} = 1.6875.

por lo Tanto b=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_{1} – m \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i} \\:

\displaystyle b\approx1.6875-0.554(2.5)=0.3025.

Nuestra ecuación final es, por lo tanto, y=0.554 x+0.3025, y esta línea se representa gráficamente junto con los puntos.

Valores atípicos y Regresión de Mínimos Cuadrados

Si tenemos un punto que está lejos de la línea de aproximación, entonces sesgará los resultados y empeorará la línea. Por ejemplo, digamos que en nuestro ejemplo original, en lugar del punto (-1,0) tenemos (-1,6).

Usando los mismos cálculos anteriores con el nuevo punto, los resultados son:m\approx0.0536 y b\approx2.3035, para obtener la nueva ecuación y=0.0536 x+2.3035.

Mirando los puntos y la línea en la nueva figura a continuación, esta nueva línea no se ajusta bien a los datos, debido al valor atípico (-1,6). De hecho, tratar de ajustar modelos lineales a datos cuadráticos, cúbicos o cualquier cosa no lineal, o datos con muchos valores atípicos o errores puede resultar en malas aproximaciones.