Ich unterrichte seit 1982 Mathematik an einer australischen High School und bin ein beitragender Autor von Mathematik-Lehrbüchern.
Gefangen drinnen an einem regnerischen Tag und mit nichts Interessantes im Fernsehen zu sehen, in Verzweiflung haben Sie vielleicht das Puzzle-Buch Ihres Kindes entdeckt und sind auf „magische Quadrate“ gestoßen. Sie konnten sie nicht abschließen, Frustration übernahm und Sie beschlossen, das kleinere von zwei Übeln zu wählen, indem Sie zum Surfen im Fernsehkanal zurückkehrten, bis Ihr Abzugsfinger RSI durch Überbeanspruchung der Fernbedienung erlag.
Jetzt ist jedoch ein guter Zeitpunkt, um diese eindringliche Frustration aus Ihrem Gedächtnis zu löschen und Ihre Freunde zu verblüffen, indem Sie die Kunst beherrschen, magische Quadrate zu erstellen.
Ein magisches Quadrat ist ein quadratisches Array von Zahlen mit der Eigenschaft, dass die Summe der Zahlen in jeder Zeile, Spalte und Diagonale gleich ist, bekannt als die „magische Summe“.
Die ‚Reihenfolge‘ ist die Anzahl der Zeilen und Spalten, also bedeutet ein magisches Quadrat der Ordnung 4, dass es 4 Zeilen und 4 Spalten hat. Wenn N die Reihenfolge ist, werden N x N verschiedene Zahlen verwendet, um das magische Quadrat zu vervollständigen.
Eine der frühesten bekannten Aufzeichnungen ist das Lo-Shu-Quadrat, das vor Tausenden von Jahren in der alten chinesischen Literatur beschrieben wurde und Teil der Feng-Shui-Astrologie ist. Die Geschichte besagt, dass ein Kaiser auf eine Schildkröte mit Markierungen auf seiner Schale stieß, die einem magischen Quadrat ähnelten, das aus 3 Reihen und 3 Spalten mit einer magischen Summe von 15 bestand. Diese magische Summe entspricht der Anzahl der Tage zwischen Neumond und Vollmond.
Wir werden uns zuerst ansehen, wie man magische Quadrate ungerader Ordnung konstruiert, wobei das kleinstmögliche magische Quadrat die Ordnung 3 hat. Dann werden wir sehen, wie man magische Quadrate vervollständigt, deren Reihenfolge durch 4 teilbar ist.
Die Konstruktionsmethode erfordert eine arithmetische Folge von Zahlen. Dies bedeutet, dass die Differenz zwischen aufeinanderfolgenden Termen der Sequenz den gleichen Wert hat. Die verwendete Zahlenfolge kann ganze Zahlen, ganze Zahlen, Brüche, Dezimalzahlen oder ein beliebiger anderer Zahlentyp sein, solange das Inkrement / Dekrement zwischen aufeinanderfolgenden Termen gleich bleibt.
Magic Sum
The sum of a Magic Square is given by the formula
How to create a magic square of odd order
The strategy is to fill squares with consecutive numbers by imagining that from your current position on the magic square, you are moving North East.
Als Beispiel konstruieren wir das Lo Shu Quadrat mit den Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Schritt 1. Platzieren Sie die erste Zahl immer in der mittleren Spalte der ersten Zeile.
Schritt 2.
Um sich nach Nordosten zu bewegen, bewegen Sie ein Leerzeichen nach rechts und ein Leerzeichen nach oben.
Wenn dies Sie außerhalb des Gitters führt, gehen Sie vertikal ganz nach unten und platzieren Sie die nächste Zahl dort.
Step 3.
Move one space right and one space up.
If you are outside the grid, go all the way to the left and place the next number there.
Step 4.
Bewegen Sie ein Leerzeichen nach rechts und ein Leerzeichen nach oben.
Wenn das Feld belegt ist, platzieren Sie die nächste Zahl in das Feld unmittelbar darunter.
Schritt 5
Bewegen Sie ein Leerzeichen nach rechts und ein Leerzeichen nach oben.
Step 6
Move one space right and one space up.
Step 7
Move one space right and one space up. This situation occurs for this corner only.
Platziere die nächste Zahl in das Quadrat darunter.
Schritt 8. Bewegen Sie das Leerzeichen nach rechts und ein Leerzeichen nach oben.
Gehen Sie wie in Schritt 3 ganz nach links und platzieren Sie dort die nächste Zahl.
Schritt 9.
Bewegen Sie ein Leerzeichen nach rechts und ein Leerzeichen nach oben.
Sie befinden sich außerhalb des Gitters, gehen Sie also vertikal ganz nach unten.
Folgen Sie der Methode in dieser Reihenfolge 5 magisches Quadrat, das die Zahlen verwendet 2, 4, 6, 8, …, 50.
Die magische Summe ist 130.
How to create a magic square whose order is divisible by 4
The smallest possible even-ordered magic square consists of 4 rows and 4 columns.
Verwenden wir die Zahlen 1, 2, 3, 4, …., 16, die eine magische Summe von 34 ergeben.
Zwei ‚Pässe‘ sind erforderlich, um die 64 Nummern einzugeben.
Beginnen Sie für den 1. Durchgang oben links und arbeiten Sie nacheinander nach rechts und dann nach unten, wobei Sie gleichzeitig über jedes Feld springen, das auf einer der beiden führenden Diagonalen liegt.
Für den 2. Durchgang rechts unten beginnen und nach links und dann nach oben arbeiten.
So erstellen Sie ein magisches 8 x 8-Quadrat
Die Methode, mit der wir ein magisches Quadrat der Ordnung 8 konstruieren, ist dieselbe wie die Methode, die für das 4 x 4 verwendet wird.
Die einzige zusätzliche Überlegung besteht darin, führende Diagonalen jedes 4 x 4 ‚Unterquadrats‘ einzubeziehen.
Verwenden wir die Zahlen 1, 2, 3, 4, …., 64, die eine magische Summe von 260 ergeben.
Für die 64 Nummern sind zwei ‚Pässe‘ erforderlich.
There are many intriguing properties of this magic square. For example, the sum of the diagonals of each 2 x 2 square is the same.
Here are several more interesting properties.
(6 + 7) – (2 + 3) = (62 + 63) – (58 + 59)
(41 + 49) – (9 + 17) = (48 + 56) – (16 + 24)
(12 + 13 + 20 + 21) + (44 + 45 + 52 + 53) = (26 + 27 + 34 + 35) + (30 + 31 + 38 + 39)
Magic Squares provide many patterns and number properties that can be explored at a far greater depth than what I have provided in this article. Ich behandle einige dieser Beziehungen in einem Video.
Fragen & Antworten
Frage: Können Sie magische Quadrate gerader Ordnung erstellen, die nicht durch 4 teilbar sind, z. B. 6 oder 10?
Antwort: Ja, es ist möglich, magische Quadrate zu haben, die gerade und nicht durch 4 teilbar sind. Schauen Sie sich Folgendes an.
http://www.math.wichita.edu/~richardson/mathematic…
Maria am 12.April 2018:
Danke! Sehr guter Artikel. Ich habe nach diesen Informationen gesucht und diese Seite ist viel informativer als andere und das Material ist gut erklärt und illustriert.