Eine Funktion verknüpft einen Eingang mit einem Ausgang.
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Es ist wie eine Maschine, die einen Eingang und einen Ausgang hat. Und die Ausgabe hängt irgendwie mit der Eingabe zusammen. |
| f(x) |
„f(x) = … “ ist die klassische Art, eine Funktion zu schreiben. |
Eingabe, Beziehung, Ausgabe
Wir werden viele Möglichkeiten sehen, über Funktionen nachzudenken, aber es gibt immer drei Hauptteile:
- Die Eingabe
- Die Beziehung
- Die Ausgabe
Beispiel: „Multiplizieren mit 2“ ist ein sehr einfache Funktion.
Hier sind die drei Teile:
| Input | Relationship | Output |
|---|---|---|
| 0 | × 2 | 0 |
| 1 | × 2 | 2 |
| 7 | × 2 | 14 |
| 10 | × 2 | 20 |
| … | … | … |
For an input of 50, what is the output?
Einige Beispiele für Funktionen
- x2 (Quadratur) ist eine Funktion
- x3+1 ist auch eine Funktion
- Sinus, Cosinus und Tangens sind Funktionen, die in der Trigonometrie verwendet werden
- und es gibt noch viel mehr!
Aber wir werden uns nicht mit bestimmten Funktionen befassen …
… stattdessen betrachten wir die allgemeine Idee einer Funktion.
Namen
Zunächst ist es sinnvoll, einer Funktion einen Namen zu geben.
Der gebräuchlichste Name ist „f“, aber wir können auch andere Namen wie „g“ haben … oder sogar „Marmelade“, wenn wir wollen.
Aber verwenden wir „f“:
Wir sagen „f von x ist gleich x im Quadrat“
Was in die Funktion geht, wird in Klammern gesetzt () nach dem Namen der Funktion:
Also zeigt uns f(x), dass die Funktion „f“ heißt, und „x“ geht hinein
Und wir sehen normalerweise, was eine Funktion mit der Eingabe macht :
f(x) = x2 zeigt uns, dass die Funktion „f“ „x“ nimmt und quadriert.
Beispiel: mit f(x) = x2:
- Aus einer Eingabe von 4
- wird eine Ausgabe von 16.
Tatsächlich können wir f(4) = 16 schreiben.
Das „x“ ist nur ein Platzhalter!
Mach dir keine Sorgen um „x“, es ist nur da, um uns zu zeigen, wohin die Eingabe geht und was damit passiert.
Es könnte alles sein!
Also diese Funktion:
f(x) = 1 – x + x2
Ist die gleiche Funktion wie:
- f(q) = 1 – q + q2
- h(A) = 1 – A + A2
- w(θ) = 1 – θ + θ2
Die Variable (x, q, A usw.) dort wissen wir also, wo wir die Werte setzen sollen:
f(2) = 1 – 2 + 22 = 3
Manchmal gibt es keinen Funktionsnamen
Manchmal hat eine Funktion keinen Namen, und wir sehen so etwas wie:
y = x2
Aber es gibt immer noch:
- eine Eingabe (x)
- eine Beziehung (Quadratur)
- und eine Ausgabe (y)
Relating
Oben sagten wir, dass eine Funktion wie eine Maschine sei. Aber eine Funktion hat nicht wirklich Riemen oder Zahnräder oder irgendwelche beweglichen Teile – und sie zerstört nicht wirklich, was wir hineinstecken!
Eine Funktion verknüpft eine Eingabe mit einer Ausgabe.
„f(4) = 16“ zu sagen, ist wie zu sagen, dass 4 irgendwie mit 16 zusammenhängt. Oder 4 → 16
Beispiel: dieser Baum wächst jedes Jahr um 20 cm, daher hängt die Höhe des Baumes mit der Funktion h von seinem Alter ab:
h(age) = age × 20
Wenn das Alter also 10 Jahre beträgt, beträgt die Höhe:
h(10) = 10 × 20 = 200 cm
Hier sind einige Beispielwerte:
| Alter | h(Alter) = Alter × 20 |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 1 | 20 |
| 3,2 | 64 |
| 15 | 300 |
| … | … |
What Types of Things Do Functions Process?
„Numbers“ seems an obvious answer, but …
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… which numbers? For example, the tree-height function h(age) = age×20 makes no sense for an age less than zero. |
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… es können auch Buchstaben („A“ →“B“) oder ID-Codes („A6309″ →“Pass“) oder fremde Dinge sein. |
Wir brauchen also etwas Mächtigeres, und hier kommen Sets ins Spiel:
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Eine Menge ist eine Sammlung von Dingen.Hier sind einige Beispiele:
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Jedes einzelne Ding in der Menge (wie „4“ oder „Hut“) wird als Mitglied oder Element bezeichnet.
Eine Funktion nimmt also Elemente einer Menge und gibt Elemente einer Menge zurück.
Eine Funktion ist etwas Besonderes
Aber eine Funktion hat spezielle Regeln:
- Es muss für jeden möglichen Eingabewert funktionieren
- Und es hat nur eine Beziehung für jeden Eingabewert
Dies kann in einer Definition gesagt werden:
Formale Definition einer Funktion
Eine Funktion bezieht jedes Element einer Menge
mit genau einem Element einer anderen Menge
(möglicherweise derselben Menge).
Die zwei wichtigen Dinge!
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„…jedes Element…“ bedeutet, dass jedes Element in X mit einem Element in Y zusammenhängt. Wir sagen, dass die Funktion X abdeckt (jedes Element davon in Beziehung setzt). (Aber einige Elemente von Y sind möglicherweise überhaupt nicht verwandt, was in Ordnung ist.) |
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„…genau einer…“ bedeutet, dass eine Funktion einfachwertig ist. Es werden nicht 2 oder mehr Ergebnisse für dieselbe Eingabe zurückgegeben. Also „f(2) = 7 oder 9“ ist nicht richtig! |
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„Eins-zu-Viele“ ist nicht erlaubt, aber „Viele-zu-Eins“ ist erlaubt: |
||
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| (Eins-zu-viele) | ( viele-zu-eins) | |
| Dies ist in einer Funktion NICHT in Ordnung | Aber dies ist in einer Funktion in Ordnung | |
Wenn eine Beziehung diesen beiden Regeln nicht folgt, ist sie keine Funktion … es ist immer noch eine Beziehung, nur keine Funktion.
Beispiel: The relationship x → x2
Could also be written as a table:
| X: x | Y: x2 |
|---|---|
| 3 | 9 |
| 1 | 1 |
| 0 | 0 |
| 4 | 16 |
| -4 | 16 |
| … | … |
It is a function, because:
- Jedes Element in X ist mit Y verwandt
- Kein Element in X hat zwei oder mehr Beziehungen
Also folgt es den Regeln.
(Beachten Sie, wie sich sowohl 4 als auch -4 auf 16 beziehen, was zulässig ist.)
Beispiel: Diese Beziehung ist keine Funktion:
Es ist eine Beziehung, aber es ist keine Funktion, aus diesen Gründen:
- Wert „3“ in X hat keine Beziehung in Y
- Wert „4“ in X hat keine Beziehung in Y
- Wert „5“ bezieht sich auf mehr als einen Wert in Y
(Aber die Tatsache, dass „6“ in Y keine Beziehung hat, spielt keine Rolle)
Funktion nicht einwertig
Vertikaler Linientest
In einem Diagramm bedeutet die Idee des einwertigen, dass keine vertikale Linie jemals mehr als einen Wert kreuzt.
Wenn es mehr als einmal kreuzt, ist es immer noch eine gültige Kurve, aber keine Funktion.
Einige Arten von Funktionen haben strengere Regeln, um mehr zu erfahren, können Sie Injektiv, Surjektiv und Bijektiv lesen
Unendlich viele
Meine Beispiele haben nur wenige Werte, aber Funktionen arbeiten normalerweise an Mengen mit unendlich vielen Elementen.
Beispiel: y = x3
- Die Eingabemenge „X“ sind alle reellen Zahlen
- Die Ausgabemenge „Y“ sind auch alle reellen Zahlen
Wir können nicht ALLE Werte anzeigen, daher hier nur einige Beispiele:
| X: x | Y: x3 |
|---|---|
| -2 | -8 |
| -0.1 | -0.001 |
| 0 | 0 |
| 1.1 | 1.331 |
| 3 | 27 |
| and so on… | and so on… |
Domäne, Codomäne und Bereich
In unseren obigen Beispielen
- Die Menge „X“ wird als Domäne bezeichnet,
- Die Menge „Y“ wird als Codomäne bezeichnet, und
- Die Menge der Elemente, auf die in Y verwiesen wird (die tatsächlichen Werte, die von der Funktion erzeugt werden), wird als Bereich.
Wir haben eine spezielle Seite zu Domain, Range und Codomain, wenn Sie mehr wissen möchten.
So viele Namen!
Funktionen werden seit sehr langer Zeit in der Mathematik verwendet, und es sind viele verschiedene Namen und Schreibweisen von Funktionen entstanden.
Hier sind einige gebräuchliche Begriffe, mit denen Sie sich vertraut machen sollten:
Beispiel: z = 2u3:
- „u“ könnte als „unabhängige Variable“ bezeichnet werden
- „z“ könnte als „abhängige Variable“ bezeichnet werden (dies hängt vom Wert von u ab)
Beispiel: f(4) = 16:
- „4“ könnte als „Argument“ bezeichnet werden
- „16“ könnte als „Wert der Funktion“ bezeichnet werden
Beispiel: h(Jahr) = 20 × Jahr:
- h() ist die Funktion
- „year“ könnte als „Argument“ oder „Variable“ bezeichnet werden
- Ein fester Wert wie „20“ kann als Parameter bezeichnet werden
Wir nennen oft eine Funktion „f(x)“, wenn die Funktion tatsächlich „f“ ist
Geordnete Paare
Und hier ist eine andere Möglichkeit, über Funktionen nachzudenken:
Schreiben Sie die Eingabe und Ausgabe einer Funktion als „geordnetes Paar“, z. B. (4,16).
Sie werden geordnete Paare genannt, weil die Eingabe immer zuerst und die Ausgabe an zweiter Stelle steht:
(input, output)
Es sieht also so aus:
( x, f(x) )
Beispiel:
(4,16) bedeutet, dass die Funktion „4“ aufnimmt und „16“ ausgibt
Menge geordneter Paare
Eine Funktion kann dann als eine Menge geordneter Paare definiert werden:
Beispiel: {(2,4), (3,5), (7,3)} ist eine Funktion, die besagt
„2 bezieht sich auf 4“, „3 bezieht sich auf 5“ und „7 bezieht sich auf 3“.
Beachten Sie auch, dass:
- Die Domäne ist {2,3,7} (die Eingabewerte)
- und der Bereich ist {4,5,3} (die Ausgabewerte)
Aber die Funktion muss einwertig sein, also sagen wir auch
„Wenn es (a, b) und (a, c) enthält, dann muss b gleich c sein“
Das ist nur eine Art zu sagen, dass eine Eingabe von „a“ kann nicht zu zwei unterschiedlichen Ergebnissen führen.
Beispiel: {(2,4), (2,5), (7,3)} ist keine Funktion, weil {2,4} und {2,5} bedeutet, dass 2 mit 4 oder 5 verwandt sein könnte.
Mit anderen Worten, es ist keine Funktion, weil sie nicht einwertig ist
Ein Vorteil von geordneten Paaren
Wir können sie grafisch darstellen…
… weil sie auch Koordinaten sind!
Ein Satz von Koordinaten ist also auch eine Funktion (wenn sie den obigen Regeln folgen)
Eine Funktion Kann in Teilen sein
Wir können Funktionen erstellen, die sich je nach Eingabewert unterschiedlich verhalten
Beispiel: Eine Funktion mit zwei Teilen:
- when x is less than 0, it gives 5,
- when x is 0 or more it gives x2
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Here are some example values:
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Lesen Sie mehr unter Stückweise Funktionen.
Explizit vs. Implizit
Ein letztes Thema: die Begriffe „explizit“ und „implizit“.
Explizit ist, wenn die Funktion uns zeigt, wie wir direkt von x nach y gehen, wie zum Beispiel:
y = x3 − 3
Wenn wir x kennen, können wir y finden
Das ist der klassische y = f(x) -Stil, mit dem wir oft arbeiten.
Implizit ist, wenn es nicht direkt gegeben ist wie:
x2 – 3xy + y3 = 0
Wenn wir x kennen, wie finden wir y ?
Es kann schwierig (oder unmöglich!), um direkt von x nach y zu gehen.
„Implizit“ kommt von „implizit“, also indirekt gezeigt.
Graphing
- Der Funktionsgrafiker kann nur explizite Funktionen verarbeiten,
- Der Gleichungsgrafiker kann beide Typen verarbeiten (dauert aber etwas länger und macht es manchmal falsch).
Fazit
- Eine Funktion verknüpft Eingaben mit Ausgängen
- Eine Funktion nimmt Elemente aus einer Menge (der Domäne) und verknüpft sie mit Elementen in einer Menge (der Codomäne).
- Alle Ausgaben (die tatsächlichen Werte in Bezug auf) werden zusammen als Bereich bezeichnet
- Eine Funktion ist eine spezielle Art von Beziehung, bei der:
- Jedes Element in der Domäne ist enthalten, und
- Jede Eingabe erzeugt nur eine Ausgabe (nicht dies oder das)
- Eine Eingabe und ihre übereinstimmende Ausgabe werden zusammen als geordnetes Paar bezeichnet
- so kann eine Funktion auch als eine Menge geordneter Paare gesehen werden