🎯 Warum 0! = 1 (nullfaktoriell ist eins)?

Vor kurzem habe ich über verschiedene Rechtfertigungen für die Definition von 0 nachgedacht! (fakultät von Null) das ist

$$0!=1$$

Der angenommene Wert von 1 mag ziemlich offensichtlich erscheinen, wenn Sie die rekursive Formel betrachten. Es hat mich jedoch „mathematisch“ nicht zufrieden gestellt. Deshalb habe ich beschlossen, diese paar Sätze zu schreiben. Ich werde Motivationen für die weniger Fortgeschrittenen geben, aber es wird auch Motivationen für etwas mehr Insider geben.

⭐️Fakultät im Skalarrechner

⭐️ Fakultät und Wiederholung

Für Ganzzahl n > 0 Fakultät ist wie folgt definiert

$$n!=n\ times (n-1)\times (n-2)\times \ldots \times 2\times 1$$

Mit Leichtigkeit können Sie sehen, dass die folgende rekursive Formel folgt

$$n!=n\mal (n-1)!$$

$$1!=1$$

⭐️ 0! = 1 – motivation basierend auf Wiederholung

Kleine Transformation von

$$n!=n\mal (n-1)!$$

ergibt

$$(n-1)!=\frac{n!}{n}$$

Ersetzen von n = 1

$$(1-1)!=\frac{1!}{1}$$

$$0!=1!=1$$

Diese Erklärung ist zwar einfach, bietet aber (meiner Meinung nach) kein tiefes Verständnis dafür, „warum dies die beste Option sein sollte“.

⭐️ Fakultät n! zählt die möglichen verschiedenen Sequenzen von n verschiedenen Objekten (Permutationen)

Nehmen wir an, wir haben eine Menge, die n Elemente enthält

$$\{1,2,\ldots,n\}$$

Nun zählen wir“s mögliche Reihenfolge der Elemente ist diese Menge

• n Möglichkeiten zur Auswahl des ersten Elements (weil wir das ganze Set zur Verfügung haben)
• n-1 Möglichkeiten zur Auswahl des zweiten Elements (weil das erste bereits ausgewählt wurde, gibt es n -1 links)
• n-2 Möglichkeiten zur Auswahl des dritten Elements (da die beiden bereits ausgewählt wurden, gibt es noch n-2)
• …
• n- (k-1) Möglichkeiten zur Auswahl der Elementnummer k (weil die k-1 bereits ausgewählt wurden, bleibt n- (k-1))
• 2 Möglichkeiten zur Auswahl der Elementnummer n-1 (weil die n-2 ausgewählt wurden, bleiben noch 2)
• 1 Möglichkeit zur Auswahl der Elementnummer n (weil die n-1 ausgewählt wurden, blieb nur eine)

Schließlich erhalten wir, wenn wir alle möglichen Wege zählen,

$$n\times (n-1)\times (n-2)\times \ldots \ mal 2\mal 1=n!$$

Schlussfolgerung: Fakultät von n zählt die Anzahl der Permutationen einer Menge, die n Elemente enthält.

⭐️ k-Permutationen von n manchmal auch partielle Permutationen oder Variationen genannt

Die k-Permutationen von n sind die verschiedenen geordneten Anordnungen einer k-Element-Teilmenge einer n-Menge. Die Anzahl solcher k-Permutationen von n ist

$$P_k^n = n\times (n-1)\times (n-2)\times\ldots\times \bigg(n-(k-1)\bigg) = \frac{n!}{(n-k)!}$$

Es ist leicht zu sehen, dass n-Permutation von n eine Permutation ist, also

$$P_n^n=n!$$

$$n! = \frac{n!}{(n-n)!} = \frac{n!}{0!}$$

Der nächste Einblick warum 0!=1 ist die richtige Definition kommt von, dass für jede n > 0 sollten wir

$$0! \mal n! = n!$$

⭐️ Funktion als Mengenzuordnung

Funktion

$$f:A\to B$$

Funktion f : A → B, wobei für jedes a ∈ A f(a) = b ∈ B , definiert die Beziehung zwischen den Elementen a und b. Wir können sagen, dass die Elemente a ∈ A und b ∈ B genau dann in Beziehung stehen „f“ wenn f(a) = b.

⭐️ Funktion als Teilmenge eines kartesischen Produkts

Funktion ist eine binäre Beziehung, dh Funktion kann als Teilmenge eines kartesischen Produkts ausgedrückt werden.

$$(a,b)\in f \subseteq A\times B \iff f(a)=b$$

⭐️ Injektive Funktion

Injektive funktion ist eine Funktion, die die Unterscheidbarkeit bewahrt: Sie ordnet niemals verschiedene Elemente ihrer Domäne demselben Element ihrer Codomäne zu. Kurz

$$x\neq y \Rightarrow f(x) \neq f(y)$$

⭐️ Surjektive Funktion

Eine Funktion f ist surjektiv (oder onto), wenn für jedes Element b in der Codomain mindestens ein Element a in der Domäne vorhanden ist, so dass f(a)=b . Es ist nicht erforderlich, dass x eindeutig ist.

$$f:A\bis B$$

$${\large \displaystyle\forall_{b \in B} \quad\displaystyle\exists_{a\in A}\quad}f(a)=b$$

⭐️ Bijektive Funktion

Die bijektive Funktion oder Eins-zu-Eins-Korrespondenz ist eine Funktion, bei der jedes Element einer Menge mit genau einem Element der anderen Menge und jedes Element der anderen Menge mit genau einem Element der ersten Menge gepaart ist. Es gibt keine ungepaarten Elemente.

Mathematisch gesehen ist eine bijektive Funktion sowohl eine injektive als auch eine surjektive Zuordnung einer Menge A zu einer Menge B.

⭐️ Bijektive Funktion vs Permutation

Permutation ist eine Funktion, die die Reihenfolge einer Menge zurückgibt, d.h. Wenn wir die n-Element-Menge {1, 2, …, n} betrachten, dann ist Permutation eine Funktion

$$p:\{1, 2, …, n\}\to\{1, 2, …, n\}$$

erfüllt die bijektive Funktionsbedingung.

Indem wir nach der Anzahl der Permutationen fragen, können wir gleichermaßen nach der Anzahl der verschiedenen Bijektionen aus einer gegebenen Menge in sich selbst fragen.

⭐️ Leere Funktion

Eine leere Funktion ist jede Funktion, deren Domäne eine leere Menge ist.

$$f:\emptyset\to B$$

Die leere Funktion „chart“ ist eine leere Menge, da das kartesische Produkt von Domain und Codomain leer ist.

$$\emptyset\times B = \emptyset$$

Die leere Funktion bewahrt die Unterscheidbarkeit (ist injektiv), da es in der Domäne (einer leeren Menge) keine zwei verschiedenen Elemente gibt, für die der Wert der Funktion gleich ist.

⭐️ Ein Sonderfall einer leeren Funktion

Lassen Sie uns die Funktion analysieren, die empty einer leeren Menge zuordnet

$$f:\emptyset\to\emptyset$$

Eine solche Funktion ist eine Bijektion, da es sich um eine injektive Funktion handelt (wie oben gezeigt) und es kein Element in der Codomain gibt (die Codomain ist eine leere Menge), das nicht in Beziehung zu den Elementen in der Domäne steht.

Bitte beachten Sie, dass es genau eine solche Bijektion gibt, die darauf zurückzuführen ist, dass die Funktion eine Teilmenge des kartesischen Produkts von Domäne und Codomäne ist. In diesem Fall ist dies nur ein möglicher Satz.

$$f:\emptyset\to\emptyset$$

$$\emptyset\times\emptyset = \emptyset$$

Die leere Menge hat genau eine Teilmenge, die die leere Menge ist – somit ist eine solche Bijektion eindeutig definiert.

⭐️ 0! = 1 vs Leere Funktion

Ich habe oben geschrieben, dass die Anzahl der Permutationen einer n-Element-Menge der Anzahl der verschiedenen bijektiven Funktionen aus dieser Menge in sich selbst entspricht.

Folgend – die Permutation der 0-Elementmenge entspricht der Bijektion von einer leeren Menge in die leere Menge/

Der Sonderfall der leeren Funktion ist nur 1 – und ich habe den Beweis erbracht, dass es nur eine solche Funktion gibt 🙂

Ziemlich tiefer Einblick warum 0! sollte von 1.

⭐️ Die Gammafunktion

In der Mathematik ist die Gammafunktion eine der Erweiterungen der Faktorialfunktion, deren Argument um 1 auf reelle und komplexe Zahlen verschoben ist.

$$\Gamma(z)=\displaystyle\int_0^{+\infty}t^{z-1}e^{-t}dt$$

Nach der Teilintegration erhalten wir die rekursive Formel

$$\Gamma(z+1)=z\cdot\Gamma(z)$$

Sehen wir uns den Wert von

$$\Gamma(1)=?$$

$$\Gamma(1)=\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-t}dt=\displaystyle\int_{-\infty}^{0}e^{t}dt$$

Nach

$$\Gamma(n+1)=n!$$

$$0! = \Gamma(1) = 1$$

⭐️ Scalar support for the Gamma function

Functions in Scalar Calculator, that support Gamma special function

• Gamma(x) – Gamma special function Γ(s)
• sgnGamma(x) – Signum of Gamma special function, Γ(s)
• logGamma(x) – Log Gamma special function, lnΓ(s)
• diGamma(x) – Digamma function as the logarithmic derivative of the Gamma special function, ψ(x)
• GammaL(s,x) – Lower incomplete gamma special function, γ(s,x)
• GammaU(s,x) – Upper incomplete Gamma special function, Γ(s,x)
• GammaP(s,x) , GammaRegL(s,x) – Lower regularized P gamma special function, P(s,x)
• GammaQ(s,x), GammaRegU(s,x) – Upper regularized Q Gamma special function, Q(s,x)

Gamma function chart

Gamma function vs Factorial chart

⭐️ Zahl e und faktorielle Beziehung

Basierend auf der Taylorreihen-Erweiterung von e^x ist es leicht zu zeigen, dass

$$e=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\ldots$$

Sequence convergence

This is fascinating, as it shows even stronger relation of factorial to e

Thanks for reading! All the best 🙂