In mathematicsEdit
In mathematischen Formeln kann das ± −Symbol verwendet werden, um ein Symbol anzuzeigen, das entweder durch das Plus- und Minuszeichen, + oder – ersetzt werden kann, sodass die Formel zwei Werte oder zwei Gleichungen darstellen kann.
Wenn man beispielsweise die Gleichung x2 = 9 angibt, kann man die Lösung als x = ± 3 angeben. Dies zeigt an, dass die Gleichung zwei Lösungen hat, von denen jede durch Ersetzen dieser Gleichung durch eine der beiden Gleichungen x = +3 oder x = -3 erhalten werden kann. Nur eine dieser beiden ersetzten Gleichungen gilt für jede gültige Lösung. Eine gebräuchliche Verwendung dieser Notation findet sich in der quadratischen Formel
x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a , {\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},}
, die die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung ax2 + bx + c = 0 beschreibt.
In ähnlicher Weise kann die trigonometrische Identität
sin ( A ± B ) = sin ( A ) cos ( B ) ± cos ( A ) sin ( B ) {\displaystyle \sin(A\pm B)=\sin(A)\cos(B)\pm \cos(A)\sin(B)}
als Abkürzung für zwei Gleichungen interpretiert werden: eine mit + auf beiden Seiten der Gleichung und eine mit − auf beiden Seiten. Die beiden Kopien des ±−Zeichens in dieser Identität müssen beide auf die gleiche Weise ersetzt werden: Es ist nicht gültig, eine davon durch + und die andere durch – zu ersetzen. Im Gegensatz zum Beispiel der quadratischen Formel sind beide in diesem Artikel beschriebenen Gleichungen gleichzeitig gültig.
Das Minus–Plus-Zeichen (auch Minus- oder−Plus−Zeichen) ∓ wird im Allgemeinen in Verbindung mit dem ± −Zeichen in Ausdrücken wie x ± y ∓ z verwendet, die als x + y − z und / oder x – y – z interpretiert werden können, aber nicht x + y + z noch x – y – z. Das obere – in ∓ wird als dem + von ± zugeordnet angesehen (und ähnlich für die beiden unteren Symbole), obwohl es keinen visuellen Hinweis auf die Abhängigkeit gibt.
(Das ± -Zeichen wird jedoch im Allgemeinen dem ∓ -Zeichen vorgezogen, wenn also beide in einer Gleichung vorkommen, kann davon ausgegangen werden, dass sie verknüpft sind. Auf der anderen Seite, wenn es zwei Instanzen des ± -Zeichens in einem Ausdruck gibt, ohne ein ∓, ist es unmöglich, aus der Notation allein zu sagen, ob die beabsichtigte Interpretation als zwei oder vier verschiedene Ausdrücke ist.)
Der ursprüngliche Ausdruck geschrieben werden kann als x ± (y − z) um Verwirrung zu vermeiden, aber Fälle wie der trigonometrischen Identität sind die meisten ordentlich geschrieben, mit der “ ∓ “ – Zeichen:
cos ( A ± B ) = cos ( A ) cos ( B ) ∓ sin ( A ) sin ( B ) {\displaystyle \cos(A\pm B)=\cos(A)\cos(B)\mp \sin(A)\sin(B)}
das entspricht den beiden Gleichungen:
cos ( A + B ) = cos ( A ) cos ( B ) − sin ( A ) sin ( B ) cos ( A − B ) = cos ( A ) cos ( B ) + sin ( A ) sin ( B ) {\displaystyle {\begin{aligned}\cos(A+B)&=\cos(A)\cos(B)-\sin(A)\sin(B)\\\cos(A-B)&=\cos(A)\cos(B)+\sin(A)\sin(B)\end{aligned}}}
ein Weiteres Beispiel, wo die minus–plus-Zeichen erscheint, ist
x 3 ± 1 = ( x ± 1 ) ( x-2 ∓ x + 1 ) {\displaystyle x^{3}\pm 1=(x\pm 1)\left(x^{2}\mp-x+1\right)}
Eine Dritte usage findet sich in dieser Darstellung der Formel für den Taylor-Reihe der Sinusfunktion:
sin ( x ) = x – x 3 3 ! + x 5 5 ! – x 7 7 ! + ⋯ ± 1 ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 + ⋯ . {\displaystyle \sin \links(x\rechts)=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \pm {\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}+\cdots .}
Hier zeigt das Plus- oder Minuszeichen an, dass der Term addiert oder subtrahiert werden kann, in diesem Fall kann abhängig davon, ob n ungerade oder gerade ist, die Regel aus den ersten Termen abgeleitet werden. Eine strengere Darstellung derselben Formel würde jeden Term mit einem Faktor von (-1) n multiplizieren, was +1 ergibt, wenn n gerade ist, und -1, wenn n ungerade ist.
In statisticsEdit
Die Verwendung von ± für eine Approximation tritt am häufigsten bei der Darstellung des numerischen Wertes einer Größe zusammen mit ihrer Toleranz oder ihrer statistischen Fehlerspanne auf.Beispielsweise kann 5,7 ±0,2 irgendwo im Bereich von 5,5 bis einschließlich 5,9 liegen. Im wissenschaftlichen Gebrauch bezieht es sich manchmal auf eine Wahrscheinlichkeit, innerhalb des angegebenen Intervalls zu liegen, was normalerweise entweder 1 oder 2 Standardabweichungen entspricht (eine Wahrscheinlichkeit von 68,3% oder 95,4% in einer Normalverteilung).
Operationen mit unsicheren Werten sollten immer versuchen, die Unsicherheit zu bewahren – um Fehlerausbreitung zu vermeiden. Wenn n = a ± b ist, muss jede Operation der Form m = f(n) einen Wert der Form m = c ± d zurückgeben, wobei c f (n) ist und d mit Intervallarithmetik aktualisiert wird.
Ein Prozentsatz kann auch verwendet werden, um die Fehlerspanne anzugeben. Beispielsweise bezieht sich 230 ± 10% V auf eine Spannung innerhalb von 10% von beiden Seiten von 230 V (von 207 V bis einschließlich 253 V). Es können auch separate Werte für die Ober- und Untergrenze verwendet werden. Um beispielsweise anzuzeigen, dass ein Wert höchstwahrscheinlich 5,7 ist, aber so hoch wie 5,9 oder so niedrig wie 5,6 sein kann, kann man 5,7 +0,2
-0,1 schreiben.
In chessEdit
Die Symbole ± und ∓ werden in der Schachnotation verwendet, um einen Vorteil für Weiß bzw. Die gebräuchlichere Schachnotation wäre jedoch nur + und -. Wenn ein Unterschied gemacht wird, bezeichnen die Symbole + und − einen größeren Vorteil als ± und ∓. Wenn eine feinere Auswertung gewünscht wird, werden drei Symbolpaare verwendet: ⩲ und ⩱ für nur einen geringen Vorteil, ± und ∓ für einen signifikanten Vorteil und +– und –+ für einen potenziell gewinnbringenden Vorteil, jeweils für Weiß bzw.