Lernziele
Am Ende dieses Abschnitts können Sie:
- Die richtige Länge beschreiben.
- Längenkontraktion berechnen.
- Erklären Sie, warum wir diese Effekte im Alltag nicht bemerken.
Abbildung 1. Menschen beschreiben Entfernungen vielleicht anders, aber bei relativistischen Geschwindigkeiten sind die Entfernungen wirklich unterschiedlich. (Kredit: Corey Leopold, Flickr)
Sind Sie jemals auf einer Straße gefahren, die so aussieht, als würde sie ewig weitergehen? Wenn Sie nach vorne schauen, könnten Sie sagen, dass Sie noch etwa 10 km vor sich haben. Ein anderer Reisender könnte sagen, dass die Straße vor ihm ungefähr 15 km lang ist. Wenn Sie beide die Straße messen würden, würden Sie jedoch zustimmen. Wenn Sie mit alltäglichen Geschwindigkeiten reisen, wäre die Entfernung, die Sie beide messen, dieselbe. Sie werden in diesem Abschnitt jedoch lesen, dass dies bei relativistischen Geschwindigkeiten nicht der Fall ist. In der Nähe der Lichtgeschwindigkeit sind die gemessenen Entfernungen nicht gleich, wenn sie von verschiedenen Beobachtern gemessen werden.
Richtige Länge
Eine Sache, über die sich alle Beobachter einig sind, ist die relative Geschwindigkeit. Obwohl Uhren unterschiedliche verstrichene Zeiten für denselben Prozess messen, stimmen sie immer noch darin überein, dass die Relativgeschwindigkeit, die Entfernung geteilt durch die verstrichene Zeit, gleich ist. Dies impliziert, dass auch die Entfernung von der Relativbewegung des Beobachters abhängt. Wenn zwei Beobachter unterschiedliche Zeiten sehen, müssen sie auch unterschiedliche Entfernungen sehen, damit die Relativgeschwindigkeit für jeden von ihnen gleich ist.
Das in Beispiel 1 diskutierte Myon in Gleichzeitigkeit und Zeitdilatation veranschaulicht dieses Konzept. Für einen Beobachter auf der Erde bewegt sich das Myon bei 0.950 c für 7.05 µs von der Zeit, in der es produziert wird, bis es zerfällt. Somit legt es eine Entfernung zurück
L0 = vΔt = (0,950)(3,00 × 108 m/s)(7,05 × 10-6 s) = 2,01 km
relativ zur Erde. Im Referenzrahmen des Myons beträgt seine Lebensdauer nur 2,20 µs. Es hat genug Zeit, um nur zu reisen
L0 = vΔt0 = (0,950) (3,00 × 108 m/ s)(2,20 × 10-6 s) = 0,627 km.
Der Abstand zwischen denselben zwei Ereignissen (Produktion und Zerfall eines Myons) hängt davon ab, wer es misst und wie sie sich relativ dazu bewegen.
Richtige Länge
Richtige Länge L0 ist der Abstand zwischen zwei Punkten, der von einem Beobachter gemessen wird, der sich relativ zu beiden Punkten in Ruhe befindet.
Der erdgebundene Beobachter misst die richtige Länge L0, da die Punkte, an denen das Myon erzeugt wird und zerfällt, relativ zur Erde stationär sind. Zum Myon bewegen sich Erde, Luft und Wolken, und so ist die Entfernung L, die es sieht, nicht die richtige Länge.
Abbildung 2. (a) Der erdgebundene Beobachter sieht, wie sich das Myon 2,01 km zwischen den Wolken bewegt. (b) Das Myon sieht sich auf dem gleichen Weg, aber nur eine Entfernung von 0,627 km. Die Erde, die Luft und die Wolken bewegen sich relativ zum Myon in seinem Rahmen, und alle scheinen kleinere Längen entlang der Fahrtrichtung zu haben.
Längenkontraktion
Um eine Gleichung für Entfernungen zu entwickeln, die von verschiedenen Beobachtern gemessen wurden, stellen wir fest, dass die Geschwindigkeit relativ zum erdgebundenen Beobachter in unserem Myonenbeispiel gegeben ist durch
v=\frac{L_0}{\Delta{t}}\\.
Die Zeit relativ zum erdgebundenen Beobachter ist Δt, da sich das zu zeitende Objekt relativ zu diesem Beobachter bewegt. Die Geschwindigkeit relativ zum bewegten Beobachter ist gegeben durch
v=\frac{L}{\Delta{t}_0}\\.
Der sich bewegende Beobachter reist mit dem Myon und beobachtet daher die richtige Zeit Δt0. Die beiden Geschwindigkeiten sind identisch; somit
\frac{L_0}{\Delta{t}}=\frac{L}{\Delta{t}_0}\\.
Wir wissen, dass Δt = γΔt0. Wenn Sie diese Gleichung in die obige Beziehung einsetzen, erhalten Sie
L=\frac{L_0}{\gamma}\\
Wenn Sie γ ersetzen, erhalten Sie eine Gleichung in Bezug auf die von verschiedenen Beobachtern gemessenen Entfernungen.
Längenkontraktion
Längenkontraktion L ist die Verkürzung der gemessenen Länge eines Objekts, das sich relativ zum Rahmen des Beobachters bewegt.
\displaystyle{L}=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\\
Wenn wir die Länge eines Objekts messen, das sich relativ zu unserem Rahmen bewegt, finden wir seine Länge L kleiner als die richtige Länge L0, die gemessen würde, wenn das Objekt stationär wäre. Zum Beispiel ist im Referenzrahmen des Myons der Abstand zwischen den Punkten, an denen es erzeugt wurde und an denen es zerfiel, kürzer. Diese Punkte sind relativ zur Erde fixiert, bewegen sich jedoch relativ zum Myon. Wolken und andere Objekte werden auch entlang der Bewegungsrichtung im Referenzrahmen des Myons kontrahiert.
Beispiel 1. Berechnung der Längenkontraktion: Der Abstand zwischen Sternen zieht sich zusammen, wenn Sie mit hoher Geschwindigkeit reisen
Angenommen, ein Astronaut, wie der in Gleichzeitigkeit und Zeitdilatation diskutierte Zwilling, bewegt sich so schnell, dass γ = 30,00.
- Sie reist von der Erde zum nächsten Sternensystem, Alpha Centauri, 4.300 Lichtjahre (ly) entfernt, gemessen von einem erdgebundenen Beobachter. Wie weit sind die Erde und Alpha Centauri voneinander entfernt, gemessen vom Astronauten?
- In Bezug auf c, was ist ihre Geschwindigkeit relativ zur Erde? Sie können die Bewegung der Erde relativ zur Sonne vernachlässigen. (Siehe Abbildung 3.)
Abbildung 3. (a) Der erdgebundene Beobachter misst den richtigen Abstand zwischen der Erde und den Alpha Centauri. (b) Die Astronautin beobachtet eine Längenkontraktion, da sich die Erde und die Alpha Centauri relativ zu ihrem Schiff bewegen. Sie kann diese kürzere Strecke in einer kürzeren Zeit (ihrer richtigen Zeit) zurücklegen, ohne die Lichtgeschwindigkeit zu überschreiten.
Strategie
Beachten Sie zunächst, dass ein Lichtjahr (ly) eine bequeme Entfernungseinheit auf astronomischer Ebene ist — es ist die Entfernung, die das Licht in einem Jahr zurücklegt. Beachten Sie für Teil 1, dass der Abstand von 4.300 ly zwischen Alpha Centauri und der Erde der richtige Abstand L0 ist, da er von einem erdgebundenen Beobachter gemessen wird, zu dem beide Sterne (ungefähr) stationär sind. Für den Astronauten bewegen sich die Erde und die Alpha Centauri mit der gleichen Geschwindigkeit, und so ist der Abstand zwischen ihnen die kontrahierte Länge L. In Teil 2 erhalten wir γ, und so können wir v finden, indem wir die Definition von γ neu anordnen, um v in Bezug auf c auszudrücken.
Lösung für Teil 1
Identifizieren Sie die Bekannten:
L0 − 4.300 ly; γ = 30.00
Identifizieren Sie das Unbekannte: L
Wählen Sie die entsprechende Gleichung:
L=\frac{L_0}{\gamma}\\.
Ordne die Gleichung neu an, um sie nach dem Unbekannten zu lösen.
\begin{array}{lll}L&&\frac{L_0}{\gamma}\\\text{ }&&\frac{4.300\text{ ly}}{30.00}\\\text{ }&&0.1433\text{ ly}\end{array}\\
Lösung für Teil 2
Identifizieren Sie das Bekannte: γ = 30.00
Identifiziere das Unbekannte: v in terms of c
Choose the appropriate equation.
\displaystyle\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\\
Rearrange the equation to solve for the unknown.
\begin{array}{lll}\gamma&&\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\\30.00&&\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\end{array}\\
Squaring both sides of the equation and rearranging terms gives
\displaystyle900.0=\frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}\\ so dass 1-\frac{v^2}{c^2}=\frac{1}{900}\\ und \frac{v^2}{c^2}=1-\frac{1}{900.0}=0.99888\\\\
Wenn wir die Quadratwurzel nehmen, finden wir \frac{v}{c}= 0,99944\\, die neu angeordnet wird, um einen Wert für die Geschwindigkeit v = 0,9994 c zu erzeugen.
Diskussion
Denken Sie zunächst daran, dass Sie die Berechnungen erst abrunden sollten, wenn das Endergebnis vorliegt, da Sie sonst fehlerhafte Ergebnisse erhalten können. Dies gilt insbesondere für spezielle Relativitätsberechnungen, bei denen die Unterschiede möglicherweise erst nach mehreren Dezimalstellen sichtbar werden. Der relativistische Effekt ist hier groß (γ = 30.00), und wir sehen, dass v sich der Lichtgeschwindigkeit nähert (nicht entspricht). Da die vom Astronauten gemessene Entfernung so viel kleiner ist, kann der Astronaut sie in viel kürzerer Zeit in seinem Rahmen zurücklegen.
Menschen könnten sehr große Entfernungen (Tausende oder sogar Millionen von Lichtjahren) zurücklegen und nur wenige Jahre alt werden, wenn sie mit extrem hohen Geschwindigkeiten unterwegs wären. Aber wie Auswanderer vergangener Jahrhunderte würden sie die Erde, die sie kennen, für immer verlassen. Selbst wenn sie zurückkehrten, wären Tausende bis Millionen von Jahren auf der Erde vergangen und hätten das meiste von dem, was jetzt existiert, ausgelöscht. Es gibt auch ein ernsthafteres praktisches Hindernis für das Reisen mit solchen Geschwindigkeiten; Immens größere Energien, als die klassische Physik vorhersagt, wären erforderlich, um so hohe Geschwindigkeiten zu erreichen. Dies wird in Relatavistic Energy diskutiert.
Abbildung 4. Die elektrischen Feldlinien eines geladenen Teilchens mit hoher Geschwindigkeit werden durch Längenkontraktion entlang der Bewegungsrichtung komprimiert. Dies erzeugt ein anderes Signal, wenn das Teilchen durch eine Spule geht, ein experimentell verifizierter Effekt der Längenkontraktion.
Warum bemerken wir im Alltag keine Längenkontraktion? Die Entfernung zum Lebensmittelgeschäft scheint nicht davon abzuhängen, ob wir umziehen oder nicht. Wenn wir die Gleichung L=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\\ untersuchen, sehen wir, dass bei niedrigen Geschwindigkeiten (v<<c) die Längen nahezu gleich sind, die klassische Erwartung. Aber Längenkontraktion ist real, wenn nicht häufig erlebt. Zum Beispiel hat ein geladenes Teilchen, wie ein Elektron, das sich mit relativistischer Geschwindigkeit bewegt, elektrische Feldlinien, die entlang der Bewegungsrichtung komprimiert sind, wie sie von einem stationären Beobachter gesehen werden. (Siehe Abbildung 4. Wenn das Elektron einen Detektor wie eine Drahtspule passiert, interagiert sein Feld viel kürzer, ein Effekt, der an Teilchenbeschleunigern wie dem 3 km langen Stanford Linear Accelerator (SLAC) beobachtet wird. Tatsächlich bewegen sich der Beschleuniger und die Erde zu einem Elektron, das das Strahlrohr bei SLAC hinunterfährt, und sind längenkontrahiert. Der relativistische Effekt ist so groß, dass der Beschleuniger nur 0,5 m lang zum Elektron ist. Es ist tatsächlich einfacher, den Elektronenstrahl durch das Rohr zu leiten, da der Strahl nicht so genau ausgerichtet sein muss, um ein kurzes Rohr hinunterzukommen, wie es ein 3 km langes Rohr tun würde. Dies ist wiederum eine experimentelle Überprüfung der speziellen Relativitätstheorie.
Überprüfen Sie Ihr Verständnis
Ein Teilchen bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von 0,750 c durch die Erdatmosphäre. Für einen erdgebundenen Beobachter beträgt die Entfernung 2,50 km. Wie weit bewegt sich das Teilchen im Bezugsrahmen des Teilchens?
Lösung
\displaystyle{L}=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}=\links (2,50\text{km}\rechts)\sqrt{1-\frac{\links(0,750 c\rechts)^2}{c^2}}=1,65\text{ km}\\
Zusammenfassung des Abschnitts
- Alle Beobachter sind sich über die Relativgeschwindigkeit einig.
- Die Entfernung hängt von der Bewegung eines Beobachters ab. Die richtige Länge L0 ist der Abstand zwischen zwei Punkten, der von einem Beobachter gemessen wird, der sich relativ zu beiden Punkten in Ruhe befindet. Erdgebundene Beobachter messen die richtige Länge, wenn sie den Abstand zwischen zwei Punkten messen, die relativ zur Erde stationär sind.
- Längenkontraktion L ist die Verkürzung der gemessenen Länge eines Objekts, das sich relativ zum Rahmen des Beobachters bewegt:
L=L_{0}\sqrt{1-\frac{{v}^{2}}{{c}^{2}}}=\frac{{L}_{0}}{\gamma}\\.
Konzeptionelle Fragen
- Wem erscheint ein Objekt länger, ein Beobachter, der sich mit dem Objekt bewegt, oder ein Beobachter, der sich relativ zum Objekt bewegt? Welcher Beobachter misst die richtige Länge des Objekts?
- Relativistische Effekte wie Zeitdilatation und Längenkontraktion sind für Autos und Flugzeuge vorhanden. Warum erscheinen uns diese Effekte seltsam?Angenommen, ein Astronaut bewegt sich relativ zur Erde mit einem signifikanten Bruchteil der Lichtgeschwindigkeit. (a) Beobachtet er, daß seine Uhren langsamer geworden sind? (b) Welche Änderung der Geschwindigkeit der erdgebundenen Uhren sieht er? (c) Scheint ihm sein Schiff zu verkürzen? (d) Was ist mit dem Abstand zwischen Sternen, die auf Linien parallel zu seiner Bewegung liegen? (e) Stimmen er und ein erdgebundener Beobachter über seine Geschwindigkeit relativ zur Erde überein?
Probleme & Übungen
- Ein Raumschiff, 200 m lang, wie an Bord gesehen, bewegt sich um die Erde bei 0,970 c. Was ist seine Länge, gemessen von einem erdgebundenen Beobachter?
- Wie schnell müsste ein 6,0 m langer Sportwagen an Ihnen vorbeifahren, damit er nur 5,5 m lang erscheint?
- (a) Wie weit bewegt sich das Myon in Beispiel 1 in Gleichzeitigkeit und Zeitdilatation nach Ansicht des erdgebundenen Beobachters? (b) Wie weit fährt er, wenn man ihn beobachtet? Basieren Sie Ihre Berechnung auf seiner Geschwindigkeit relativ zur Erde und der Zeit, die es lebt (richtige Zeit). (c) Stellen Sie sicher, dass diese beiden Abstände durch die Längenkontraktion γ = 3,20 in Beziehung stehen.(a) Wie lange hätte das Myon in Beispiel 1 in Gleichzeitigkeit und Zeitdilatation gelebt, wie es auf der Erde beobachtet wurde, wenn seine Geschwindigkeit 0,0500 c betrug? (b) Wie weit wäre er, wie auf der Erde beobachtet, gereist? (c) Welche Entfernung ist das im Myonrahmen?(a) Wie lange braucht der Astronaut in Beispiel 1, um 4,30 ly bei 0,99944 c zu reisen (gemessen vom erdgebundenen Beobachter)? (b) Wie lange dauert es laut Astronaut? (c) Stellen Sie sicher, dass diese beiden Zeiten durch Zeitdilatation mit γ = 30,00 wie angegeben zusammenhängen.
- (a) Wie schnell müsste ein Athlet für ein 100-m-Rennen laufen, um 100 Meter lang auszusehen? (b) Stimmt die Antwort mit der Tatsache überein, dass relativistische Effekte unter normalen Umständen schwer zu beobachten sind? Erklären.
- Unzumutbare Ergebnisse. (a) Finden Sie den Wert von γ für die folgende Situation. Eine Astronautin misst die Länge ihres Raumschiffs auf 25,0 m, während ein erdgebundener Beobachter sie auf 100 m misst. (b) Was ist an diesem Ergebnis unvernünftig? (c) Welche Annahmen sind unvernünftig oder inkonsistent?
- Unzumutbare Ergebnisse. Ein Raumschiff steuert mit einer Geschwindigkeit von 0.800c direkt auf die Erde zu. Der Astronaut an Bord behauptet, dass er einen Kanister mit 1.20c relativ zur Erde in Richtung Erde schicken kann. (a) Berechnen Sie die Geschwindigkeit, die der Kanister relativ zum Raumschiff haben muss. (b) Was ist an diesem Ergebnis unvernünftig? (c) Welche Annahmen sind unvernünftig oder inkonsistent?
Glossar
richtige Länge: L0; der Abstand zwischen zwei Punkten, gemessen von einem Beobachter, der sich relativ zu beiden Punkten in Ruhe befindet; Erdgebundene Beobachter messen die richtige Länge, wenn sie den Abstand zwischen zwei Punkten messen, die relativ zur Erde stationär sind
Längenkontraktion: L, die Verkürzung der gemessenen Länge eines Objekts, das sich relativ zum Rahmen des Beobachters bewegt:
L=L_0\sqrt{1-\frac{{v}^{2}}{{c}^{ 2}}}=\frac{{L}_{0}}{\gamma}\\
Ausgewählte Problemlösungen & Übungen
1. 48,6 m
3. (a) 1,387 km = 1,39 km; (b) 0.433 km; (c) \begin{array}{lllll}L&&\frac{{L}_{0}}{\gamma }&&\frac{1.387\times{10}^{3}\text{m}}{3.20}\\\text{ }&&433.4\text{ m}&&\text{0.433 km}\end{array}\\
Thus, the distances in parts (a) and (b) are related when γ = 3.20.
5. (a) 4.303 y (to four digits to show any effect); (b) 0.1434 y; (c) \Delta{t}=\gamma\Delta{t}_{0}\Rightarrow\gamma=\frac{\Delta{t}}{\Delta{t}_{0}}=\frac{4.303\text{ y}}{0.1434{ y}}=30.0\\
Somit sind die beiden Zeiten verwandt, wenn γ = 30.00 .
7. (a) 0,250; (b) γ muss ≥ 1 sein; (c) Der erdgebundene Beobachter muss eine kürzere Länge messen, so dass es unvernünftig ist, eine längere Länge anzunehmen.