Einführung
- Wenn es sich um eine physikalische Größe wie Stress handelt, wird sie normalerweise als Tensor bezeichnet.Wenn es sich nicht um eine physikalische Größe handelt, wird sie normalerweise als Matrix bezeichnet.
- Die überwiegende Mehrheit der technischen Tensoren ist symmetrisch. Eine gemeinsame Größe, die nicht symmetrisch ist und nicht als Tensor bezeichnet wird, ist eine Rotationsmatrix. Tensoren sind in der Tat jede physikalische Größe, die durch einen Skalar, Vektor oder eine Matrix dargestellt werden kann.Tensoren nullter Ordnung werden wie Masse Skalare genannt, während Tensoren 1. Ordnung Vektoren genannt werden.Beispiele für Tensoren höherer Ordnung sind Spannungs-, Dehn- und Steifigkeitstensoren.
- Die Reihenfolge oder der Rang einer Matrix oder eines Tensors ist die Anzahl der Subskriptionen, die sie enthält. Ein Vektor ist ein Tensor 1. Ranges. Ein 3×3-Spannungstensor hat den 2. Rang.
- Koordinatentransformationen von Tensoren werden hier ausführlich diskutiert.
Identitätsmatrix
Die Identitätsmatrix ist
\\]
Alles mit der Identitätsmatrix zu multiplizieren ist wie mit eins zu multiplizieren.
Tensornotation
Die Identitätsmatrix in der Tensornotationist einfach \( \delta_{ij} \).Es ist das Kronecker-Delta, das gleich 1 ist, wenn \( i = j \) und 0 sonst.
Ist es eine Matrix oder nicht?
Ein Hinweis von den Puristen… Die Identitätsmatrix ist eine Matrix, das Kronecker-deltatechnisch jedoch nicht. \( \delta_{ij} \) ist ein einzelner Skalarwert, der entweder 1 oder 0 ist, abhängig von den Werten von \(i\) und \(j\). Dies ist auch der Grund, warum die Tensornotation nicht fett gedruckt ist, da sie sich immer auf einzelne Komponenten von Tensoren bezieht, jedoch niemals auf einen Tensor als Ganzes.
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Transponieren
Die Transponierung einer Matrix spiegelt ihre Komponenten um die Hauptdiagonale. Die Transposeof-Matrix \({\bf A}\) wird geschrieben \({\bf A}^{\!T}\).
Beispiel transponieren
\,\qquad\text{then}\qquad{\bf A}^{\!T} = \left\]
Tensor Notation
Die Transponierung von \(A_{ij}\) ist \(A_{j\,i}\).
Determinanten
Die Determinante einer Matrix wird als det(\({\bf A}\)) oder \(|{\bf A}|\) geschrieben und als
\
berechnetWenn die Determinante eines Tensors oder einer Matrix Null ist, hat sie keine Inverse.
Tensor-Notation
Die Berechnung einer Determinante kann in Tensor-Notation in ein paar verschiedene Arten geschrieben werden
\ Die Determinante des Produkts von zwei Matrizen ist die gleiche wie das Produkt der Determinanten der beiden Matrizen. Mit anderen Worten,
\
Die Determinante eines Verformungsgradienten gibtdas Verhältnis von Anfangs- zu Endvolumen eines Differentialelements.
Inverse
Das Inverse der Matrix \({\bf A}\) wird als \({\bf A}^{\!-1}\)und hat die folgende sehr wichtige Eigenschaft(siehe Abschnitt zur Matrixmultiplikation unten)
\
Wenn \({\bf B}\) die Umkehrung von \({\bf A}\) ist, dann
\
Tensornotation
Die Umkehrung von \(A_{ij}\) wird oft als \(A^{-1}_{ij}\) geschrieben.Beachten Sie, dass dies wahrscheinlich nicht rigoros korrekt ist, da, wie bereits erwähnt, weder \(A_{ij}\) noch \(A^{-1}_{ij}\) technisch Matrizen selbst sind.Sie sind nur Bestandteile einer Matrix. Na ja…
Die Inverse kann berechnet werden mit
\
Matrix Inverse Webpage
Diese Seite berechnet die Inverse einer 3×3-Matrix.
Transponiert von Inversen von Transponiert von…
Die Inverse einer Transponierung einer Matrix entspricht der Transponierung einer Inversen der Matrix. Da die Reihenfolge keine Rolle spielt, wird die double Operation einfach als \({\bf{A}}^{\!-T}\).
\
Matrixaddition
Matrizen und Tensoren werden wie Vektoren Komponente für Komponente hinzugefügt.Dies wird leicht in Tensor-Notation ausgedrückt.
\
Matrixmultiplikation (Punktprodukte)
Das Punktprodukt zweier Matrizen multipliziert jede Zeile der ersten mit jeder Spalteder zweiten. Produkte werden oft mit einem Punkt in Matrixnotation als\( {\bf A} \cdot {\bf B} \) geschrieben, aber manchmal ohne den Punkt als \( {\bf A} {\bf B} \) . Multiplikationsregeln lassen sich in der Tat am besten durch Tensor-Notation erklären.
\
(Beachten Sie, dass in der Tensor-Notation kein Punkt verwendet wird.) Das \(k\) in beiden Faktoren impliziert automatisch
\
die i-te Zeile der ersten Matrix multipliziert mit der j-ten Spalte der zweiten Matrix. Wenn Sie zum Beispiel \(C_{23}\) berechnen wollen, dann \(i=2\) und \(j=3\), und
\
Matrixmultiplikations-Webseite
Diese Seite berechnet das Punktprodukt von zwei 3×3 Matrizen.
Die Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ
Es ist sehr wichtig zu erkennen, dass die Matrixmultiplikation NICHT kommutativ ist, d. H. dass die Matrixmultiplikation NICHT kommutativ ist.
\
Transponiert und Umgekehrt von Produkten
Die Transponierung eines Produkts entspricht dem Produkt der transponiert in umgekehrter Reihenfolge, unddie Inverse eines Produkts entspricht dem Produkt der Inversen in umgekehrter Reihenfolge.
Beachten Sie, dass die „in umgekehrter Reihenfolge“ ist kritisch.Dies wird ausgiebig in den Abschnitten über Verformungsgradienten und grüne Dehnungen verwendet.
\
Dies gilt auch für mehrere Produkte. Zum Beispiel
\
Produkt mit eigener Transponierung
Das Produkt einer Matrix und ihrer eigenen Transponierung ist immer eine symmetrische Matrix.\({\bf A}^ T \cdot {\bf A} \)und \({\bf A} \cdot {\bf A}^T\)ergeben beide symmetrische, wenn auch unterschiedliche Ergebnisse.Dies wird ausgiebig in den Abschnitten über Verformungsgradienten und grüne Dehnungen verwendet.
Doppelpunktprodukte
Das Doppelpunktprodukt zweier Matrizen erzeugt einen Skalar result.It wird in Matrixnotation als \({\bf A} : {\bf B}\) geschrieben.Obwohl selten außerhalb der Kontinuumsmechanik verwendet,ist in der Tat ziemlich häufig in fortgeschrittenen Anwendungen vonlineare Elastizität. Zum Beispiel gibt \( {1 \over 2} \sigma : \epsilon \) die Dehnungsenergiedichte in kleiner linearer Elastizität an.Auch hier lässt sich die Berechnung am besten mit der Tensor-Notation erklären.
\
Da die Indizes \(i\) und \(j\) in beiden Faktoren vorkommen, werden beide zu
\
summiert