Magic Square

A magic square is a square array of numbers consisting of the distinct positive integers 1, 2, …, so angeordnet, dass die Summe der Zahlen in jeder horizontalen, vertikalen oder diagonalen Hauptlinie immer dieselbe Zahl ist (Kraitchik 1942, S. 142; Andrews 1960, S. 1; Gardner 1961, S. 130; Madachy 1979, S. 84; Benson und Jacoby 1981 , s. 3; Ball and Coxeter 1987, S. 193), bekannt als die magische Konstante

Wenn jede Zahl in einem magischen Quadrat von subtrahiert wird, wird ein weiteres magisches Quadrat erhalten, das als komplementäres magisches Quadrat bezeichnet wird. Ein Quadrat, das aus fortlaufenden Zahlen besteht, die mit 1 beginnen, wird manchmal als „normales“ magisches Quadrat bezeichnet.

Das einzigartige normale Quadrat der Ordnung drei war den alten Chinesen bekannt, die es Lo Shu nannten. Eine Version des magischen Quadrats der Ordnung 4 mit den Zahlen 15 und 14 in benachbarten mittleren Spalten in der unteren Reihe heißt Dürers magisches Quadrat. Magische Quadrate der Ordnung 3 bis 8 sind oben gezeigt.

Die magische Konstante für ein allgemeines magisches Quadrat der dritten Ordnung, beginnend mit einer Ganzzahl und mit Einträgen in einer aufsteigenden arithmetischen Reihe mit Differenz zwischen Termen ist

(Jäger und Madachy 1975).

Es ist ein ungelöstes Problem, die Anzahl der magischen Quadrate einer beliebigen Reihenfolge zu bestimmen, aber die Anzahl der verschiedenen magischen Quadrate (mit Ausnahme derjenigen, die durch Rotation und Reflexion erhalten werden) der Reihenfolge , 2, … sind 1, 0, 1, 880, 275305224, … (OEIS A006052; Madachy 1979, S. 87). Die 880 Quadrate der Ordnung vier wurden 1693 von Frénicle de Bessy aufgezählt und sind in Berlekamp et al. (1982, S. 778-783). Die Anzahl der magischen Quadrate wurde 1973 von R. Schroeppel berechnet. Die Anzahl der Quadrate ist nicht bekannt, aber Pinn und Wieczerkowski (1998) schätzten sie auf mit Monte-Carlo-Simulation und Methoden aus der statistischen Mechanik. Methoden zur Aufzählung magischer Quadrate werden von Berlekamp et al. (1982) und auf der MathPages-Website.

Ein Quadrat, das nur deshalb nicht magisch ist, weil eine oder beide der Hauptdiagonalsummen nicht der magischen Konstante entsprechen, wird als semimagisches Quadrat bezeichnet. Wenn sich alle Diagonalen (einschließlich der durch Umwickeln erhaltenen) eines magischen Quadrats zur magischen Konstante summieren, wird das Quadrat als panmagisches Quadrat bezeichnet (auch als diabolisches Quadrat oder pandiagonales Quadrat bezeichnet). Wenn das Ersetzen jeder Zahl durch ihr Quadrat ein anderes magisches Quadrat erzeugt, wird das Quadrat als bimagisches Quadrat (oder doppelt magisches Quadrat) bezeichnet. Wenn ein Quadrat für und magisch ist, wird es als trimagisches Quadrat (oder dreifach magisches Quadrat) bezeichnet. Wenn sich alle Zahlenpaare symmetrisch gegenüber dem Zentrum zu summieren, wird das Quadrat als assoziatives magisches Quadrat bezeichnet.

Quadrate, die unter Multiplikation anstelle von Addition magisch sind, können konstruiert werden und werden als multiplikationsmagische Quadrate bezeichnet. Darüber hinaus können Quadrate, die sowohl unter Addition als auch Multiplikation magisch sind, konstruiert werden und werden als Addition-Multiplikation magische Quadrate (Hunter und Madachy 1975) bekannt.

Kraitchik (1942) gibt allgemeine Techniken zum Konstruieren von geraden und ungeraden Quadraten der Ordnung . Für odd kann eine sehr einfache Technik verwendet werden, die als siamesische Methode bekannt ist, wie oben dargestellt (Kraitchik 1942, S. 148-149). Es beginnt damit, eine 1 in das mittlere Quadrat der oberen Reihe zu platzieren und dann schrittweise nachfolgende Zahlen in das Quadrat eine Einheit darüber und rechts zu platzieren. Die Zählung wird umwickelt, so dass das Abfallen von oben nach unten und das Abfallen von rechts nach links zurückkehrt. Wenn ein Quadrat angetroffen wird, das bereits gefüllt ist, wird stattdessen die nächste Zahl unter die vorherige gesetzt und die Methode wird wie zuvor fortgesetzt. Die Methode, auch de la Loubere-Methode genannt, soll erstmals im Westen gemeldet worden sein, als de la Loubere nach seiner Tätigkeit als Botschafter in Siam nach Frankreich zurückkehrte.

Eine Verallgemeinerung dieser Methode verwendet einen „gewöhnlichen Vektor“ , der den Offset für jede nicht kollidierende Bewegung angibt, und einen „Break-Vektor“ , der den Offset angibt, der bei einer Kollision eingeführt werden soll. Die siamesische Standardmethode hat daher einen gewöhnlichen Vektor (1, und einen Break-Vektor (0, 1). Damit dies ein magisches Quadrat erzeugt, muss jeder Bruchzug auf einer ungefüllten Zelle enden. Spezielle Klassen von magischen Quadraten können konstruiert werden, indem die absoluten Summen und . Nennen Sie die Menge dieser Zahlen sumdiffs (Summen und Differenzen). Wenn alle Sumdiffs relativ prim zu sind und das Quadrat ein magisches Quadrat ist, dann ist das Quadrat auch ein panmagisches Quadrat. Diese Theorie stammt von de la Hire. Die folgende Tabelle gibt die Summendiffs für bestimmte Auswahlmöglichkeiten von Ordinär- und Bruchvektoren an.

Eine zweite Methode zur Erzeugung magischer Quadrate ungerader Ordnung wurde von J. H. Conway unter dem Namen der „Lozenge“ -Methode diskutiert. Wie oben dargestellt, werden bei diesem Verfahren die ungeraden Zahlen entlang diagonaler Linien in Form eines Diamanten im zentralen Teil des Quadrats aufgebaut. Die geraden Zahlen, die verpasst wurden, werden dann nacheinander entlang der Fortsetzung der Diagonale addiert, die durch Umwickeln des Quadrats erhalten wird, bis die umwickelte Diagonale ihren Anfangspunkt erreicht. Im obigen Quadrat füllt sich daher die erste Diagonale aus 1, 3, 5, 2, 4, die zweite Diagonale füllt 7, 9, 6, 8, 10, und so weiter.

Eine elegante Methode zum Konstruieren von magischen Quadraten doppelt gerader Ordnung besteht darin, s durch jedes Teilquadrat zu zeichnen und alle Quadrate nacheinander zu füllen. Ersetzen Sie dann jeden Eintrag auf einer durchgestrichenen Diagonale durch oder umgekehrt die Reihenfolge der durchgestrichenen Einträge. So sind im obigen Beispiel für die durchgestrichenen Zahlen ursprünglich 1, 4, …, 61, 64, so wird Eintrag 1 durch 64, 4 durch 61 usw. ersetzt.

Eine sehr elegante Methode zum Konstruieren von magischen Quadraten einfach gerader Ordnung mit (es gibt kein magisches Quadrat der Ordnung 2) ist J. H. Conway zu verdanken, der es die „LUX“ -Methode nennt. Erstellen Sie ein Array bestehend aus Zeilen von s, 1 Zeile von uns und Zeilen von s, alle Länge . Tauschen Sie das mittlere U mit dem darüber liegenden L aus. Generieren Sie nun das magische Quadrat der Reihenfolge mit der siamesischen Methode, die auf dem Buchstabenfeld zentriert ist (beginnend im mittleren Quadrat der oberen Reihe), füllen Sie jedoch jeden Satz von vier Quadraten, die einen Buchstaben umgeben, nacheinander gemäß der vom Buchstaben vorgeschriebenen Reihenfolge. Diese Reihenfolge ist auf der linken Seite der obigen Abbildung dargestellt, und das fertige Quadrat ist rechts dargestellt. Die „Formen“ der Buchstaben L, U und X legen natürlich die Füllreihenfolge nahe, daher der Name des Algorithmus.Variationen über magische Quadrate können auch mit Buchstaben konstruiert werden (entweder bei der Definition des Quadrats oder als Einträge darin), wie das alphamagische Quadrat und das magische Quadrat der Templer.

Verschiedene numerologische Eigenschaften wurden auch mit magischen Quadraten in Verbindung gebracht. Pivari verbindet die oben dargestellten Quadrate mit Saturn, Jupiter, Mars, der Sonne, Venus, Merkur und dem Mond. Attraktive Muster werden durch Verbinden aufeinanderfolgender Zahlen in jedem der Quadrate erhalten (mit Ausnahme des magischen Sonnenquadrats).