Änderungsraten
Lineare Funktionen gelten für Probleme der realen Welt, die eine konstante Rate beinhalten.
Lernziele
Wenden Sie lineare Gleichungen an, um Probleme mit Änderungsraten zu lösen
Wichtige Erkenntnisse
Wichtige Punkte
- Wenn Sie wissen, dass ein reales Problem linear ist, z. B. die Entfernung, die Sie beim Joggen zurücklegen, können Sie die Funktion grafisch darstellen und einige Annahmen mit nur zwei Punkten treffen.
- Die Steigung einer Funktion entspricht der Änderungsrate für die abhängige Variable (y). Wenn Sie beispielsweise Entfernung gegen Zeit grafisch darstellen, gibt die Steigung an, wie schnell sich Ihre Entfernung mit der Zeit ändert, oder mit anderen Worten, Ihre Geschwindigkeit.
Schlüsselbegriffe
- Änderungsrate: Verhältnis zwischen zwei verwandten Größen, die sich ändern.
- lineare Gleichung: Eine Polynomgleichung ersten Grades (z. B. x=2y-7).
- slope: Das Verhältnis der vertikalen und horizontalen Abstände zwischen zwei Punkten auf einer Linie; null, wenn die Linie horizontal ist, undefiniert, wenn sie vertikal ist.
Änderungsrate
Lineare Gleichungen enthalten oft eine Änderungsrate. Beispielsweise wird die Geschwindigkeit, mit der sich die Entfernung im Laufe der Zeit ändert, als Geschwindigkeit bezeichnet. Wenn zwei Zeitpunkte und die gesamte zurückgelegte Strecke bekannt sind, kann die Änderungsrate, auch Steigung genannt, bestimmt werden. Aus diesen Informationen kann eine lineare Gleichung geschrieben werden, und dann können Vorhersagen aus der Gleichung der Linie gemacht werden.
Wenn die Einheit oder Menge, in Bezug auf die sich etwas ändert, nicht angegeben ist, ist die Rate normalerweise pro Zeiteinheit. Die häufigste Art von Rate ist „pro Zeiteinheit“, wie Geschwindigkeit, Herzfrequenz und Fluss. Verhältnisse, die einen nicht-zeitlichen Nenner haben, umfassen Wechselkurse, Alphabetisierungsraten und elektrisches Feld (in Volt / Meter).
Bei der Beschreibung der Einheiten einer Rate wird das Wort „pro“ verwendet, um die Einheiten der beiden Messungen zu trennen, die zur Berechnung der Rate verwendet werden (zum Beispiel wird eine Herzfrequenz als „Schläge pro Minute“ ausgedrückt).
Veränderungsrate: Reale Anwendung
Ein Athlet beginnt am Abend mit dem normalen Training für den nächsten Marathon. Um 6:00 Uhr beginnt er zu rennen und verlässt sein Zuhause. Um 7:30 Uhr beendet der Athlet den Lauf zu Hause und ist insgesamt 7,5 Meilen gelaufen. Wie schnell war seine Durchschnittsgeschwindigkeit im Laufe des Laufs?
Die Änderungsrate ist die Geschwindigkeit seines Laufs; Entfernung über die Zeit. Daher sind die beiden Variablen Zeit (x) und Entfernung (y). Der erste Punkt ist in seinem Haus, wo seine Uhr 6:00 Uhr las. Dies ist die Anfangszeit, also setzen wir sie auf 0. Unser erster Punkt ist also (0,0), weil er noch nirgendwo gelaufen ist. Denken wir an unsere Zeit in Stunden. Unser zweiter Punkt ist 1,5 Stunden später und wir sind 7,5 Meilen gelaufen. Der zweite Punkt ist (1.5,7.5). Unsere Geschwindigkeit (Änderungsrate) ist einfach die Steigung der Linie, die die beiden Punkte verbindet. Die Steigung, gegeben durch: m = \frac{y_{2}-y_{1}} {x_{2}-x_{1}} wird m = \frac{7.5}{1.5} = 5 Meilen pro Stunde.
Beispiel: Zeichne die Linie, die die Geschwindigkeit veranschaulicht
Um diese Linie grafisch darzustellen, benötigen wir den y-Schnittpunkt und die Steigung, um die Gleichung zu schreiben. Die Steigung betrug 5 Meilen pro Stunde und da der Startpunkt bei (0,0) lag, ist der y-Achsenabschnitt 0. Unsere letzte Funktion ist also y=5x.
Entfernungs- und Zeitdiagramm: Der Graph von y=5x. Die beiden Variablen sind Zeit (x) und Entfernung (y). Die Geschwindigkeit, mit der der Läufer läuft, beträgt 5 Meilen pro Stunde. Anhand des Diagramms können Vorhersagen unter der Annahme getroffen werden, dass seine Durchschnittsgeschwindigkeit gleich bleibt.
Mit dieser neuen Funktion können wir nun einige weitere Fragen beantworten.
- Wie viele Kilometer ist er nach der ersten halben Stunde gelaufen? Lösen Sie mit der Gleichung, wenn x=\frac{1}{2}, nach y. Wenn y= 5x, dann ist y = 5 (0,5) = 2,5 Meilen.
- Wenn er insgesamt 3 Stunden im gleichen Tempo gelaufen wäre, wie viele Kilometer wäre er gelaufen? Wenn x = 3, lösen Sie für y. Wenn y = 5x, dann y = 5 (3) = 15 Meilen.
Es gibt viele solcher Anwendungen für lineare Gleichungen. Alles, was eine konstante Änderungsrate beinhaltet, kann mit einer Linie mit der Steigung gut dargestellt werden. Solange Sie nur zwei Punkte haben und wissen, dass die Funktion linear ist, können Sie sie grafisch darstellen und Fragen stellen! Stellen Sie einfach sicher, dass das, was Sie fragen und grafisch darstellen, Sinn macht. Im Marathonbeispiel ist die Domäne beispielsweise nur x \ geq0 , da es keinen Sinn macht, in die negative Zeit zu gehen und Meilen zu verlieren!
Lineare mathematische Modelle
Lineare mathematische Modelle beschreiben reale Anwendungen mit Linien.
Lernziele
Lineare mathematische Modelle auf reale Probleme anwenden
Key Takeaways
Key Points
- Ein mathematisches Modell beschreibt ein System mit mathematischen Konzepten und Sprache.
- Lineare mathematische Modelle können mit Linien beschrieben werden. Zum Beispiel hat ein Auto, das 50 Meilen pro Stunde fährt, eine Strecke zurückgelegt, die durch y = 50x dargestellt wird, wobei x die Zeit in Stunden und y Meilen ist. Die Gleichung und das Diagramm können verwendet werden, um Vorhersagen zu treffen.
- Reale Anwendungen können auch mit mehreren Linien modelliert werden, z. B. wenn zwei Züge aufeinander zufahren. Der Punkt, an dem sich die beiden Linien schneiden, ist der Punkt, an dem sich die Züge treffen.
Schlüsselbegriffe
- mathematisches Modell: Eine abstrakte mathematische Darstellung eines Prozesses, Geräts oder Konzepts; es verwendet eine Reihe von Variablen, um Eingaben, Ausgaben, interne Zustände und Sätze von Gleichungen und Ungleichungen darzustellen, um ihre Interaktion zu beschreiben.
- lineare Regression: Ein Ansatz zur Modellierung der linearen Beziehung zwischen einer abhängigen Variablen y und einer unabhängigen Variablen x.
Mathematische Modelle
Ein mathematisches Modell ist eine Beschreibung eines Systems unter Verwendung mathematischer Konzepte und Sprache. Mathematische Modelle werden nicht nur in den Natur- und Ingenieurwissenschaften, sondern auch in den Sozialwissenschaften eingesetzt. Lineare Modellierung kann Bevölkerungsveränderung, Telefongebühren, die Kosten für die Anmietung eines Fahrrads, Gewichtsmanagement oder Fundraising umfassen. Ein lineares Modell umfasst die Änderungsrate (m) und den Anfangsbetrag, den y-Achsenabschnitt b. Nachdem das Modell geschrieben und ein Diagramm der Linie erstellt wurde, kann eines davon verwendet werden, um Vorhersagen über das Verhalten zu treffen.
Lineares Modell des realen Lebens
Viele alltägliche Aktivitäten erfordern die Verwendung mathematischer Modelle, möglicherweise unbewusst. Eine Schwierigkeit bei mathematischen Modellen besteht darin, die reale Anwendung in eine genaue mathematische Darstellung zu übersetzen.
Beispiel: Mieten eines Umzugswagens
Ein Vermieter berechnet eine Pauschalgebühr von 30 USD und zusätzlich 0,25 USD pro Meile, um einen Umzugswagen zu mieten. Schreiben Sie eine lineare Gleichung, um die Kosten y (in Dollar) in Bezug auf x, die Anzahl der gefahrenen Meilen, zu approximieren. Wie viel würde eine 75-Meilen-Reise kosten?
Unter Verwendung der Slope-Intercept-Form einer linearen Gleichung mit den Gesamtkosten y (abhängige Variable) und den Meilen x (unabhängige Variable):
\displaystyle y=mx+b
Die Gesamtkosten sind gleich der Rate pro Meile mal der Anzahl der gefahrenen Meilen plus den Kosten für die Pauschalgebühr:
\displaystyle y=0,25 x+30
Um die Kosten einer 75-Meilen-Reise zu berechnen, ersetzen Sie 75 für x in die Gleichung:
\displaystyle \begin{align} y&=0,25x+30\\ &&&=48.75 \end{align}
Reales Modell mit mehreren Gleichungen
Es ist auch möglich, mehrere Linien und ihre Gleichungen zu modellieren.
Beispiel
Anfangs sind die Züge A und B 325 Meilen voneinander entfernt. Zug A fährt mit 50 Meilen pro Stunde in Richtung B und Zug B fährt mit 80 Meilen pro Stunde in Richtung A. Wann treffen sich die beiden Züge? Wie weit fuhren die Züge zu dieser Zeit?
Beginnen Sie zunächst mit den Startpositionen der Züge (y-Abschnitte, b). Zug A beginnt sind der Ursprung, (0,0). Da Zug B anfangs 325 Meilen von Zug A entfernt ist, ist seine Position (0,325).
Zweitens, um die Gleichungen zu schreiben, die die Gesamtstrecke jedes Zuges in Bezug auf die Zeit darstellen, berechnen Sie die Änderungsrate für jeden Zug. Da Zug A in Richtung Zug B fährt, der einen größeren y-Wert hat, muss die Änderungsrate von Zug A positiv und gleich seiner Geschwindigkeit von 50 sein. Zug B fährt in Richtung A, der einen geringeren y-Wert hat, was B eine negative Änderungsrate gibt: -80.
Die beiden Linien sind also:
\displaystyle y_A=50x\\
Und:
\displaystyle y_B=−80x+325
Die beiden Züge treffen sich dort, wo sich die beiden Linien schneiden. Um herauszufinden, wo sich die beiden Linien schneiden, setze die Gleichungen gleich und löse nach x:
\displaystyle y_{A}=y_{B}
\displaystyle 50x=-80x+325
Das Lösen nach x ergibt:
\displaystyle x=2,5
Die beiden Züge treffen sich nach 2,5 Stunden. Um herauszufinden, wo dies ist, stecken Sie 2.5 in eine der beiden Gleichungen.
Wenn wir es in die erste Gleichung einfügen, erhalten wir 50 (2,5) =125, was bedeutet, dass es sich nach einer Reise von 125 Meilen trifft.
Hier ist das grafische Distanz-Zeit-Modell der beiden Züge:
Züge: Zug A (rote Linie) wird durch die Gleichung y=50x und Zug B (blaue Linie) durch die Gleichung y= -80x+325 dargestellt. Die beiden Züge treffen sich am Kreuzungspunkt (2,5, 125), der nach 125 Meilen in 2,5 Stunden liegt.
Anpassen einer Kurve
Die Kurvenanpassung mit einer Linie versucht, eine Linie so zu zeichnen, dass sie am besten zu allen Daten „passt“.
Lernziele
Verwenden Sie die Regressionsformel der kleinsten Quadrate, um die Linie der besten Anpassung für einen Satz von Punkten zu berechnen
Key Takeaways
Key Points
- Die Kurvenanpassung ist nützlich, um eine Kurve zu finden, die am besten zu den Daten passt. Dies ermöglicht Annahmen darüber, wie die Daten grob verteilt sind, und Vorhersagen über zukünftige Datenpunkte.
- Die lineare Regression versucht, eine Linie zu zeichnen, die am besten zu den Daten passt.
- Die Approximation der kleinsten Quadrate ist eine Art lineare Regression, die die Summe der Quadrate der Differenz zwischen dem approximierten Wert (von der Linie) und dem tatsächlichen Wert minimiert.
- Die Steigung der Linie, die sich n Datenpunkten annähert, ist gegeben durch m=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}\sum_{j=1}^{n}y_{j}}{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}^{2})-\frac{1}{n}(\sum_{i=1}^{n}x_{i})^{2}}.
- Der y-Schnittpunkt der Linie, die n Datenpunkte annähert, ist gegeben durch: b= \displaystyle{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_{1} – m \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i} = \left (\bar{y} – m \bar{x} \right)}
Schlüsselbegriffe
- Kurvenanpassung: Der Prozess des Konstruierens einer Kurve oder einer mathematischen Funktion, die am besten zu einer eine Reihe von Datenpunkten, die möglicherweise Einschränkungen unterliegen.
- Ausreißer: Ein Wert in einer statistischen Stichprobe, der weder zu einem Muster passt noch die meisten anderen Datenpunkte beschreibt.
- Approximation der kleinsten Quadrate: Ein Versuch, die Summen der quadratischen Entfernung zwischen dem vorhergesagten Punkt und dem tatsächlichen Punkt zu minimieren.
- lineare Regression: Ein Ansatz zur Modellierung der linearen Beziehung zwischen einer abhängigen Variablen y und einer unabhängigen Variablen x.
Kurvenanpassung
Kurvenanpassung ist der Prozess der Konstruktion einer Kurve oder mathematischen Funktion, die am besten zu einer Reihe von Datenpunkten passt, möglicherweise vorbehaltlich Einschränkungen. Die Kurvenanpassung kann entweder eine Interpolation beinhalten, bei der eine exakte Anpassung an die Daten erforderlich ist, oder eine Glättung, bei der eine „glatte“ Funktion konstruiert wird, die ungefähr zu den Daten passt. Angepasste Kurven können als Hilfe für die Datenvisualisierung verwendet werden, um Werte einer Funktion abzuleiten, für die keine Daten verfügbar sind, und um die Beziehungen zwischen zwei oder mehr Variablen zusammenzufassen. Die Extrapolation bezieht sich auf die Verwendung einer angepassten Kurve über den Bereich der beobachteten Daten hinaus und unterliegt einem höheren Maß an Unsicherheit, da sie die zur Konstruktion der Kurve verwendete Methode ebenso widerspiegeln kann wie die beobachteten Daten.In diesem Abschnitt werden wir nur Linien an Datenpunkte anpassen, aber es sollte beachtet werden, dass man Polynomfunktionen, Kreise, stückweise Funktionen und eine beliebige Anzahl von Funktionen an Daten anpassen kann und es ist ein stark verwendetes Thema in der Statistik.
Lineare Regressionsformel
Die lineare Regression ist ein Ansatz zur Modellierung der linearen Beziehung zwischen einer abhängigen Variablen y und einer unabhängigen Variablen x. Bei der linearen Regression wird eine Linie in Form eines Steigungsabschnitts y=mx+b gefunden, die am besten zu den Daten „passt“.
Das einfachste und vielleicht häufigste lineare Regressionsmodell ist die gewöhnliche Approximation der kleinsten Quadrate. Diese Approximation versucht, die Summen des quadratischen Abstands zwischen der Linie und jedem Punkt zu minimieren.
\displaystyle Deutschland m=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}\sum_{j=1}^{n}y_{j}}{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}^{2})-\frac{1}{n}(\sum_{i=1}^{n}x_{i})^{2}}
Um die Steigung der Linie der besten Anpassung zu ermitteln, berechnen Sie in den folgenden Schritten:
- Die Summe des Produkts der x- und y-Koordinaten \sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}.
- Die Summe der x-Koordinaten \sum_{i=1}^{n}x_{i}.
- Die Summe der y-Koordinaten \sum_{j=1}^{n}y_{j}.
- Die Summe der Quadrate der x-Koordinaten \sum_{i=1}^{n}(x_{i}^{2}).
- Die Summe der x-Koordinaten im Quadrat (\sum_{i=1}^{n}x_{i})^{2}.
- Der Quotient aus Zähler und Nenner.
\displaystyle \begin{align} b&= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_{1} – m \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i} \\ &= \ – m \bar{x} \right) \end{align}
Um den Y-Achsenabschnitt (b) zu finden, berechnen Sie mit den folgenden Schritten:
- Der Durchschnitt der y-Koordinaten. Sei \bar{y}, ausgesprochen y-bar, der mittlere (oder durchschnittliche) y-Wert aller Datenpunkte: \bar y =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} y_{i} .
- Der Mittelwert der x-Koordinaten. \bar{x}, ausgesprochen x-bar, ist der mittlere (oder durchschnittliche) x-Wert aller Datenpunkte: \bar x=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_{i} .
- Ersetzen Sie Werte in die obige Formel b=\bar{y} – m \bar{x}.
Mit diesen Werten von m und b haben wir nun eine Linie, die die Punkte auf dem Graphen approximiert.
Beispiel: Schreiben Sie die Anpassungslinie der kleinsten Quadrate und zeichnen Sie dann die Linie, die am besten zu den Daten passt
Für n = 8 Punkte: (-1,0),(0,0),(1,1),(2,2),(3,1),(4,2.5),(5,3) und (6,4).
Beispielpunkte: Die Punkte werden in einem Streudiagramm dargestellt.
Ermitteln Sie zunächst die Steigung (m) und den y-Achsenabschnitt (b), die sich diesen Daten am besten annähern, und verwenden Sie die Gleichungen aus dem vorherigen Abschnitt:
Berechnen Sie zum Ermitteln der Steigung:
- Die Summe des Produkts der x- und y-Koordinaten \sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}.
- Die Summe der x-Koordinaten \sum_{i=1}^{n}x_{i}.
- Die Summe der y-Koordinaten \sum_{i=1}^{n}y_{i}.
\displaystyle \begin{align} \sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}&&=57 \end{align} \displaystyle \begin{align} \sum_{i=1}^{n}x_{i}&&=20 \end{align}\displaystyle \begin{align} \sum_{i=1}^{n}y_{i}&&=13.5 \ende{ausrichten}
\displaystyle m=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}\sum_{j=1}^{n}y_{j}}{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}^{2})-\frac{1}{n}(\sum_{i=1}^{n}x_{i})^{2}}
4. Berechne den Zähler: Das Produkt der x
und y-Koordinaten
minus ein Achtel das Produkt der Summe der x-Koordinaten und der Summe der y-Koordinaten:
\displaystyle \sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}\sum_{j=1}^{n}y_{j}
Der Zähler in der Steigungsgleichung ist:
\displaystyle 57-\frac{1}{8}(20)(13.5)=23.25
5. Berechnen Sie den Nenner: Die
Summe der Quadrate der x-Koordinaten minus ein Achtel der Summe der x-Koordinaten im Quadrat:
\displaystyle \sum_{i=1}^{n}(x_{i}^{2})-\frac{1}{n}(\sum_{i=1}^{n}x_{i})^{2}
\displaystyle \begin{align} \sum_{i=1}^{n}(x_{i} ^{2})&&=92 \end{align}
Der Nenner ist 92-\frac{1}{8}(20)^{2}=92-50=42 und die Steigung ist der Quotient aus Zähler und Nenner: \frac{23.25}{42}\approx0.554.
Nun für den y-Schnittpunkt, (b) ein Achtel mal der Durchschnitt der x-Koordinaten: \bar{x}=\frac{20}{8}=2.5 und ein Achtel des Mittelwerts der y-Koordinaten: \bar{y}=\frac{13,5}{8}=1,6875.
Daher b=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_{1} – m \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i} \\:
\displaystyle b\approx1.6875-0.554(2.5)=0.3025.
Unsere endgültige Gleichung lautet daher y=0,554 x+0,3025, und diese Linie wird zusammen mit den Punkten grafisch dargestellt.
Linie der kleinsten Quadrate anpassen: Die Linie, die durch die Approximation der kleinsten Quadrate gefunden wurde, y = 0,554x + 0,3025. Beachten Sie, dass 4 Punkte über der Linie und 4 Punkte unter der Linie liegen.
Ausreißer und Regression des kleinsten Quadrats
Wenn wir einen Punkt haben, der weit von der Näherungslinie entfernt ist, werden die Ergebnisse verzerrt und die Linie viel schlechter. Nehmen wir zum Beispiel in unserem ursprünglichen Beispiel an, anstelle des Punktes (-1,0) haben wir (-1,6).
Mit den gleichen Berechnungen wie oben mit dem neuen Punkt sind die Ergebnisse:m\approx0.0536 und b\approx2.3035, um die neue Gleichung y = 0,0536x+2,3035 zu erhalten.
Betrachtet man die Punkte und die Linie in der neuen Abbildung unten, passt diese neue Linie aufgrund des Ausreißers (-1,6) nicht gut zu den Daten. In der Tat kann der Versuch, lineare Modelle an Daten anzupassen, die quadratisch, kubisch oder nichtlinear sind, oder Daten mit vielen Ausreißern oder Fehlern zu schlechten Näherungen führen.
Approximierte Ausreißerlinie: Hier ist die approximierte Linie mit dem neuen Ausreißerpunkt bei (-1, 6).