Purplemath
In der Gleichung einer geraden Linie (wenn die Gleichung als „y = mx + b“ geschrieben wird) ist die Steigung die Zahl „m“, die auf dem x multipliziert wird, und „b“ ist der y-Schnittpunkt (dh der Punkt, an dem die Linie die vertikale Linie y-Achse). Diese nützliche Form der Liniengleichung wird sinnvollerweise als „Slope-Intercept-Form“ bezeichnet.
Grafiken aus diesem Format können recht einfach sein, insbesondere wenn die Werte von „m“ und „b“ relativ einfache Zahlen sind — wie 2 oder -4,5, anstatt etwas Unordentliches wie
oder 1,67385.
In dieser Lektion werden wir uns die „realen“ Bedeutungen ansehen, die die Steigung und der y-Schnittpunkt einer Linie im Kontext haben können. Mit anderen Worten, angesichts eines „Wortproblems“, das etwas in der realen Welt modelliert, oder eines tatsächlichen linearen Modells in der realen Welt, wofür stehen die Steigung und der Achsenabschnitt der Modellierungsgleichung in praktischer Hinsicht?
Inhalt weiter unten
MathHelp.com
Als wir zum ersten Mal gerade Linien grafisch darstellten, sahen wir, dass die Steigung einer gegebenen Linie misst, wie sehr sich der Wert von y für jeden so sehr ändert, dass sich der Wert von x ändert. Betrachten Sie zum Beispiel diese Zeile:
Die Steigung der obigen Zeile ist der Wert
. Dies bedeutet, dass wir ab einem beliebigen Punkt auf dieser Linie zu einem anderen Punkt auf der Linie gelangen können, indem wir 3 Einheiten nach oben und dann 5 Einheiten nach rechts gehen. Aber (und das ist das Nützliche) wir könnten diese Steigung auch als Bruch über 1 betrachten; nämlich:
Dies sagt uns praktisch, dass für jede Einheit, die die x-Variable erhöht (dh nach rechts bewegt), die y-Variable um drei Fünftel einer Einheit zunimmt (dh steigt). Dies ist zwar nicht unbedingt so einfach wie „drei nach oben und fünf nach oben“, kann jedoch eine nützlichere Möglichkeit sein, Dinge zu betrachten, wenn wir Textprobleme lösen oder reale Modelle betrachten.
Advertisement
Slope: Sehr oft befassen sich lineare Gleichungsprobleme mit Änderungen im Laufe der Zeit; Die Gleichungen befassen sich damit, wie sehr sich etwas (dargestellt durch den Wert auf der vertikalen Achse) im Laufe der Zeit ändert (dargestellt auf der horizontalen Achse).
Affiliate
Eine Übung könnte beispielsweise darüber sprechen, wie die Bevölkerung in einer bestimmten Stadt von Jahr zu Jahr wächst, vorausgesetzt, die Bevölkerung nimmt jedes Jahr um einen bestimmten festen Betrag zu. Für jedes Jahr, das vergeht (dh für jede Zunahme von 1 entlang der horizontalen Achse), würde die Bevölkerung um diesen festen Betrag zunehmen (dh entlang der vertikalen Achse nach oben).
Intercept: Wenn x = 0 ist, ist der entsprechende y-Wert der y-Intercept. Im besonderen Kontext von Wortproblemen bezieht sich der y-Schnittpunkt (dh der Punkt, an dem x = 0 ist) auch auf den Startwert. Bei einer zeitbasierten Übung ist dies der Wert, als Sie mit dem Lesen begonnen haben oder als Sie begonnen haben, die Zeit und die damit verbundenen Änderungen zu verfolgen.
Im obigen Beispiel wäre der y-Schnittpunkt die Population, als die Soziologen anfingen, die Population zu verfolgen. Wenn sie ihre Messungen oder Berechnungen von einem „Basis“ -Jahr 1997 aus durchführen würden, würde „x = 0“ „dem Jahr 1997“ entsprechen, und der y-Achsenabschnitt würde „der Bevölkerung 1997“ entsprechen.
Hinweis: „Als Sie angefangen haben, den Überblick zu behalten“ ist nicht dasselbe wie „als (was auch immer Sie messen) begonnen wurde“. Wenn Sie das obige Beispiel verwenden, ist Ihr Bevölkerungswachstumsmodell für die Jahre 1997 bis 2015 möglicherweise sehr genau, aber die Stadt, deren Bevölkerung gemessen wird, wurde möglicherweise bereits 1672 gegründet. In diesem Fall würde „t = 0“ für „als wir 1997 mit dem Messen begannen“ stehen; es würde nicht für „das Nulljahr für die Stadt, die 1672 gegründet wurde“ stehen; „t = 2“ würde für 1999 stehen, zwei Jahre nachdem Sie mit dem Zählen begonnen haben; und so weiter.
Achten Sie genau darauf, wie die Variablen definiert sind!
Der Inhalt wird weiter unten fortgesetzt
Im Folgenden finden Sie einige Beispiele, um zu veranschaulichen, wie dies funktioniert.
-
Die durchschnittliche Lebenserwartung amerikanischer Frauen wurde verfolgt, und das Modell für die Daten ist y = 0.2t + 73, wobei t = 0 1960 entspricht. Erklären Sie die Bedeutung der Steigung und des y-Abschnitts.
Was ist die Steigung? Es ist m = 0,2. Dieser Wert sagt mir, dass für jede Erhöhung meiner Eingabevariablen t um 1 (dh für jede Erhöhung eines Jahres) der Wert meiner Ausgabevariablen y um 0,2 ansteigt.
Was bedeutet die Steigung?
Die Studie sagt mir, dass die durchschnittliche Lebenserwartung amerikanischer Frauen jedes Jahr um 0,2 Jahre oder etwa 2,4 Monate gestiegen ist.
Was ist der Wert von y, wenn t = 0 ist? Wenn ich mir die Gleichung anschaue, sehe ich, dass y = 73 ist.
Was bedeutet dieser y-Wert?
Der Intercept-Wert sagt mir, dass 1960 (als sie zu zählen begannen) die durchschnittliche Lebensdauer einer Amerikanerin 73 Jahre betrug.
-
Die Gleichung für die Geschwindigkeit (nicht die Höhe) eines Balls, der gerade in die Luft geworfen wird, ist gegeben durch v = 128 – 32t, wobei v die Geschwindigkeit (in Fuß pro Sekunde) und t die Anzahl der Sekunden nach dem Werfen des Balls ist. Mit welcher Anfangsgeschwindigkeit wurde der Ball geworfen? Was bedeutet der Hang?
Was ist die Steigung? Es ist m = -32. Dieser Wert sagt mir, dass ich für jede Erhöhung meiner Eingangsvariablen t um 1 eine Abnahme meiner Ausgangsvariablen v um 32 erhalte.
Was bedeutet die Steigung?
Die Steigung sagt mir, dass für jede Sekunde, die vergeht, die Geschwindigkeit des Balls um 32 Fuß pro Sekunde abnimmt.
(Übrigens wird die Geschwindigkeit schließlich Null (wenn der Ball den Höhepunkt seines Bogens erreicht) und wird dann negativ (wenn die Schwerkraft übernimmt und den Ball zurück auf den Boden zieht).
Was ist der Wert von v, wenn t = 0 ist? Wenn ich die Gleichung betrachte, sehe ich, dass v = 128 ist. Die Übung definiert v als Messung der Geschwindigkeit des Balls.
Was bedeutet dieser v-Wert?
Der Intercept-Wert sagt mir, dass der Ball beim Loslassen mit einer Geschwindigkeit von 128 Fuß pro Sekunde nach oben geschossen wurde.
-
Fischer in der Region Finger Lakes haben die toten Fische aufgezeichnet, denen sie beim Angeln in der Region begegnen. Das Department of Environmental Conservation überwacht den Verschmutzungsindex für die Finger Lakes Region. Das Modell für die Anzahl der Fischsterben „y“ für einen gegebenen Verschmutzungsindex „x“ ist y = 9.607x + 111.958. Was bedeutet der Hang? Was ist die Bedeutung des y-Abschnitts?
Was ist die Steigung? Es ist m = 9.607. Dieser Wert sagt mir, dass ich für jede Erhöhung meiner Eingangsvariablen x um 1 eine Erhöhung meiner Ausgangsvariablen y um 9,607 erhalte.
Was bedeutet die Steigung?
Die Steigung sagt mir, dass es bei jedem Anstieg des Verschmutzungsindex um eine Einheit (z. B. von einem Verschmutzungsindex von 6 auf einen Verschmutzungsindex von 7) im Laufe des Jahres neun oder zehn weitere Fischsterben gibt.
(Warum „oder“? Denn der 0,607-Anteil eines Fisches macht in der Praxis keinen Sinn. Die Anzahl der gefundenen Fische wird eine ganze Zahl sein; In diesem Fall wird erwartet, dass diese ganze Zahl entweder neun oder zehn ist.
Was ist der Wert von y, wenn x = 0 ist? Wenn ich mir die Gleichung ansehe, sehe ich, dass y = 111.958 .
Was bedeutet dieser y-Wert?
Der Intercept-Wert sagt mir, dass selbst wenn der Index Null wäre (das heißt, selbst wenn das Wasser absolut rein wäre), es immer noch ungefähr 112 Fischsterben pro Jahr geben würde.
Wortprobleme mit linearen Gleichungen (dh mit geradlinigen Modellen) funktionieren fast immer so: Die Steigung ist die Änderungsrate und der y-Achsenabschnitt ist der Startwert. (Ich kann mir keinen Fall vorstellen, in dem dies nicht der Fall wäre.)
Die Hauptschwierigkeit besteht normalerweise darin, die horizontale Variable zu interpretieren, insbesondere wenn diese Variable mit einem bestimmten Jahr verknüpft ist. Stellen Sie immer sicher, dass Sie sich über die Definitionen der Variablen im Klaren sind, und es sollte Ihnen gut gehen.
URL: https://www.purplemath.com/modules/slopyint.htm