Eine kontinuierliche Welle geht kontinuierlich ohne Intervalle weiter und ist das Basisband-Nachrichtensignal, das die Informationen enthält. Diese Welle muss moduliert werden.
Gemäß der Standarddefinition „variiert die Amplitude des Trägersignals entsprechend der momentanen Amplitude des modulierenden Signals.“ Was bedeutet, dass die Amplitude des Trägersignals, das keine Informationen enthält, zu jedem Zeitpunkt entsprechend der Amplitude des Signals, das Informationen enthält, variiert. Dies kann durch die folgenden Abbildungen gut erklärt werden.
Die erste abbildung zeigt die modulierende welle, die ist die nachricht signal. Die nächste ist die Trägerwelle, die ein Hochfrequenzsignal ist und keine Information enthält. Die letzte ist die resultierende modulierte Welle.
Es kann beobachtet werden, dass die positiven und negativen Peaks der Trägerwelle mit einer imaginären Linie verbunden sind. Diese Linie hilft, die genaue Form des modulierenden Signals wiederherzustellen. Diese imaginäre Linie auf der Trägerwelle wird als Hüllkurve bezeichnet. Es ist das gleiche wie das des Nachrichtensignals.
Mathematische Ausdrücke
Im Folgenden sind die mathematischen Ausdrücke für diese Wellen.
Zeitbereichsdarstellung der Wellen
Das modulierende Signal sei,
$$m\left ( t \right )=A_m\cos\left ( 2\pi f_mt \right )$$
und das Trägersignal sei,
$$c\left (t \right )=A_c\cos\left ( 2\pi f_ct \right )$$
Wobei
$A_m$ und $A_c$ die Amplitude des modulierenden Signals bzw. des Trägersignals sind.
$f_m$ und $f_c$ sind die Frequenz des modulierenden Signals bzw. des Trägersignals.
Dann ist die Gleichung der amplitudenmodulierten Welle
$s(t)= \left \cos \left (2\pi f_ct \right )$ (Gleichung 1)
Modulationsindex
Eine Trägerwelle wird nach der Modulation, wenn der modulierte Pegel berechnet wird, als Modulationsindex oder Modulationstiefe bezeichnet. Es gibt den Grad der Modulation an, den eine Trägerwelle erfährt.
Ordnen Sie die Gleichung 1 wie folgt an.
$s(t)=A_c\left \cos \left ( 2\pi f_ct \right )$
$\Rightarrow s\left ( t \right ) = A_c\left \cos\left ( 2 \pi f_ct \right )$ (Gleichung 2)
Wobei, $ \mu$ ist der Modulationsindex und entspricht dem Verhältnis von $A_m $ und $A_c $. Mathematisch können wir es schreiben als
$\mu = \frac{A_m}{A_c}$ (Gleichung 3)
Daher können wir den Wert des Modulationsindex mit der obigen Formel berechnen, wenn die Amplituden der Nachrichten- und Trägersignale bekannt sind.Lassen Sie uns nun eine weitere Formel für den Modulationsindex ableiten, indem wir Gleichung 1 betrachten. Wir können diese Formel zur Berechnung des Modulationsindexwerts verwenden, wenn die maximalen und minimalen Amplituden der modulierten Welle bekannt sind.
$A_\max$ und $A_\min$ seien die maximalen und minimalen Amplituden der modulierten Welle.
Wir erhalten die maximale Amplitude der modulierten Welle, wenn $\cos \left ( 2\pi f_mt \right )$ 1 ist.
$\Rightarrow A_\max = A_c + A_m$ (Gleichung 4)
Wir erhalten die minimale Amplitude der modulierten Welle, wenn $\cos \left ( 2\pi f_mt \right )$ -1 ist.
$\Rightarrow A_\min = A_c – A_m$ (Gleichung 5)
Addiere Gleichung 4 und Gleichung 5.
$$A_\max + A_\min = A_c+A_m+A_c-A_m = 2A_c$$
$\Rightarrow A_c = \frac{A_\max + A_\min}{2}$ (Gleichung 6)
Subtrahiere Gleichung 5 von Gleichung 4.
$$A_\max – A_\min = A_c + A_m – \left (A_c -A_m \right )=2A_m$$
$\Rightarrow A_m = \frac{A_\max – A_\min}{2}$ (Gleichung 7)
Das Verhältnis von Gleichung 7 und Gleichung 6 ist wie folgt.
$$\frac{A_m}{A_c} = \frac{\links ( A_{max} – A_{min}\rechts )/2}{\links ( A_{max} + A_{min}\rechts )/2}$$
$\Rightarrow \mu = \frac{A_\max – A_\min}{A_\max + A_\min }$ (Gleichung 8)
Daher sind Gleichung 3 und Gleichung 8 die beiden Formeln für den Modulationsindex. Der Modulationsindex oder die Modulationstiefe wird oft in Prozent als Prozentsatz der Modulation bezeichnet. Wir erhalten den Prozentsatz der Modulation, indem wir den Modulationsindexwert mit 100 multiplizieren.
Für eine perfekte Modulation sollte der Wert des Modulationsindex 1 sein, was bedeutet, dass der Prozentsatz der Modulation 100% betragen sollte.
Wenn dieser Wert beispielsweise kleiner als 1 ist, d. h. der Modulationsindex 0,5 ist, würde der modulierte Ausgang wie in der folgenden Abbildung aussehen. Das nennt man Untermodulation. Eine solche Welle wird als untermodulierte Welle bezeichnet.
Wenn der Wert des Modulationsindex größer als 1 ist, d. H. 1,5 oder so, dann ist die Welle eine übermodulierte Welle. Es würde wie die folgende Abbildung aussehen.
Wenn der Wert des Modulationsindex ansteigt, erfährt der Träger eine 180o-Phasenumkehr, die zusätzliche Seitenbänder verursacht und daher die Welle verzerrt. Eine solche übermodulierte Welle verursacht Interferenzen, die nicht beseitigt werden können.
Bandbreite der AM-Welle
Die Bandbreite (BW) ist die Differenz zwischen der höchsten und der niedrigsten Frequenz des Signals. Mathematisch können wir es schreiben als
$$BW = f_{max} – f_{min}$$
Betrachten Sie die folgende Gleichung der amplitudenmodulierten Welle.
$$s\links ( t \rechts ) = A_c\links \cos\links (2 \pi f_ct \rechts)$$
$$\Rightarrow s\links ( t \rechts) = A_c\cos \links (2\pi f_ct \rechts)+ A_c\mu \cos(2\pi f_ct)\cos \links (2\pi f_mt \rechts)$$
$\Rightarrow s\left ( t \right )= A_c\cos \left ( 2\pi f_ct \right )+\frac{A_c\mu }{2}\cos \left +\frac{A_c\mu }{2}\cos \left $
Daher hat die amplitudenmodulierte Welle drei Frequenzen. Das sind Trägerfrequenz $f_c$, obere Seitenbandfrequenz $f_c + f_m$ und untere Seitenbandfrequenz $f_c-f_m$
Hier
$f_{max}=f_c+f_m$ und $f_{min}=f_c-f_m$
Ersatz, $f_{max}$ und $f_{min}= }$ Werte in der Bandbreitenformel.
$$BW=f_c+f_m-\left ( f_c-f_m \right )$$
$$\Rightarrow BW=2f_m$$
Somit kann gesagt werden, dass die für amplitudenmodulierte Wellen erforderliche Bandbreite doppelt so hoch ist wie die Frequenz des modulierenden Signals.
Leistungsberechnungen der AM-Welle
Betrachten Sie die folgende Gleichung der amplitudenmodulierten Welle.
$\ s\left ( t \right )= A_c\cos \left ( 2\pi f_ct \right )+\frac{A_c\mu }{2}\cos \left +\frac{A_c\mu }{2}\cos \left $
Die Leistung der AM-Welle ist gleich der Summe der Leistungen der Frequenzkomponenten Träger, oberes Seitenband und unteres Seitenband.
$$P_t=P_c+P_{USB}+P_{LSB}$$
Wir wissen, dass die Standardformel für die Potenz eines Signals ist
$$P=\frac{{v_{rms}}^{2}}{R}=\frac{\left ( v_m/ \sqrt{2}\right )^2}{2}$$
Wobei
$v_{rms}$ der Effektivwert des Signals ist.
$v_m$ ist der Spitzenwert des Signals.
Zuerst finden wir die Kräfte des Trägers, das obere und untere Seitenband nacheinander.
Trägerleistung
$$P_c=\frac{\left ( A_c/\sqrt{2} \right )^2}{R}=\frac{{A_{c}}^{2}}{2R}$$
Obere Seitenbandleistung
$$P_{USB}=\frac{\left ( A_c\mu /2\sqrt{2} \right )^2} {R}=\frac{{A_{c}}^{2}{_{\ mu }}^{2}}{8R}$$
In ähnlicher Weise erhalten wir die untere Seitenbandleistung wie die der oberen Seitenbandleistung.
$$P_{LSB}=\frac{{A_{c}}^{2}{_{\ mu }}^{2}}{8R}$$
Fügen wir nun diese drei Kräfte hinzu, um die Kraft der AM-Welle zu erhalten.
$$P_t=\frac{{A_{c}}^{2}}{2R}+\frac{{A_{c}}^{2}{_{\ mu }}^{2}}{8R}+\frac{{A_{c}}^{2}{_{\ mu }}^{2}}{8R}$$
$$\Rightarrow P_t=\links ( \frac{{A_{c}}^{2}}{2R} \rechts )\links ( 1+\frac{\mu ^2}{4}+\frac{\mu ^2}{4} \rechts)$$
$$\Rightarrow P_t=P_c\links ( 1+\frac{\mu ^2} {2} \right )$$
Wir können die obige Formel verwenden, um die Leistung der AM-Welle zu berechnen, wenn die Trägerleistung und der Modulationsindex bekannt sind.
Wenn der Modulationsindex $ \ mu = 1 $ ist, dann ist die Leistung der AM-Welle gleich dem 1,5-fachen der Trägerleistung. Die für die Übertragung einer AM-Welle erforderliche Leistung beträgt also 1.5-fache Trägerleistung für eine perfekte Modulation.