Es gibt eine spezielle Art von System, das zusätzliche Studien erfordert. Diese Art von System wird als homogenes Gleichungssystem bezeichnet, das wir oben in der Definition definiert haben . Unser Fokus in diesem Abschnitt liegt auf der Frage, welche Arten von Lösungen für ein homogenes Gleichungssystem möglich sind.
Betrachten Sie die folgende Definition.
Definition \(\pageIndex{1}\): Triviale Lösung
Betrachten Sie das homogene Gleichungssystem von \ Then, \(x_{1} = 0, x_{2} = 0, \cdots, x_{n} =0\) ist immer eine Lösung für dieses System. Wir nennen das die triviale Lösung .
Wenn das System eine Lösung hat, in der nicht alle \(x_1, \cdots, x_n\) gleich Null sind, dann nennen wir diese Lösung nichttrivial . Die triviale Lösung sagt uns nicht viel über das System aus, da sie besagt, dass \(0= 0\)! Wenn wir mit homogenen Gleichungssystemen arbeiten, möchten wir daher wissen, wann das System eine nicht triviale Lösung hat.Angenommen, wir haben ein homogenes System von \(m\) Gleichungen unter Verwendung von \(n\) Variablen und nehmen an, dass \(n > m\) . Mit anderen Worten, es gibt mehr Variablen als Gleichungen. Dann stellt sich heraus, dass dieses System immer eine nicht triviale Lösung hat. Das System wird nicht nur eine nicht triviale Lösung haben, sondern auch unendlich viele Lösungen. Es ist auch möglich, aber nicht erforderlich, eine nichttriviale Lösung zu haben, wenn \(n=m\) und \(n<m\) .
Betrachten Sie das folgende Beispiel.
Beispiel \(\pageIndex{1}\): Lösungen für ein homogenes Gleichungssystem
Finden Sie die nichttrivialen Lösungen für das folgende homogene Gleichungssystem \
Lösung
Beachten Sie, dass dieses System \(m = 2\) Gleichungen und \(n = 3\) Variablen hat, also \(n>m\). Daher erwarten wir durch unsere vorherige Diskussion, dass dieses System unendlich viele Lösungen hat.
Der Prozess, den wir verwenden, um die Lösungen für ein homogenes Gleichungssystem zu finden, ist derselbe Prozess, den wir im vorherigen Abschnitt verwendet haben. Zuerst konstruieren wir die erweiterte Matrix, gegeben durch \\] Dann tragen wir diese Matrix zu ihrer , unten angegeben. \\] Das entsprechende Gleichungssystem ist \ Da \(z\) durch keine Gleichung eingeschränkt wird, wissen wir, dass diese Variable unser Parameter wird. Sei \(z= t\), wobei \(t\) eine beliebige Zahl ist. Daher hat unsere Lösung die Form \ Daher hat dieses System unendlich viele Lösungen mit einem Parameter \(t\).
Angenommen, wir würden die Lösung des vorherigen Beispiels in einer anderen Form schreiben. Beachten Sie, dass wir eine Spalte aus den Konstanten in der Lösung (alle gleich \ (0\)) sowie eine Spalte entsprechend den Koeffizienten für \ (t\) in jeder Gleichung erstellt haben. Während wir diese Form der Lösung in weiteren Kapiteln näher diskutieren werden, betrachten wir vorerst die Spalte der Koeffizienten des Parameters \(t\). In diesem Fall ist dies die Spalte \(\left\).
Es gibt einen speziellen Namen für diese Spalte, die grundlegende Lösung ist. Die grundlegenden Lösungen eines Systems sind Spalten, die aus den Koeffizienten der Parameter in der Lösung aufgebaut sind. Wir bezeichnen grundlegende Lösungen oft mit \(X_1, X_2\) usw., je nachdem, wie viele Lösungen auftreten. Daher hat Beispiel die grundlegende Lösung \(X_1 = \left\) .
Wir untersuchen dies im folgenden Beispiel weiter.
Beispiel \(\pageIndex{1}\): Grundlegende Lösungen eines homogenen Systems
Betrachten Sie das folgende homogene Gleichungssystem. \ Finden Sie die grundlegenden Lösungen für dieses System.
Lösung
Die erweiterte Matrix dieses Systems und die daraus resultierenden sind \ \rightarrow \cdots \rightarrow \left\] Wenn dieses System in Gleichungen geschrieben wird, ist es gegeben durch \ Beachten Sie, dass nur \(x\) einer Pivot-Spalte entspricht. In diesem Fall haben wir zwei Parameter, einen für \(y\) und einen für \(z\). Sei \(y = s\) und \(z=t\) für beliebige Zahlen \(s\) und \(t\). Dann wird unsere Lösung \ was geschrieben werden kann als \ = \left + s \left + t \left\] Sie können hier sehen, dass wir zwei Spalten von Koeffizienten haben, die Parametern entsprechen, speziell eine für \(s\) und eine für \(t\). Daher hat dieses System zwei grundlegende Lösungen! Dies sind \, X_2 = \left\]
Wir präsentieren nun eine neue Definition.
Definition \(\pageIndex{1}\): Lineare Kombination
Seien \(X_1,\cdots ,X_n,V\) Spaltenmatrizen. Dann soll \(V\) eine lineare Kombination der Spalten \(X_1,\cdots , X_n\) sein, wenn Skalare existieren, \(a_{1},\cdots ,a_{n}\), so dass \
Ein bemerkenswertes Ergebnis dieses Abschnitts ist, dass eine lineare Kombination der grundlegenden Lösungen wieder eine Lösung für das System ist. Noch bemerkenswerter ist, dass jede Lösung als lineare Kombination dieser Lösungen geschrieben werden kann. Wenn wir also eine lineare Kombination der beiden Lösungen als Beispiel nehmen, wäre dies auch eine Lösung. Zum Beispiel könnten wir die folgende lineare Kombination nehmen
\ + 2 \left = \left\] Sie sollten sich einen Moment Zeit nehmen, um zu überprüfen, ob \ = \left\]
tatsächlich eine Lösung für das System in ist Beispiel .
Eine weitere Möglichkeit, mehr Informationen über die Lösungen eines homogenen Systems zu erhalten, besteht darin, den Rang der zugehörigen Koeffizientenmatrix zu berücksichtigen. Wir definieren nun, was mit dem Rang einer Matrix gemeint ist.
Definition \(\pageIndex{1}\): Rang einer Matrix
Sei \(A\) eine Matrix und betrachte jede von \(A\). Dann hängt die Anzahl \(r\) der führenden Einträge von \ (A\) nicht von der von Ihnen gewählten ab und wird als Rang von \ (A\) bezeichnet. Wir bezeichnen es mit Rang(\(A\)).
In ähnlicher Weise könnten wir die Anzahl der Pivot-Positionen (oder Pivot-Spalten) zählen, um den Rang von \(A\) zu bestimmen.
Beispiel \(\pageIndex{1}\): Den Rang einer Matrix finden
Betrachte die Matrix \\] Was ist ihr Rang?
Lösung
Zuerst müssen wir das von \(A\) finden. Durch den üblichen Algorithmus finden wir, dass dies \\] Hier haben wir zwei führende Einträge oder zwei Drehpositionen, die oben in Feldern angezeigt werden.Der Rang von \(A\) ist \(r = 2.\)
Beachten Sie, dass wir die gleiche Antwort erhalten hätten, wenn wir das von \(A\) anstelle des gefunden hätten .Angenommen, wir haben ein homogenes System von \(m\) Gleichungen in \(n\) Variablen und nehmen an, dass \(n > m\) . Aus unserer obigen Diskussion wissen wir, dass dieses System unendlich viele Lösungen haben wird. Wenn wir den Rang der Koeffizientenmatrix dieses Systems betrachten, können wir noch mehr über die Lösung herausfinden. Beachten Sie, dass wir nur die Koeffizientenmatrix betrachten, nicht die gesamte erweiterte Matrix.
Theorem \(\pageIndex{1}\): Rang und Lösungen für ein homogenes System
Sei \(A\) die \(m \mal n\) Koeffizientenmatrix, die einem homogenen Gleichungssystem entspricht, und angenommen, \(A\) hat den Rang \(r\). Dann hat die Lösung für das entsprechende System \(n-r\) Parameter.
Betrachten Sie unser obiges Beispiel im Kontext dieses Satzes. Das System in diesem Beispiel hat \(m = 2\) Gleichungen in \(n = 3\) Variablen. Erstens, weil \(n>m\) wir wissen, dass das System eine nichttriviale Lösung und daher unendlich viele Lösungen hat. Dies sagt uns, dass die Lösung mindestens einen Parameter enthält. Der Rang der Koeffizientenmatrix kann uns noch mehr über die Lösung erzählen! Der Rang der Koeffizientenmatrix des Systems ist \ (1\), da es einen führenden Eintrag in hat . Theorem sagt uns, dass die Lösung \(n-r = 3-1 = 2\) Parameter haben wird. Sie können überprüfen, ob dies in der Lösung zum Beispiel zutrifft.
Beachten Sie, dass es bei \(n=m\) oder \(n<m\) möglich ist, entweder eine eindeutige Lösung (die triviale Lösung) oder unendlich viele Lösungen zu haben.
Wir sind hier nicht auf homogene Gleichungssysteme beschränkt. Der Rang einer Matrix kann verwendet werden, um die Lösungen eines beliebigen linearen Gleichungssystems kennenzulernen. Im vorherigen Abschnitt haben wir besprochen, dass ein Gleichungssystem keine Lösung, eine eindeutige Lösung oder unendlich viele Lösungen haben kann. Angenommen, das System ist konsistent, unabhängig davon, ob es homogen ist oder nicht. Der folgende Satz sagt uns, wie wir den Rang verwenden können, um mehr über die Art der Lösung zu erfahren, die wir haben.
Theorem \(\pageIndex{1}\): Rang und Lösungen für ein konsistentes Gleichungssystem
Sei \(A\) die \(m \times \left( n+1 \right)\) erweiterte Matrix, die einem konsistenten Gleichungssystem in \(n\) Variablen entspricht, und angenommen, \(A\) hat den Rang \(r\). Dann
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Das System hat eine einzigartige Lösung if \(r = n\)
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das System hat unendlich viele Lösungen if \(r < n\)
Wir werden keinen formellen Beweis dafür vorlegen, sondern die folgenden Diskussionen berücksichtigen.
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Keine Lösung Der obige Satz geht davon aus, dass das System konsistent ist, dh dass es eine Lösung hat. Es stellt sich heraus, dass die erweiterte Matrix eines Systems ohne Lösung einen beliebigen Rang \(r\) haben kann, solange \(r>1\) . Daher müssen wir wissen, dass das System konsistent ist, um diesen Satz zu verwenden!
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Eindeutige Lösung Angenommen \(r=n\). Dann gibt es in jeder Spalte der Koeffizientenmatrix von \ (A\) eine Schwenkposition. Daher gibt es eine einzigartige Lösung.
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Unendlich viele Lösungen annehmen \(r<n\). Dann gibt es unendlich viele Lösungen. Es gibt weniger Pivot-Positionen (und damit weniger führende Einträge) als Spalten, was bedeutet, dass nicht jede Spalte eine Pivot-Spalte ist. Die Spalten, die \(nicht\) Pivot-Spalten sind, entsprechen Parametern. Tatsächlich haben wir in diesem Fall \(n-r\) Parameter.