en funktion relaterar en ingång till en utgång.
 |
det är som en maskin som har en ingång och en utgång. och utgången är på något sätt relaterad till ingången. |
| f(x) |
” f(x) = … ”är det klassiska sättet att skriva en funktion. |
ingång, relation, utgång
Vi kommer att se många sätt att tänka på funktioner, men det finns alltid tre huvuddelar:
- ingången
- förhållandet
- utgången
exempel: ”multiplicera med 2” är en mycket enkel funktion.
här är de tre delarna:
| Input | Relationship | Output |
|---|---|---|
| 0 | × 2 | 0 |
| 1 | × 2 | 2 |
| 7 | × 2 | 14 |
| 10 | × 2 | 20 |
| … | … | … |
For an input of 50, what is the output?
några exempel på funktioner
- x2 (kvadrering) är en funktion
- x3+1 är också en funktion
- sinus, cosinus och Tangent är funktioner som används i trigonometri
- och det finns mycket mer!
men vi kommer inte att titta på specifika funktioner …
… istället kommer vi att titta på den allmänna tanken på en funktion.
namn
först är det användbart att ge en funktion ett namn.
det vanligaste namnet är ”f”, men vi kan ha andra namn som” g”… eller till och med” marmelad ” om vi vill.
men låt oss använda ”f”:
vi säger ”f av x är lika med X kvadrat”
vad som går in i funktionen sätts inom parentes () efter namnet på funktionen:
så f(x) visar oss funktionen kallas ”f” och ”x” går in
och vi brukar se vad en funktion gör med ingången:
f(x) = X2 visar oss att funktionen ”f” tar ”x” och kvadrerar den.
exempel: med f (x) = x2:
- en ingång på 4
- blir en utgång på 16.
Vi kan faktiskt skriva f (4) = 16.
”x” är bara en platshållare!
bli inte alltför bekymrad över ”x”, Det är bara där för att visa oss var ingången går och vad som händer med den.
det kan vara vad som helst!
så den här funktionen:
f(x) = 1 – x + x2
är samma funktion som:
- f(q) = 1 – q + q2
- h(a) = 1 – A + A2
- w(kg) = 1 – C/C2
variabeln (x, q, A, etc) är bara där så vi vet var vi ska sätta värdena:
f(2) = 1 – 2 + 22 = 3
ibland finns det inget funktionsnamn
Ibland har en funktion inget namn, och vi ser något liknande:
y = x2
men det finns fortfarande:
- en ingång (x)
- ett förhållande (kvadrering)
- och en utgång (y)
Relating
överst sa vi att en funktion var som en maskin. Men en funktion har egentligen inte bälten eller Kuggar eller några rörliga delar – och det förstör faktiskt inte vad vi lägger i det!
en funktion relaterar en ingång till en utgång.
att säga ”f (4) = 16” är som att säga att 4 på något sätt är relaterat till 16. Eller 4 kg 16
exempel: detta träd växer 20 cm varje år, så trädets höjd är relaterad till dess ålder med funktionen h:
h(ålder) = ålder 20
så om åldern är 10 år är höjden:
h(10) = 10 20 = 200 cm
Här är några exempel värden:
| ålder | h(ålder) = ålder 20 |
|---|---|
| 0 | |
| 1 | 20 |
| 3.2 | 64 |
| 15 | 300 |
| … | … |
What Types of Things Do Functions Process?
”Numbers” seems an obvious answer, but …
 |
… which numbers? For example, the tree-height function h(age) = age×20 makes no sense for an age less than zero. |
 |
… det kan också vara Bokstäver (”A” Kubi”B”), eller ID-koder (”A6309” Kubi ”Pass”) eller stranger things. |
Så vi behöver något mer kraftfullt, och det är där uppsättningar kommer in:
 |
en uppsättning är en samling saker.Här är några exempel:
|
varje enskild sak i uppsättningen (till exempel” 4 ”eller” hatt”) kallas en medlem eller ett element.
så, en funktion tar element i en uppsättning och ger tillbaka element i en uppsättning.
en funktion är speciell
men en funktion har speciella regler:
- Det måste fungera för alla möjliga ingångsvärden
- Och det har bara en relation för varje ingångsvärde
detta kan sägas i en definition:
formell Definition av en funktion
en funktion relaterar varje element i en uppsättning
med exakt ett element i en annan uppsättning
(eventuellt samma uppsättning).
de två viktiga sakerna!
|
”…varje element…”betyder att varje element i X är relaterat till något element i Y. vi säger att funktionen täcker X (relaterar varje element i det). ( men vissa delar av Y kanske inte är relaterade till alls, vilket är bra.) |
|
”…exakt en…”betyder att en funktion är singel värderad. Det kommer inte att ge tillbaka 2 eller fler resultat för samma ingång. Så ”f (2) = 7 eller 9” är inte rätt! |
|
”One-to-many” är inte tillåtet, men ”many-to-one” är tillåtet: |
||
 |
 |
|
| (en-till-många) | (many-to-one) | |
| detta är inte ok i en funktion | men detta är OK i en funktion |
när en relation följer inte dessa två regler då det inte är en funktion … det är fortfarande en relation, bara inte en funktion.
exempel: The relationship x → x2
Could also be written as a table:
| X: x | Y: x2 |
|---|---|
| 3 | 9 |
| 1 | 1 |
| 0 | 0 |
| 4 | 16 |
| -4 | 16 |
| … | … |
It is a function, because:
- varje element i X är relaterat till Y
- inget element i X har två eller flera relationer
så det följer reglerna.
(Lägg märke till hur både 4 och -4 relaterar till 16, vilket är tillåtet.)
exempel: detta förhållande är inte en funktion:
det är ett förhållande, men det är inte en funktion av dessa skäl:
- värde ” 3 ”i X har ingen relation i Y
- värde” 4 ”i X har ingen relation i Y
- värde” 5 ”är relaterat till mer än ett värde i Y
(men det faktum att” 6 ”i Y inte har någon relation spelar ingen roll)
vertikal linjetest
på en graf betyder tanken på enkel värderad att ingen vertikal linje någonsin korsar mer än ett värde.
om den korsar mer än en gång är den fortfarande en giltig kurva, men är inte en funktion.
vissa typer av funktioner har strängare regler, för att ta reda på mer kan du läsa injicerande, Surjektiva och Bijektiva
oändligt många
mina exempel har bara några värden, men funktioner fungerar vanligtvis på uppsättningar med oändligt många element.
exempel: y = x3
- ingångsuppsättningen ”X” är alla reella tal
- utgångsuppsättningen ”Y” är också alla reella tal
Vi kan inte visa alla värden, så här är bara några exempel:
| x: x | y: x3 |
|---|---|
| -2 | -8 |
| -0.1 | -0.001 |
| 0 | 0 |
| 1.1 | 1.331 |
| 3 | 27 |
| and so on… | and so on… |
domän, Codomain och Range
i våra exempel ovan
- uppsättningen ”X” kallas domänen,
- uppsättningen ”Y” kallas Codomain och
- uppsättningen element som pekar på I Y (de faktiska värdena som produceras av funktionen) kallas intervallet.
Vi har en speciell sida på domän, intervall och Codomain om du vill veta mer.
så många namn!
funktioner har använts i matematik under mycket lång tid, och många olika namn och sätt att skriva funktioner har uppstått.
Här är några vanliga termer du bör bekanta dig med:
exempel: z = 2U3:
- ”u” kan kallas ”oberoende variabel”
- ”z” kan kallas ”beroende variabel” (det beror på värdet på u)
exempel: f(4) = 16:
- ”4” kan kallas ”argumentet”
- ”16” kan kallas ”värdet av funktionen”
exempel: h(år) = 20:
- h() är funktionen
- ”år” kan kallas ”argumentet”, eller ”variabeln”
- ett fast värde som ”20” kan kallas en parameter
vi kallar ofta en funktion ”f(x)” När funktionen verkligen är ”f”
beställda par
och här är ett annat sätt att tänka på funktioner:
skriv in och utmatning av en funktion som ett ”beställt par”, till exempel (4,16).
de kallas beställda par eftersom ingången alltid kommer först och utgången andra:
(ingång, utgång)
så det ser ut så här:
( x, f(x) )
exempel:
(4,16) betyder att funktionen tar in ”4” och ger ut ”16”
uppsättning beställda par
en funktion kan sedan definieras som en uppsättning beställda par:
exempel: {(2,4), (3,5), (7,3)} är en funktion som säger
”2 är relaterad till 4″,” 3 är relaterad till 5 ”och”7 är relaterad 3”.
Observera också att:
- domänen är {2,3,7} (ingångsvärdena)
- och intervallet är {4,5,3} (utgångsvärdena)
men funktionen måste vara enstaka värderad, så vi säger också
”om den innehåller (A, b) och (A, c), måste b vara lika med c”
vilket bara är ett sätt att säga att en inmatning av ”a, B, B, B, B) är lika med c”
vilket bara är ett sätt att säga att en inmatning av ” a ” kan inte ge två olika resultat.
exempel: {(2,4), (2,5), (7,3)} är inte en funktion eftersom {2,4} och {2,5} betyder att 2 kan relateras till 4 eller 5.
med andra ord är det inte en funktion eftersom det inte är enstaka värderade
en fördel med beställda par
Vi kan rita dem…
… eftersom de också är Koordinater!
så en uppsättning koordinater är också en funktion (om de följer reglerna ovan, det vill säga)
en funktion kan vara i bitar
Vi kan skapa funktioner som beter sig olika beroende på ingångsvärdet
exempel: en funktion med två stycken:
- when x is less than 0, it gives 5,
- when x is 0 or more it gives x2
 |
Here are some example values:
|
Läs mer på bitvis funktioner.
Explicit vs Implicit
ett sista ämne: termerna ”explicit” och ”implicit”.
Explicit är när funktionen visar oss hur vi går direkt från x till y, till exempel:
y = x3 − 3
När vi vet x kan vi hitta y
det är den klassiska y = f(x) – stilen som vi ofta arbetar med.
Implicit är när det inte ges direkt som:
x2 − 3xy + y3 = 0
När vi vet x, Hur hittar vi y?
det kan vara svårt (eller omöjligt!) att gå direkt från x till y.
”Implicit ”kommer från” implicit”, med andra ord visas indirekt.
Graphing
- funktionen Grapher kan bara hantera explicita funktioner,
- ekvationen Grapher kan hantera båda typerna (men tar lite längre tid, och ibland blir det fel).
slutsats
- en funktion relaterar ingångar till utgångar
- en funktion tar element från en uppsättning (domänen) och relaterar dem till element i en uppsättning (kodomänen).
- alla utgångar (de faktiska värdena relaterade till) kallas tillsammans intervallet
- en funktion är en speciell typ av relation där:
- varje element i domänen ingår, och
- varje ingång producerar bara en utgång (inte detta eller det)
- en ingång och dess matchande utgång kallas tillsammans ett ordnat par
- så en funktion kan också ses som en uppsättning beställda par