introduktion
- Om det är en fysisk kvantitet, som stress, kallas det vanligtvis en tensor.Om det inte är en fysisk kvantitet kallas det vanligtvis en matris.
- de allra flesta tekniska tensorer är symmetriska. En vanlig kvantitetdet är inte symmetriskt och inte kallat en tensor, är en rotationsmatris.
- tensorer är faktiskt någon fysisk kvantitet som kan representeras av en skalär, vektor eller matris.Nollordningens tensorer, som massa, kallas skalarer, medan 1: a ordningens tensorer kallas vektorer.Exempel på tensorer med högre ordning inkluderar stress, belastning och styvhetstensorer.
- ordningen, eller rang, av en matris eller tensor är antalet subscriptsit innehåller. En vektor är en 1: A rang tensor. En 3×3 stress tensor är 2: a rang.
- Koordinattransformationer av tensorer diskuteras i detalj här.
Identitetsmatris
identitetsmatrisen är
\\]
multiplicera något med identitetsmatrisen är som att multiplicera med en.
Tensor Notation
identitetsmatrisen i tensor notationär helt enkelt \ (\delta_{ij} \).Det är Kronecker Delta som motsvarar 1 När \( I = j \) och 0 annars.
![](https://www.continuummechanics.org/images/main/note.png)
är det en matris eller inte?
en anteckning från puristerna… Identitetsmatrisen är en matris, men Kronecker deltatekniskt är det inte. \ (\delta_{IJ} \) är ett enda skalärt värde som är antingen 1 eller 0 beroende på värdena \(i\) och \(j\). Det är också därför tensornotation inte är fet, eftersom den alltid hänvisar till enskilda komponenter i tensorer, men aldrigtill en tensor som helhet.
Följ den här länken för en underhållande diskussion mellan någon somfår det och någon annan som inte gör det.
transponera
transponeringen av en matris speglar dess komponenter om huvuddiagonalen. Transposeof-matrisen \({\bf a}\) är skriven \({\bf a}^{ \ !T}\).
![](https://www.continuummechanics.org/images/main/note.png)
transponera exempel
\,\qquad\text{sedan}\qquad{\bf a}^{\!T} = \left\]
Tensor Notation
transponeringen av \(a_{IJ}\) är \(a_{j\,i}\).
determinanter
determinanten för en matris är skriven som det(\({\bf a}\)) eller \(|{\bf a}|\) och beräknas som
\
om determinanten för en tensor eller matris är noll, har den inte en invers.
Tensornotation
beräkningen av en determinant kan skrivas i tensornotation på ett par olika sätt
\ determinanten för produkten av två matriser är densamma som produkten av determinanterna för de två matriserna. Med andra ord,
\
determinanten för en deformationsgradient gerförhållandet mellan initial och slutlig volym av ett differentialelement.
Inverses
inversen av matrisen \({\bf a}\) är skriven som \({\bf a}^{\!-1}\)och har följande mycket viktiga egenskap(se avsnittet om matrismultiplikation nedan)
\
om \({\bf B}\) är inversen av \({\bf a}\), skrivs
\
Tensornotation
inversen av \(a_{ij}\) ofta som \(A^{-1}_{ij}\).Observera att detta förmodligen inte är strikt korrekt eftersom, som diskuterats tidigare,varken \(a_{ij}\) eller \(A^{-1}_{IJ}\) är tekniskt matriser själva.De är bara komponenter i en matris. Jaha…
inversen kan beräknas med
\
matris Inverse webbsida
denna sida beräknar inversen av en 3×3 matris.
![](https://www.continuummechanics.org/images/math/InverseForm.png)
Transposer av inverser av Transposer av…
den inversa av en transponering av en matris är lika med transponeringen av en inversa av matrisen. Eftersom ordern inte spelar någon roll förkortas dubbeloperationenhelt enkelt som \({\bf{a}}^{\!- T}\).
\
Matrix Addition
matriser och tensorer läggs komponent för komponent precis som vektorer.Detta uttrycks lätt i tensornotation.
\
Matrix multiplikation (Dot Products)
punktprodukten av två matriser multiplicerar varje rad av den första med varje kolumnav den andra. Produkterna är ofta skrivna med en punkt i matrisnotation som\ ({\bf A} \cdot {\bf B} \), men ibland skrivna utan punkten som \ ({\bf a} {\bf B} \). Multiplikationregler förklaras faktiskt bäst genom tensornotation.
\
(Observera att ingen punkt används i tensornotation.) \(K\) i båda faktorerna innebär automatiskt
\
som är den i: e raden i den första matrisen multiplicerad med j: e kolumnen i den andra matrisen. Om du till exempel vill beräkna \(C_{23}\), Då \(i=2\) och \(j=3\) och
\
Matrix multiplikation webbsida
denna sida beräknar punktprodukten av två 3×3 matriser.
![](https://www.continuummechanics.org/images/math/MatMultForm.png)
matrismultiplikation är inte kommutativ
det är mycket viktigt att känna igen att matrismultiplikation inte är kommutativ, dvs.
\
transponerar och inverser av produkter
transponeringen av en produkt är lika med produkten av transponeringarna i omvänd ordning, och invers av en produkt är lika med produkten av inverserna i omvänd ordning.
Observera att” i omvänd ordning ” är kritisk.Detta används i stor utsträckning i avsnitten om deformationsgradienter och gröna stammar.
\
Detta gäller även för flera produkter. Till exempel
\
produkt med egen transponering
produkten av en matris och dess egen transponering är alltid en symmetrisk matris.\({\bf a}^t\cdot {\bf a}\) och \({\bf A} \cdot {\bf a}^T\) båda ger symmetriska, även om olika resultat.Detta används i stor utsträckning i avsnitten om deformationsgradienter och gröna stammar.
Dubbelpunktsprodukter
dubbelpunktsprodukten av två matriser producerar en skalär result.It är skrivet i matrisnotation som \({\bf a} : {\bf B}\).Även sällan används utanför kontinuum mekanik, är i själva verket ganska vanligt i avancerade tillämpningar avlinjär elasticitet. Till exempel ger \( {1 \över 2} \Sigma : \epsilon \)belastningens energitäthet i linjär elasticitet i liten skala.Återigen förklaras dess beräkning bäst med tensornotation.
\
eftersom prenumerationerna \(i\) och \(j\) visas i båda faktorerna summeras de båda för att ge
\