matematik för Liberal Arts Corequisite

utvecklingen av ett System

vårt eget nummersystem, bestående av de tio symbolerna {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} kallas Hindu-arabiska systemet. Detta är ett bas-tio (decimal) system eftersom platsvärdena ökar med tio krafter. Dessutom är detta system positionellt, vilket innebär att en symbols position har betydelse för värdet på den symbolen inom numret. Till exempel ger positionen för symbolen 3 i siffran 435,681 det ett värde som är mycket större än värdet på symbolen 8 i samma nummer. Vi kommer att undersöka bassystem mer noggrant senare. Utvecklingen av dessa tio symboler och deras användning i ett positionssystem kommer främst till oss från Indien.

Figur 10. Al-Biruni

det var inte förrän i femtonde århundradet som de symboler som vi känner till idag först tog form i Europa. Men historien om dessa siffror och deras utveckling går tillbaka hundratals år. En viktig informationskälla om detta ämne är författaren al-Biruni, vars bild visas i Figur 10. Al-Biruni, som föddes i dagens Uzbekistan, hade besökt Indien vid flera tillfällen och kommenterade det indiska nummersystemet. När vi tittar på ursprunget till de siffror som al-Biruni stött på, Vi måste gå tillbaka till det tredje århundradet f.Kr. för att utforska deras ursprung. Det var då Brahmi-siffrorna användes.

Brahmi-siffrorna var mer komplicerade än de som användes i vårt eget moderna system. De hade separata symboler för siffrorna 1 till 9, liksom distinkta symboler för 10, 100, 1000,…, även för 20, 30, 40, … och andra för 200, 300, 400, …, 900. Brahmi-symbolerna för 1, 2 och 3 visas nedan.

dessa siffror användes hela vägen fram till det fjärde århundradet CE, med variationer genom tid och geografisk plats. Till exempel, under det första århundradet CE, tog en viss uppsättning Brahmi-siffror följande form:

från det fjärde århundradet kan du faktiskt spåra flera olika vägar som Brahmi-siffrorna tog för att komma till olika punkter och inkarnationer. En av dessa vägar ledde till vårt nuvarande siffersystem och gick igenom det som kallas Gupta-siffrorna. Gupta-siffrorna var framträdande under en tid som styrdes av Gupta-dynastin och spreds över hela det imperiet när de erövrade länder under fjärde till sjätte århundradet. De har följande formulär:

hur siffrorna kom till sin Gupta-form är öppen för betydande debatt. Många möjliga hypoteser har erbjudits, varav de flesta kokar ner till två grundläggande typer. Den första typen av hypotes säger att siffrorna kom från de första bokstäverna i namnen på siffrorna. Detta är inte ovanligt . . . de grekiska siffrorna utvecklades på detta sätt. Den andra typen av hypotes säger att de härleddes från något tidigare nummersystem. Det finns dock andra hypoteser som erbjuds, varav en är av forskaren Ifrah. Hans teori är att det ursprungligen fanns nio siffror, var och en representerad av ett motsvarande antal vertikala linjer. En möjlighet är detta:

eftersom dessa symboler skulle ha tagit mycket tid att skriva, utvecklades de så småningom till kursiva symboler som kunde skrivas snabbare. Om vi jämför dessa med Gupta-siffrorna ovan kan vi försöka se hur den evolutionära processen kan ha ägt rum, men vår fantasi skulle vara nästan allt vi skulle behöva lita på eftersom vi inte vet exakt hur processen utvecklades.

Gupta-siffrorna utvecklades så småningom till en annan form av siffror som kallades Nagari-siffrorna, och dessa fortsatte att utvecklas fram till elfte århundradet, då de såg ut så här:

Observera att vid denna tid har symbolen för 0 dykt upp! Mayanerna i Amerika hade en symbol för noll långt före detta, men som vi kommer att se senare i kapitlet.

dessa siffror antogs av araberna, troligen under åttonde århundradet under islamiska intrång i norra delen av Indien. Man tror att araberna var medverkande i att sprida dem till andra delar av världen, inklusive Spanien (se nedan).

andra exempel på variationer fram till elfte århundradet inkluderar:

Figur 11. Devangari, åttonde århundradet

Figur 12. West Arab Gobar, tionde århundradet

figur 13. Spanien, 976 f. kr.

slutligen visar figur 14 olika former av dessa siffror när de utvecklades och så småningom konvergerades till det femtonde århundradet i Europa.

figur 14.

romerska siffror

det numeriska systemet som representeras av romerska siffror har sitt ursprung i antika Rom (753 f. Kr.–476 e. kr.) och förblev det vanliga sättet att skriva siffror i hela Europa långt in i slutet av medeltiden (i allmänhet innefattande 14 och 15-talen (c. 1301-1500)). Siffror i detta system representeras av kombinationer av bokstäver från latinska alfabetet. Romerska siffror, som används idag, är baserade på sju symboler:

användningen av romerska siffror fortsatte långt efter det romerska rikets nedgång. Från 14-talet på, romerska siffror började ersättas i de flesta sammanhang av de mer praktiska Hindu-arabiska siffror; dock, denna process var gradvis, och användningen av romerska siffror kvarstår i vissa mindre tillämpningar i dag.

siffrorna 1 till 10 uttrycks vanligtvis i romerska siffror enligt följande:

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X.

siffror bildas genom att kombinera symboler och lägga till värdena, så II är två (två) och XIII är tretton (en tio och tre). Eftersom varje siffra har ett fast värde snarare än att representera multiplar om tio, hundra och så vidare, enligt position, finns det inget behov av ”platshållning” nollor, som i siffror som 207 eller 1066; dessa siffror är skrivna som CCVII (två hundra, en fem och två) och MLXVI (tusen, en femtio, en tio, en fem och en).

symboler placeras från vänster till höger i värdeordning, börjar med den största. I några specifika fall, för att undvika att fyra tecken upprepas i följd (som IIII eller XXXX), används subtraktiv notation: som i denna tabell:

In summary:

• i placerad före V eller X indikerar en mindre, så fyra är IV (en mindre än fem) och nio är IX (en mindre än tio)
• X placerad före L eller C indikerar tio mindre, så fyrtio är XL (tio mindre än femtio) och nittio är XC (tio mindre än hundra)
• C placerad före D eller M indikerar hundra mindre, så fyrahundra är CD (hundra mindre än femhundra) och nio hundra är CM (hundra mindre än tusen)

exempel

skriv den hindu-arabiska siffran för mcmiv.

Visa lösning

ett tusen nio hundra fyra, 1904 (M är tusen, CM är nio hundra och IV är fyra)

prova det

Modern användning

av den 11: e århundradet, Hindu–arabiska siffror hade införts i Europa från Al-Andalus, genom arabiska handlare och aritmetiska avhandlingar. Romerska siffror visade sig dock vara mycket ihållande, kvar i vanligt bruk i väst långt in på 14: e och 15-talen, även i redovisning och andra affärsregister (där de faktiska beräkningarna skulle ha gjorts med en kulram). Ersättning med deras mer praktiska” arabiska ” ekvivalenter var ganska gradvis, och romerska siffror används fortfarande idag i vissa sammanhang. Några exempel på deras nuvarande användning är:

spanska Real med ”IIII” istället för IV

• namn på monarker och påvar, t. ex.Elizabeth II av Storbritannien, påven Benedictus XVI. dessa kallas regeringsnummer, t. ex. II uttalas ”den andra”. Denna tradition började sporadiskt i Europa under medeltiden och fick utbredd användning i England endast under Henry VIII: s regeringstid. Tidigare var monarken inte känd av siffror utan av en epithet som Edward Confessor. Charles IV av Spanien och Louis XIV av Frankrike) verkar ha föredragit användningen av IIII istället för IV på deras mynt (se bilden ovan).Generationssuffixer, särskilt i USA, för personer som delar samma namn över generationer, till exempel William Howard Taft IV.
• i den franska republikanska kalendern, initierad under den franska revolutionen, numrerades år med romerska siffror – från år i (1792) när denna kalender introducerades till år XIV (1805) när den övergavs.
• året för produktion av filmer, tv-program och andra konstverk inom själva verket. Det har föreslagits – av BBC News, kanske facetiskt-att detta ursprungligen gjordes ”i ett försök att dölja åldern på filmer eller TV-program.”Utanför hänvisning till arbetet kommer att använda regelbundna Hindu-arabiska siffror.
• timme märken på klockor. I detta sammanhang är 4 vanligtvis skrivet IIII.
• byggåret på Byggnadsytor och hörnstenar.
• sidnumrering av förord och introduktioner av böcker, och ibland även bilagor.
• Bokvolym och kapitelnummer, samt flera handlingar i en pjäs (t.ex. akt iii, scen 2).
• uppföljare av vissa filmer, videospel och andra verk (som i Rocky II).
• konturer som använder siffror för att visa hierarkiska relationer.
• händelser av en återkommande stor händelse, till exempel:
  • sommar-och vinter olympiska spelen (t.ex. XXI Olympiska vinterspelen; spelen i XXX Olympiad)
  • Super Bowl, det årliga mästerskapet i National Football League (t. ex. Super Bowl XXXVII; Super Bowl 50 är ett engångsundantag)
  • WrestleMania, det årliga professionella brottningsevenemanget för WWE (t. ex. WrestleMania XXX). Denna användning har också varit inkonsekvent.