Magic Square

A magic square is a square array of numbers consisting of the distinct positive integers 1, 2, …, anordnad så att summan av siffror i någon horisontell, vertikal eller huvuddiagonal linje alltid är samma nummer (Kraitchik 1942, s. 142; Andrews 1960, s. 1; Gardner 1961, s. 130; Madachy 1979, s. 84; Benson och Jacoby 1981, s. 3; boll och Coxeter 1987, s. 193), känd som den magiska konstanten

om varje nummer i en magisk kvadrat subtraheras från, erhålls en annan magisk kvadrat som kallas komplementär magisk kvadrat. En kvadrat som består av på varandra följande nummer som börjar med 1 kallas ibland en ”normal” magisk kvadrat.

den unika normala kvadraten av ordning tre var känd för den antika kinesen, som kallade den Lo Shu. En version av order-4 magic square med siffrorna 15 och 14 i intilliggande mittenkolumner i den nedre raden kallas D Bisexrers magic square. Magiska rutor i ordning 3 till 8 visas ovan.

den magiska konstanten för ett TH order general magic square börjar med ett heltal och med poster i en ökande Aritmetisk serie med skillnad mellan termer är

(jägare och madachy 1975).

det är ett olöst problem att bestämma antalet magiska kvadrater i en godtycklig ordning, men antalet distinkta magiska kvadrater (exklusive de som erhålls genom rotation och reflektion) av ordning , 2, … är 1, 0, 1, 880, 275305224, … (OEIS A006052; Madachy 1979, s. 87). De 880 kvadraterna i ordning fyra räknades upp av fr Kubnicle de Bessy 1693 och illustreras i Berlekamp et al. (1982, s. 778-783). Antalet magiska rutor beräknades av R. Schroeppel 1973. Antalet kvadrater är inte känt, men Pinn och Wieczerkowski (1998) uppskattade att det var med Monte Carlo-simulering och metoder från statistisk mekanik. Metoder för att räkna upp magiska rutor diskuteras av Berlekamp et al. (1982) och på MathPages webbplats.

en kvadrat som inte är magisk bara för att en eller båda av de huvudsakliga diagonala summorna inte motsvarar den magiska konstanten kallas en semimagisk kvadrat. Om alla diagonaler (inklusive de som erhålls genom att linda runt) av en magisk kvadratsumma till den magiska konstanten, sägs torget vara en panmagisk kvadrat (även kallad en diabolisk kvadrat eller pandiagonal kvadrat). Om du byter ut varje nummer med dess kvadrat producerar en annan magisk kvadrat, sägs torget vara en bimagisk kvadrat (eller dubbelt magisk kvadrat). Om en kvadrat är magisk för och , kallas det en trimagisk kvadrat (eller trebly magic square). Om alla par av siffror symmetriskt motsatta mittbeloppet till , sägs torget vara en associativ magisk kvadrat.

kvadrater som är magiska under multiplikation istället för addition kan konstrueras och är kända som multiplikation magiska kvadrater. Dessutom kan kvadrater som är magiska under både addition och multiplikation konstrueras och är kända som addition-multiplikation magic squares (Hunter and Madachy 1975).

Kraitchik (1942) ger allmänna tekniker för att konstruera jämna och udda rutor i ordning . För odd kan en mycket enkel teknik som kallas den siamesiska metoden användas, som illustreras ovan (Kraitchik 1942, s.148-149). Det börjar med att placera en 1 i mitten torget i den översta raden, sedan stegvis placera efterföljande nummer i torget en enhet ovanför och till höger. Räkningen lindas runt, så att falla av toppen avkastning på botten och faller av höger avkastning till vänster. När en kvadrat påträffas som redan är fylld placeras nästa nummer istället under det föregående och metoden fortsätter som tidigare. Metoden, även kallad De la Louberes metod, påstås ha rapporterats först i väst när de la Loubere återvände till Frankrike efter att ha tjänstgjort som ambassadör i Siam.

en generalisering av denna metod använder en ”vanlig vektor” som ger offset för varje icke-kolliderande drag och en” break vector” som ger offset att införa vid en kollision. Den vanliga siamesiska metoden har därför vanlig vektor (1, och brytvektor (0, 1). För att detta ska kunna producera en magisk torg måste varje brytrörelse hamna på en ofylld cell. Särskilda klasser av magiska rutor kan konstrueras genom att överväga de absoluta summorna och . Ring uppsättningen av dessa nummer sumdifferna (summor och skillnader). Om alla sumdiffer är relativt primära till och torget är en magisk torg, är torget också en panmagisk torg. Denna teori har sitt ursprung i de la hyra. Följande tabell ger sumdiffs för särskilda val av vanliga och bryta vektorer.

en andra metod för att generera magiska kvadrater av udda ordning har diskuterats av J. H. Conway under namnet” pastill ” – metoden. Såsom illustreras ovan, i denna metod, de udda tal byggs upp längs diagonala linjer i form av en diamant i den centrala delen av torget. De jämna siffrorna som missades läggs sedan i följd längs fortsättningen av diagonalen erhållen genom att linda runt torget tills den inslagna diagonalen når sin ursprungliga punkt. På ovanstående torg fyller den första diagonalen därför in 1, 3, 5, 2, 4, den andra diagonalen fylls i 7, 9, 6, 8, 10, och så vidare.

en elegant metod för att konstruera magiska rutor med dubbelt jämn ordning är att ritas genom varje subsquare och fylla alla rutor i följd. Ersätt sedan varje post på en korsad diagonal med eller, likvärdigt, vända ordningen på de korsade posterna. Således i ovanstående exempel för , de korsade siffrorna är ursprungligen 1, 4,…, 61, 64, så post 1 ersätts med 64, 4 med 61, etc.

en mycket elegant metod för att konstruera magiska rutor av enstaka jämn ordning med (det finns ingen magisk kvadrat i ordning 2) beror på J. H. Conway, som kallar det” LUX ” – metoden. Skapa en array bestående av rader av s, 1 rad av oss och rader av s, alla Längd . Byt ut mitten U med L ovanför den. GENERERA NU magic square of order med hjälp av den siamesiska metoden centrerad på matrisen av bokstäver (börjar i mitten torget i den översta raden), men fyll varje uppsättning av fyra rutor som omger ett brev sekventiellt enligt den ordning som föreskrivs av brevet. Den ordningen illustreras på vänster sida av ovanstående figur, och den färdiga torget illustreras till höger. ”Formerna” av bokstäverna L, U och X föreslår naturligtvis fyllningsordningen, därav algoritmens namn.

variationer på magiska rutor kan också konstrueras med bokstäver (antingen för att definiera torget eller som poster i det), såsom alphamagic square och templar magic square.

olika numerologiska egenskaper har också associerats med magiska rutor. Pivari associerar rutorna som illustreras ovan med Saturnus, Jupiter, Mars, solen, Venus, Merkurius respektive månen. Attraktiva mönster erhålls genom att ansluta på varandra följande nummer i var och en av rutorna (med undantag för Sun magic square).