inlärningsmål
i slutet av detta avsnitt kommer du att kunna:
- beskriva rätt längd.
- beräkna längdkontraktion.
- förklara varför vi inte märker dessa effekter på vardagliga skalor.
Figur 1. Människor kan beskriva avstånd annorlunda, men vid relativistiska hastigheter är avstånden verkligen olika. (kredit: Corey Leopold, Flickr)
har du någonsin kört på en väg som verkar som om den fortsätter för alltid? Om du ser framåt kan du säga att du har cirka 10 km kvar att gå. En annan resenär kan säga att vägen framåt ser ut som om den är cirka 15 km lång. Om du båda mätte vägen, skulle du dock hålla med. Att resa i vardagliga hastigheter, avståndet du båda mäter skulle vara detsamma. Du kommer dock att läsa i det här avsnittet att detta inte är sant i relativistiska hastigheter. Nära ljusets hastighet är uppmätta avstånd inte desamma när de mäts av olika observatörer.
korrekt Längd
en sak som alla observatörer är överens om är relativ hastighet. Även om klockor mäter olika förflutna tider för samma process, är de fortfarande överens om att relativ hastighet, som är avstånd dividerat med förfluten tid, är densamma. Detta innebär att Avståndet också beror på observatörens relativa rörelse. Om två observatörer ser olika tider måste de också se olika avstånd för att relativ hastighet ska vara densamma för var och en av dem.
muonen som diskuteras i Exempel 1 i samtidighet och Tidsutvidgning illustrerar detta koncept. Till en observatör på jorden reser muonen vid 0,950 c för 7,05 CBS från det att den produceras tills den sönderfaller. Således färdas det ett avstånd
L0 = v u,950 = (0,00 108 m/s)(7,05 10-6 s) = 2,01 km
relativt jorden. I muons referensram är dess livstid bara 2,20 UBS. Det har tillräckligt med tid att resa bara
L0 = v ubigt0 = (0,950)(3,00 108 m/s)(2,20 10-6 s) = 0,627 km.avståndet mellan samma två händelser (produktion och förfall av en muon) beror på vem som mäter den och hur de rör sig i förhållande till den.
korrekt Längd
korrekt längd L0 är avståndet mellan två punkter mätt av en observatör som är i vila i förhållande till båda punkterna.
den jordbundna observatören mäter rätt längd L0, eftersom de punkter där muonen produceras och sönderfall är stationära i förhållande till jorden. Till muonen rör sig jorden, luften och molnen, och så avståndet L det ser är inte rätt längd.
Figur 2. (A) den jordbundna observatören ser muon resa 2,01 km mellan moln. (B) muon ser sig själv färdas samma väg, men bara ett avstånd på 0,627 km. Jorden, luften och molnen rör sig relativt muonen i sin ram, och alla verkar ha mindre längder längs färdriktningen.
längdkontraktion
för att utveckla en ekvation som rör avstånd uppmätta av olika observatörer noterar vi att hastigheten i förhållande till den jordbundna observatören i vårt Muon-exempel ges av
v=\frac{L_0}{\Delta{t}}\\.
tiden i förhållande till den jordbundna observatören är Uhrt, eftersom objektet som är tidsbestämt rör sig relativt denna observatör. Hastigheten i förhållande till den rörliga observatören ges av
v=\frac{L}{\Delta{t}_0}\\.
den rörliga observatören färdas med muonen och observerar därför rätt tid Accurt0. De två hastigheterna är identiska; således
\frac{L_0}{\Delta{t}}=\frac{L}{\Delta{t}_0}\\.
Vi vet att Uhrt = uhrt0. Genom att ersätta denna ekvation i förhållandet ovan ger
L=\frac{L_0}{\gamma}\\
genom att byta ut mot Kubi ges en ekvation som relaterar de avstånd som mäts av olika observatörer.
längdkontraktion
längdkontraktion L är förkortningen av den uppmätta längden på ett objekt som rör sig relativt observatörens ram.
\displaystyle{L}=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{C^2}}\\
om vi mäter längden på något som rör sig i förhållande till vår ram, finner vi att dess längd L är mindre än rätt längd L0 som skulle mätas om objektet var stationärt. Till exempel i muons referensram är avståndet mellan punkterna där det producerades och där det förfallit kortare. Dessa punkter är fasta i förhållande till jorden men rör sig i förhållande till muonen. Moln och andra föremål kontraheras också längs rörelseriktningen i muons referensram.
exempel 1. Beräkning av längdkontraktion: avståndet mellan Stjärnor kontraherar när du reser med hög hastighet
anta att en astronaut, som tvillingen som diskuteras i samtidighet och Tidsutvidgning, reser så snabbt att kub = 30.00.
- hon reser från jorden till närmaste stjärnsystem, Alpha Centauri, 4.300 ljusår (ly) bort mätt med en jordbunden observatör. Hur långt ifrån varandra är jorden och Alpha Centauri mätt av astronauten?
- när det gäller c, Vad är hennes hastighet i förhållande till jorden? Du kan försumma jordens rörelse i förhållande till solen. (Se Figur 3.)
Figur 3. (A) den jordbundna observatören mäter rätt avstånd mellan jorden och Alfa Centauri. (B) astronauten observerar en längdkontraktion, eftersom jorden och Alpha Centauri rör sig relativt hennes skepp. Hon kan resa detta kortare avstånd på en mindre tid (hennes rätta tid) utan att överskrida ljusets hastighet.
strategi
Observera först att ett ljusår (ly) är en bekväm distansenhet i astronomisk skala—det är avståndsljuset som färdas på ett år. För del 1, notera att 4.300 ly avståndet mellan Alpha Centauri och jorden är rätt avstånd L0, eftersom det mäts av en jordbunden observatör till vilken båda stjärnorna är (ungefär) stationära. Till astronauten rör sig jorden och Alpha Centauri med samma hastighet, och så är avståndet mellan dem den kontrakterade längden L. I del 2 får vi Kubi, och så kan vi hitta V genom att ordna om definitionen av Kubi för att uttrycka v i termer av c.
lösning för del 1
identifiera knowns:
L0 − 4.300 ly; 30.00
identifiera det okända: L
Välj lämplig ekvation:
L=\frac{L_0}{\gamma}\\.
ordna om ekvationen för att lösa för det okända.
\begin{array}{lll}L&&\frac{L_0}{\gamma}\\\text{ }&&\frac{4.300\text{ ly}}{30.00}\\\text{ }&&0.1433\text{ Ly}\end{array}\\
lösning för del 2
identifiera det kända: Kubi = 30.00
identifiera det okända: v in terms of c
Choose the appropriate equation.
\displaystyle\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\\
Rearrange the equation to solve for the unknown.
\begin{array}{lll}\gamma&&\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\\30.00&&\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\end{array}\\
Squaring both sides of the equation and rearranging terms gives
\displaystyle900.0=\frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}\\ så att 1-\frac{v^2}{c^2}=\frac{1}{900}\\ och \frac{v^2}{C^2}=1-\frac{1}{900.0}=0.99888\dots\\
med kvadratroten hittar vi \frac{v}{c}=0.99944\\, som omarrangeras för att producera ett värde för hastigheten v = 0.9994 c.
diskussion
först, kom ihåg att du inte ska avrunda beräkningar tills det slutliga resultatet erhålls, eller du kan få felaktiga resultat. Detta gäller särskilt för speciella relativitetsberäkningar, där skillnaderna bara kan avslöjas efter flera decimaler. Den relativistiska effekten är stor här (kub = 30.00), och vi ser att v närmar sig (inte motsvarar) ljusets hastighet. Eftersom avståndet som mäts av astronauten är så mycket mindre kan astronauten resa det på mycket mindre tid i sin ram.
människor kunde skickas mycket stora avstånd (tusentals eller till och med miljoner ljusår) och åldras bara några år på vägen om de reste med extremt höga hastigheter. Men som emigranter från århundraden tidigare skulle de lämna jorden de känner för alltid. Även om de återvände skulle tusentals till miljoner år ha gått på jorden och utplånat det mesta av det som nu finns. Det finns också ett allvarligare praktiskt hinder för att resa med sådana hastigheter; oerhört större energier än klassisk fysik förutspår skulle behövas för att uppnå sådana höga hastigheter. Detta kommer att diskuteras i Relatavistisk energi.
Figur 4. De elektriska fältlinjerna för en höghastighetsladdad partikel komprimeras längs rörelseriktningen genom längdkontraktion. Detta ger en annan signal när partikeln går igenom en spole, en experimentellt verifierad effekt av längdkontraktion.
varför märker vi inte längdkontraktion i vardagen? Avståndet till mataffären verkar inte bero på om vi flyttar eller inte. Genom att undersöka ekvationen L=L_0\sqrt{1 – \frac{v^2}{c^2}}\\ ser vi att vid låga hastigheter (v<<c) längderna är nästan lika, den klassiska förväntan. Men längdkontraktion är verklig, om inte vanligt upplevd. Till exempel har en laddad partikel, som en elektron, som reser med relativistisk hastighet elektriska fältlinjer som komprimeras längs rörelseriktningen sett av en stationär observatör. (Se Figur 4.) När elektronen passerar en detektor, såsom en trådspole, samverkar dess fält mycket kortare, en effekt som observeras vid partikelacceleratorer såsom den 3 km långa Stanford Linear Accelerator (SLAC). Faktum är att till en elektron som reser ner strålröret vid SLAC, rör sig acceleratorn och jorden alla och är längdkontrakterade. Den relativistiska effekten är så stor än acceleratorn är bara 0,5 m lång till elektronen. Det är faktiskt lättare att få elektronstrålen ner i röret, eftersom strålen inte behöver vara så exakt riktad för att komma ner ett kort rör som det skulle ner en 3 km lång. Detta är återigen en experimentell verifiering av den speciella relativitetsteorin.
kontrollera din förståelse
en partikel färdas genom jordens atmosfär med en hastighet av 0,750 c. till en jordbunden observatör är avståndet det färdas 2,50 km. Hur långt går partikeln i partikelns referensram?
lösning
\displaystyle{L}=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{C^2}}=\vänster(2,50\text{ km}\höger)\sqrt{1-\frac{\vänster(0,750 c\höger)^2}{c^2}}=1,65\text{ km}\\
avsnitt sammanfattning
- alla observatörer är överens om relativ hastighet.
- avståndet beror på en observatörs rörelse. Korrekt längd L0 är avståndet mellan två punkter mätt av en observatör som är i vila i förhållande till båda punkterna. Jordbundna observatörer mäter rätt längd när de mäter avståndet mellan två punkter som är stationära i förhållande till jorden.
- längdkontraktion L är förkortningen av den uppmätta längden på ett objekt som rör sig relativt observatörens ram:
L=l_{0}\sqrt{1-\frac{{v}^{2}}{{c}^{2}}}=\frac{{L}_{0}}{\gamma}\\.
konceptuella frågor
- till vem verkar ett objekt större i längd, en observatör som rör sig med objektet eller en observatör som rör sig relativt objektet? Vilken observatör mäter objektets korrekta längd?relativistiska effekter som tidsutvidgning och längdkontraktion finns för bilar och flygplan. Varför verkar dessa effekter konstiga för oss?
- anta att en astronaut rör sig relativt jorden med en betydande del av ljusets hastighet. (a) observerar han hastigheten på sina klockor för att ha avtagit? (B) vilken förändring i hastigheten på jordbundna klockor ser han? (C) verkar hans skepp för honom att förkorta? (d) hur är det med avståndet mellan stjärnor som ligger på linjer parallella med hans rörelse? (e) är han och en jordbunden observatör överens om sin hastighet i förhållande till jorden?
problem & övningar
- ett rymdskepp, 200 m långt sett ombord, rör sig av jorden vid 0,970 c. Vad är dess längd mätt med en jordbunden observatör?
- hur snabbt skulle en 6,0 m lång sportbil behöva gå förbi dig för att den bara ska visas 5,5 m lång?
- (a) hur långt reser muonen i Exempel 1 i samtidighet och Tidsutvidgning enligt den jordbundna observatören? b) hur långt färdas den som betraktad av en observatör som rör sig med den? Basera din beräkning på dess hastighet i förhållande till jorden och den tid den lever (rätt tid). (c) Kontrollera att dessa två avstånd är relaterade genom längdkontraktion CJ = 3,20.
- (a) hur länge skulle muonen i Exempel 1 i samtidighet och Tidsutvidgning ha levt som observerad på jorden om dess hastighet var 0,0500 c? (B) hur långt skulle det ha rest som observerats på jorden? (C) vilket avstånd är detta i muons ram?
- (a) hur lång tid tar det astronauten i Exempel 1 att resa 4, 30 ly vid 0, 99944 c (mätt av den jordbundna observatören)? (B) Hur lång tid tar det enligt astronauten? (C) Kontrollera att dessa två gånger är relaterade genom tidsutvidgning med KG = 30,00 enligt vad som anges.
- (a) Hur snabbt skulle en idrottare behöva springa för en 100-m-tävling för att se 100 yd lång? är svaret förenligt med det faktum att relativistiska effekter är svåra att observera under vanliga omständigheter? Förklara.
- orimliga resultat. a) fastställa värdet av den berörda produkten för följande situation. En astronaut mäter längden på sitt rymdskepp till 25,0 m, medan en jordbunden observatör mäter det till 100 m. b) Vad är orimligt med detta resultat? vilka antaganden är orimliga eller inkonsekventa?
- orimliga resultat. Ett rymdskepp går direkt mot jorden med en hastighet av 0,800 c. astronauten ombord hävdar att han kan skicka en kapsel mot Jorden vid 1,20 c i förhållande till jorden. (A) beräkna hastigheten kapseln måste ha i förhållande till rymdskeppet. b) Vad är orimligt med detta resultat? vilka antaganden är orimliga eller inkonsekventa?
ordlista
rätt längd: L0; avståndet mellan två punkter mätt av en observatör som är i vila i förhållande till båda punkterna; jordbundna observatörer mäter rätt längd när de mäter avståndet mellan två punkter som är stationära i förhållande till jorden
längdkontraktion: L, förkortningen av den uppmätta längden på ett objekt som rör sig i förhållande till observatörens ram:
L=L_0\sqrt{1-\frac{{v}^{2}}{{c}^{2}}}=\frac{{L}_{0}}{\Gamma}\\
valda lösningar på problem & övningar
1. 48,6 m
3. a) 1.387 km = 1.39 km; b) 0.433 km; (c) \begin{array}{lllll}L&&\frac{{L}_{0}}{\gamma }&&\frac{1.387\times{10}^{3}\text{m}}{3.20}\\\text{ }&&433.4\text{ m}&&\text{0.433 km}\end{array}\\
Thus, the distances in parts (a) and (b) are related when γ = 3.20.
5. (a) 4.303 y (to four digits to show any effect); (b) 0.1434 y; (c)\Delta{t}=\gamma\Delta{t}_{0}\Rightarrow\gamma=\frac {\Delta{t}} {\Delta{t}_{0}}=\frac{4.303\text{ y}}{0.1434{ y}}=30.0\ \
Således är de två gångerna relaterade när kub = 30.00.
7. a) 0,250; B) C) den jordbundna observatören måste mäta en kortare längd, så det är orimligt att anta en längre längd.