nyligen tänkte jag på olika motiveringar för definitionen av 0! (factorial of zero)vilket är
$$0!=1$$
det antagna värdet på 1 kan tyckas ganska uppenbart om du överväger den rekursiva formeln. Men det uppfyllde mig inte”matematiskt”. Därför bestämde jag mig för att skriva dessa få meningar. Jag kommer att ge motiv för de mindre avancerade, men det kommer också att finnas motiv för lite fler insiders.
Aci factorial in scalar Calculator
Aci-faktor och återfall
för heltal n> 0 factorial definieras enligt följande
$$n!=n \ times (n-1)\times (n-2)\times \ldots \times 2\times 1$$
med lätthet kan du se att under rekursiv formel följer
$$n!=n \ gånger (n-1)!$ $
$$1!=1$ $
0! = 1-motivation baserad på återfall
liten omvandling av
$$n!=n \ gånger (n-1)!$ $
ger
$$(n-1)!= \ frac{n!}{n}$$
ersätta n = 1
$$(1-1)!= \ frac{1!}{1}$ $
$$0!=1!=1$$
denna förklaring, även om den är lätt, ger inte (enligt min mening) tillräckligt djup förståelse för ”varför detta borde vara det bästa alternativet”.
oj! räknar de möjliga distinkta sekvenserna av n distinkta objekt (permutationer)
låt oss anta att vi har en uppsättning som innehåller n element
$$\{1,2,\ldots,n\}$$
låt nu”s räkna eventuell beställning av element är denna uppsättning
- n sätt att välja första elementet (eftersom vi har hela uppsättningen tillgänglig)
- n-1 Sätt att välja andra elementet (eftersom den första redan var vald, finns det n-1 vänster)
- n-2 sätt att välja tredje element (eftersom de två redan har valts finns det n-2 kvar)
- …
- n- (k-1) sätt att välja elementnummer k (eftersom k-1 redan valdes, kvarstår n- (k-1)
- 2 sätt att välja elementnummer n-1 (eftersom n-2 valdes, fortfarande 2 kvar)
- 1 Sätt att välja elementnummer n (eftersom n-1 valdes, förblev bara en)
slutligen räknar vi alla möjliga sätt, vi får
$$n\times (n-1)\times\ldots \gånger 2 \gånger 1=n!$ $
slutsats: faktoriell av n räknar antalet permutationer av en uppsättning som innehåller n-element.
k-permutationer av n kallas ibland partiella permutationer eller variationer
k-permutationer av n är de olika ordnade arrangemangen för en k-element-delmängd av en n-uppsättning. Antalet sådana k-permutationer av n är
$$P_k^n = n\times (n-1)\times(n-2)\times\ldots\times \bigg(n-(k-1)\bigg) = \frac{n!} {(n-k)!} $$
det är lätt att se att n-permutation av n är en permutation, så
$$P_n^n=n!$ $
$$n! = \ frac{n!}{(n-n)!} = \ frac{n!}{0!} $ $
nästa insikt varför 0!=1 är den korrekta definitionen kommer från det för någon n > 0 vi borde ha
$$0! \ times n! = n!$ $
funktion som en uppsättning kartläggning
funktion
$$f:A\to B$$
funktion f: A B, där för varje A A A finns f(A) = B B B, definierar förhållandet mellan elementen a och b. vi kan säga att elementen a a och B B B är i förhållande ”f” om och endast om f(a) = b.
funktion som en delmängd av kartesisk produkt
funktion är en binär relation, menande funktion kan uttryckas som en delmängd av en kartesisk produkt.
$$(a,b)\i f \subseteq a\times B \iff f(a)=b$$
injicerbar funktion
injektiv funktion är en funktion som bevarar särskiljningsförmåga: den kartlägger aldrig distinkta delar av sin domän till samma element i dess kodomän. Inom kort
$$x\neq y \Rightarrow f(x) \neq f(y)$$
en funktion f är surjektiv (eller onto) om det för varje element B i codomain finns minst ett element a i domänen sådan att f(a)=b . Det krävs inte att x är unikt.
$ $ f:A\till b$$
$${\large \displaystyle\forall_{b \in b} \quad\displaystyle\exists_{a\in a}\quad}f(A)=b$$
bisexuell bijektiv funktion
bijektiv funktion, eller en-till-en-korrespondens, är en funktion där varje element i en uppsättning är parat med exakt ett element i den andra uppsättningen, och varje element i den andra uppsättningen är parat med exakt ett element i den första uppsättningen. Det finns inga oparade element.
i matematiska termer är en bijektiv funktion både injicerande och surjektiv kartläggning av en uppsättning A till en uppsättning B.
bisexuell bijektiv funktion vs permutation
permutation är en funktion som returnerar ordningen för en uppsättning, dvs om vi betraktar n-elementuppsättningen {1, 2,…, n} kommer permutation att vara en funktion
$$p:\{1, 2,…, n\}\till\{1, 2,…, n\}$$
uppfyller bijektiv funktion tillstånd.
genom att fråga om antalet permutationer kan vi lika fråga om antalet olika bijektioner från en given uppsättning i sig.
tom funktion
en tom funktion är varje funktion vars domän är en tom uppsättning.
$$f:\emptyset\to B$$
den tomma funktionen ”diagram” är en tom uppsättning, eftersom den kartesiska produkten av domän och codomain är tom.
$$ \ emptyset \ times B = \ emptyset$$
den tomma funktionen bevarar distinktion (är injicerande), eftersom det i domänen (en tom uppsättning) inte finns två olika element för vilka värdet på funktionen är lika.
ett speciellt fall av en tom funktion
låt oss analysera funktionen som kartlägger tom till tom uppsättning
$$f:\ emptyset \ to \ emptyset$$
en sådan funktion är en bijektion eftersom den är injektiv funktion (som visas ovan) och det finns inget element i codomain (codomain är en tom uppsättning) som inte är i förhållande till elementen i domänen.
Observera att det finns exakt en sådan bijektion, vilket är ett resultat av att funktionen är en delmängd av den kartesiska produkten av domän och codomain. I detta fall är detta bara en möjlig uppsättning.
$ $ f:\ emptyset \ to \ emptyset$$
$$ \ emptyset \ times \ emptyset = \ emptyset$$
den tomma uppsättningen har exakt en delmängd, vilket är den tomma uppsättningen – sålunda definieras en sådan bijektion unikt.
0! = 1 vs Tom funktion
jag skrev ovan att antalet permutationer av en n-elementuppsättning är lika med antalet distinkta bijektiva funktioner från denna uppsättning till sig själv.
följande-permutationen av 0-elementuppsättningen motsvarar bijektionen från en tom uppsättning till den tomma uppsättningen/
det speciella fallet med Tom funktion är bara 1 – och jag presenterade beviset att det bara finns en sådan funktion en sådan funktion.
ganska djup insikt varför 0! bör av 1.
ug gammafunktionen
i matematik är gammafunktionen en av förlängningarna av faktorfunktionen med argumentet förskjutet med 1, till reella och komplexa tal.
$$\Gamma(z)=\displaystyle\int_0^{+\infty}t^{z-1}e^{-t}dt$$
efter integration av delar får vi den rekursiva formeln
$$\Gamma(z+1)=z\cdot\Gamma(z)$$
Låt oss se värdet på
$$\Gamma(1)=?$$
$$\Gamma(1)=\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-t}dt = \displaystyle\int_ {- \infty}^{0}e^{t}dt$$
följande
$ $ \ Gamma (n+1)=n!$$
$ $ 0! = \Gamma(1) = 1$$
⭐️ Scalar support for the Gamma function
Functions in Scalar Calculator, that support Gamma special function
- Gamma(x) – Gamma special function Γ(s)
- sgnGamma(x) – Signum of Gamma special function, Γ(s)
- logGamma(x) – Log Gamma special function, lnΓ(s)
- diGamma(x) – Digamma function as the logarithmic derivative of the Gamma special function, ψ(x)
- GammaL(s,x) – Lower incomplete gamma special function, γ(s,x)
- GammaU(s,x) – Upper incomplete Gamma special function, Γ(s,x)
- GammaP(s,x) , GammaRegL(s,x) – Lower regularized P gamma special function, P(s,x)
- GammaQ(s,x), GammaRegU(s,x) – Upper regularized Q Gamma special function, Q(s,x)
Gamma function chart
Gamma function vs Factorial chart
ubic nummer e och faktoriell relation
baserat på Taylor – seriens expansion av e ^ X är det lätt att visa att
$$e=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!} = \ frac{1}{0!} + \ frac{1}{1!} + \ frac{1}{2!} + \ frac{1}{3!}+\ldots$$
Sequence convergence
This is fascinating, as it shows even stronger relation of factorial to e
Thanks for reading! All the best 🙂