det finns en speciell typ av system som kräver ytterligare studier. Denna typ av system kallas ett homogent ekvationssystem, som vi definierade ovan i Definition . Vårt fokus i detta avsnitt är att överväga vilka typer av lösningar som är möjliga för ett homogent ekvationssystem.
Tänk på följande definition.
Definition \(\PageIndex{1}\): Trivial lösning
Tänk på det homogena ekvationssystemet som ges av \ Then, \(x_{1} = 0, x_{2} = 0, \cdots, x_{n} =0\) är alltid en lösning på detta system. Vi kallar detta den triviala lösningen .
om systemet har en lösning där inte alla \(x_1, \cdots, x_n\) är lika med noll, kallar vi den här lösningen nontrivial . Den triviala lösningen berättar inte mycket om systemet, eftersom det står att \(0=0\)! Därför vill vi veta när systemet har en nontrivial lösning när vi arbetar med homogena ekvationssystem.
Antag att vi har ett homogent system med \(m\) ekvationer, med hjälp av \(n\) variabler och antar att \(n > m\). Med andra ord finns det fler variabler än ekvationer. Sedan visar det sig att detta system alltid har en nontrivial lösning. Inte bara kommer systemet att ha en nontrivial lösning, men det kommer också att ha oändligt många lösningar. Det är också möjligt, men inte nödvändigt, att ha en icke-trivial lösning om \(n=m\) och \(n<m\).
Tänk på följande exempel.
exempel \(\PageIndex{1}\): Lösningar till ett homogent ekvationssystem
hitta de icke-triviala lösningarna till följande homogena ekvationssystem \
lösning
Observera att detta system har\ (m = 2\) ekvationer och\ (n = 3\) variabler, så\(n>m\). Därför förväntar vi oss genom vår tidigare diskussion att detta system har oändligt många lösningar.
processen vi använder för att hitta lösningarna för ett homogent ekvationssystem är samma process som vi använde i föregående avsnitt. Först konstruerar vi den förstärkta matrisen, ges av \\] sedan bär vi denna matris till dess, ges nedan. \\ ] Motsvarande ekvationssystem är \ eftersom \(z\) inte begränsas av någon ekvation, vet vi att denna variabel blir vår parameter. Låt \(z=t\) där \(t\) är valfritt antal. Därför har vår lösning formen \ därför har detta system oändligt många lösningar, med en parameter \(t\).
Antag att vi skulle skriva lösningen till föregående exempel i en annan form. Specifikt kan \ skrivas som \ = \ left + t \ left\] Observera att vi har konstruerat en kolumn från konstanterna i lösningen (alla lika med \(0\)), liksom en kolumn som motsvarar koefficienterna på \(t\) i varje ekvation. Medan vi kommer att diskutera denna form av lösning mer i ytterligare kapitel, överväga nu kolumnen med koefficienter för parametern \(t\). I det här fallet är detta kolumnen \(\vänster\).
det finns ett speciellt namn för den här kolumnen, vilket är grundläggande lösning. De grundläggande lösningarna i ett system är kolumner konstruerade från koefficienterna på parametrar i lösningen. Vi betecknar ofta grundläggande lösningar med \(X_1, X_2\) etc., beroende på hur många lösningar som uppstår. Därför har exemplet den grundläggande lösningen \(X_1 = \left\).
vi utforskar detta vidare i följande exempel.
exempel \(\PageIndex{1}\): Grundläggande lösningar av ett homogent System
Tänk på följande homogena ekvationssystem. \ Hitta de grundläggande lösningarna på detta system.
lösning
den förstärkta matrisen för detta system och de resulterande är \ \ rightarrow \ cdots \ rightarrow \ left\ ] när det skrivs i ekvationer ges detta system av \ Observera att endast \(x\) motsvarar en pivotkolumn. I det här fallet kommer vi att ha två parametrar, en för \(y\) och en för \(z\). Låt \(y = s\) och \(z=t\) för några siffror \(s\) och \(t\). Då blir vår lösning \ som kan skrivas som \ = \ left + s \ left + t \ left\] du kan se här att vi har två kolumner med koefficienter som motsvarar parametrar, specifikt en för \(s\) och en för \(t\). Därför har detta system två grundläggande lösningar! Dessa är\, X_2 = \ left\]
Vi presenterar nu en ny definition.
Definition \(\PageIndex{1}\): linjär kombination
låt \(X_1,\cdots ,X_n,V\) vara kolumnmatriser. Då sägs \(V\) vara en linjär kombination av kolumnerna \(X_1,\cdots , X_n\) om det finns skalarer, \(A_{1},\cdots ,a_{n}\) så att \
ett anmärkningsvärt resultat av detta avsnitt är att en linjär kombination av de grundläggande lösningarna återigen är en lösning på systemet. Ännu mer anmärkningsvärt är att varje lösning kan skrivas som en linjär kombination av dessa lösningar. Därför, om vi tar en linjär kombination av de två lösningarna till exempel , skulle detta också vara en lösning. Vi kan till exempel ta följande linjära kombination
\ + 2 \left = \left\] du bör ta en stund för att verifiera att \ = \left\]
faktiskt är en lösning på systemet i exempel .
ett annat sätt på vilket vi kan ta reda på mer information om lösningarna för ett homogent system är att överväga rankningen av den associerade koefficientmatrisen. Vi definierar nu vad som menas med rangordningen av en matris.
Definition \(\PageIndex{1}\): rang av en matris
låt \(A\) vara en matris och överväga någon av \(a\). Sedan beror siffran \(r\) för ledande poster av \(A\) inte på det du väljer och kallas rankningen av \(a\). Vi betecknar det med rang (\(A\)).
På samma sätt kan vi räkna antalet pivotpositioner (eller pivotkolumner) för att bestämma rankningen av \(a\).
exempel \(\PageIndex{1}\): Hitta rankningen av en matris
Tänk på matrisen\\] Vad är dess rang?
lösning
först måste vi hitta av \(A\). Genom den vanliga algoritmen finner vi att detta är \\] här har vi två ledande poster, eller två pivotpositioner, som visas ovan i rutor.Rangordningen för \(A\) är \(r = 2.\ )
Lägg märke till att vi skulle ha uppnått samma svar om vi hade hittat av \(A\) istället för .
Antag att vi har ett homogent system med \(m\) ekvationer i \(n\) variabler och antar att \(n > m\). Från vår diskussion ovan vet vi att detta system kommer att ha oändligt många lösningar. Om vi överväger rankningen av koefficientmatrisen för detta system kan vi ta reda på ännu mer om lösningen. Observera att vi bara tittar på koefficientmatrisen, inte hela den förstärkta matrisen.
Sats \(\PageIndex{1}\): rang och lösningar till ett homogent System
låt \(A\) vara \(m \gånger n\) koefficientmatris som motsvarar ett homogent ekvationssystem och anta \(A\) har rang \(r\). Därefter har lösningen på motsvarande system\ (n-r\) parametrar.
Tänk på vårt ovanstående exempel i samband med denna sats. Systemet i detta exempel har\ (m = 2\) ekvationer i\ (n = 3\) variabler. För det första, eftersom \(n>m\), vet vi att systemet har en nontrivial lösning, och därför oändligt många lösningar. Detta berättar att lösningen kommer att innehålla minst en parameter. Rangordningen för koefficientmatrisen kan berätta ännu mer om lösningen! Rangordningen för systemets koefficientmatris är \(1\), eftersom den har en ledande post i . Sats berättar att lösningen kommer att ha\ (n-r = 3-1 = 2\) parametrar. Du kan kontrollera att detta är sant i lösningen till exempel .
Observera att om \(n = m\) eller \(n<m\), är det möjligt att ha antingen en unik lösning (som kommer att vara den triviala lösningen) eller oändligt många lösningar.
Vi är inte begränsade till homogena ekvationssystem här. Matrisens rangordning kan användas för att lära sig om lösningarna i något system av linjära ekvationer. I föregående avsnitt diskuterade vi att ett ekvationssystem inte kan ha någon lösning, en unik lösning eller oändligt många lösningar. Antag att systemet är konsekvent, oavsett om det är homogent eller inte. Följande sats berättar hur vi kan använda rankningen för att lära oss om vilken typ av lösning vi har.
Sats \(\PageIndex{1}\): rang och lösningar på ett konsekvent ekvationssystem
låt \(A\) vara \(m \times \left( n+1 \right)\) förstärkt matris som motsvarar ett konsekvent ekvationssystem i \(n\) variabler och anta \(A\) har rang \(r\). Sedan
-
systemet har en unik lösning om \(r = n\)
-
systemet har oändligt många lösningar om \(r< n\)
Vi kommer inte att presentera ett formellt bevis på detta, men överväga följande diskussioner.
-
ingen lösning ovanstående sats förutsätter att systemet är konsekvent, det vill säga att det har en lösning. Det visar sig att det är möjligt för den förstärkta matrisen i ett system utan lösning att ha någon rang \(r\) så länge som \(r>1\). Därför måste vi veta att systemet är konsekvent för att kunna använda denna sats!
-
unik lösning anta \(r=n\). Sedan finns det en svängposition i varje kolumn i koefficientmatrisen på \(A\). Därför finns det en unik lösning.
-
oändligt många lösningar antar \(r<n\). Då finns det oändligt många lösningar. Det finns mindre pivotpositioner (och därmed mindre ledande poster) än kolumner, vilket innebär att inte varje kolumn är en pivotkolumn. Kolumnerna som är\ (inte\) pivot kolumner motsvarar parametrar. I själva verket har vi i detta fall \(n-r\) parametrar.