ostatnio myślałem o różnych uzasadnieniach dla definicji 0! (silnia zera) czyli
$$0!= 1$$
zakładana wartość 1 może wydawać się dość oczywista, jeśli weźmiemy pod uwagę formułę rekurencyjną. Nie zadowoliło mnie to jednak „matematycznie”. Dlatego postanowiłem napisać te kilka zdań. Dam motywacje dla mniej zaawansowanych, ale będą też motywacje dla nieco bardziej wtajemniczonych.
fac silnia w kalkulatorze skalarnym
⭐ ️ Silnia i nawrót
dla liczby całkowitej N > 0 silnia jest zdefiniowana następująco
$$N!=n\times (n-1)\times (n-2) \times \ldots\times 2 \ times 1$$
z łatwością widać, że poniżej następuje wzór rekurencyjny
$$n!=N\razy (N-1)!$$
$$1!=1$$
⭐ ️ 0! = 1-motywacja oparta na nawrotach
mała transformacja
$$n!=N\razy (N-1)!$$
daje
$$(n-1)!= \ frac{n!}{n}$$
podstawiając N = 1
$$(1-1)!= \ frac{1!}{1}$$
$$0!=1!= 1$$
to Wyjaśnienie, choć proste, nie daje (moim zdaniem) wystarczająco głębokiego zrozumienia „dlaczego to powinno być najlepsze rozwiązanie”.
⭐ ️ silnia n! zlicza możliwe sekwencje N odrębnych obiektów (permutacji)
Załóżmy, że mamy zbiór zawierający N elementów
$$\{1,2,\ldots, n\}$$
teraz Policzmy możliwe uporządkowanie elementów to ten zbiór
- n sposobów wybierania pierwszego elementu (ponieważ mamy dostępny cały zestaw)
- n-1 sposobów wybierania drugiego elementu (ponieważ pierwszy został już wybrany, istnieje n-1 po lewej)
- n-2 sposoby wybierania trzeciego elementu (ponieważ oba zostały już wybrane, są N-2 po lewej)
- …
- n- (k-1) sposoby wybierania numeru elementu K (ponieważ k-1 zostały już wybrane, n- (k-1) pozostają)
- 2 sposoby wybierania numeru elementu n-1 (ponieważ N-2 zostały wybrane, nadal pozostają 2)
- 1 Sposób wybierania numeru elementu n (ponieważ N-1 zostały wybrane, pozostało tylko jedno)
wreszcie, licząc wszystkie możliwe sposoby, otrzymujemy
$$n\times (n-1)\times (N-2)\times \ldots \razy 2\razy 1=N!$$
wniosek: Silnia n zlicza liczbę permutacji zbioru zawierającego N elementów.
⭐ ️ K-permutacje N czasami nazywane częściowymi permutacjami lub wariacjami
k-permutacje n są różnymi uporządkowanymi układami podzbioru k-elementu zbioru n. Liczba takich K-permutacji N wynosi
$$p_k^n = n\times (n-1)\times (n-2)\times\ldots\times \bigg(n-(k-1)\bigg) = \frac{n!{(n-k)!}$$
łatwo zauważyć, że n-permutacja n jest permutacją, więc
$$p_n^n=n!$$
$ $ n! = \ frac{n!} {(n-n)!} = \ frac{n!}{0!} $$
kolejny wgląd dlaczego 0!= 1 jest poprawna definicja pochodzi z tego, że dla dowolnego n > 0 powinniśmy mieć
$$0! \ times n! = n!$$
function funkcja jako zestaw mapowania
funkcja
$ $f:A\to B$$
funkcja F : A → B, gdzie dla każdego a ∈ A istnieje f(A) = b ∈ B, określa zależność między elementami a i b. możemy powiedzieć, że elementy a ∈ a i b ∈ B są w relacji ” f ” wtedy i tylko wtedy, gdy f(A) = b.
⭐ ️ funkcja jako podzbiór iloczynu kartezjańskiego
funkcja jest relacją binarną, czyli funkcję można wyrazić podzbiorem iloczynu kartezjańskiego.
$$(a,b)\in F \subseteq a\times B \iff f(a)=b$$
⭐ ️ funkcja iniekcyjna
funkcja iniekcyjna jest funkcją zachowującą odrębność: nigdy nie odwzorowuje odrębnych elementów swojej domeny na ten sam element swojej przeciwdomeny. Wkrótce
$$x\neq y \Rightarrow f(x) \neq f(y)$$
⭐ ️ funkcja surjektywna
funkcja f jest surjektywna (lub na), jeśli dla każdego elementu B w domenie Kodomeny istnieje co najmniej jeden element a w domenie taki, że F(A)=B . Nie jest wymagane, aby x był unikalny.
$ $ f:A\to b$$
$${\large \displaystyle\forall_{B \in B} \quad\displaystyle\exists_{a\in a}\quad}f(a)=b$$
bi funkcja bijektywna
funkcja bijektywna, lub korespondencja jeden do jednego, jest funkcją, w której każdy element jednego zbioru jest sparowany z dokładnie jednym elementem drugiego zbioru, a każdy element drugiego zbioru jest sparowany z dokładnie jednym elementem pierwszego zbioru. Nie ma niesparowanych elementów.
pod względem matematycznym funkcja bijektywna jest zarówno injektywnym, jak i surjektywnym odwzorowaniem zbioru a na zbiór B.
⭐ ️ funkcja bijektywna vs permutacja
permutacja jest funkcją, która zwraca kolejność zbioru, tzn. jeśli weźmiemy pod uwagę N-elementowy zbiór {1, 2,…, n}, to permutacja będzie funkcją
$$p:\{1, 2,…, n\}\to\{1, 2,…, n\}$$
spełniający warunek funkcji bijektywnej.
pytając o liczbę permutacji możemy równie dobrze zapytać o liczbę różnych bijekcji z danego zbioru do siebie.
⭐ ️ funkcja pusta
funkcja pusta to każda funkcja, której dziedziną jest zbiór pusty.
$$f:\emptyset\to B$$
pusta funkcja „chart” jest zbiorem pustym, gdyż iloczyn kartezjański domeny i przeciwdomeny jest pusty.
$$\emptyset \times B = \ emptyset$$
funkcja pusta zachowuje odrębność (jest injektywna), ponieważ w domenie (zbiorze pustym) nie ma dwóch różnych elementów, dla których wartość funkcji jest równa.
Special specjalny przypadek pustej funkcji
przeanalizujmy funkcję, która mapuje pusty na pusty zbiór
$ $f:\emptyset \ to \ emptyset$$
taka funkcja jest bijekcją, ponieważ jest funkcją injekcyjną (jak pokazano powyżej) i nie ma elementu w cadomenie (cadomena jest zbiorem pustym), który nie jest w stosunku do elementów w domenie.
proszę zauważyć, że istnieje dokładnie jeden taki dwujęzyk, który jest wynikiem tego, że funkcja jest podzbiorem iloczynu kartezjańskiego domeny i kodomeny. W tym przypadku jest to tylko jeden możliwy zestaw.
$ $ f:\emptyset \ to \ emptyset$$
$$\emptyset\times\emptyset = \emptyset$$
pusty zbiór ma dokładnie jeden podzbiór, którym jest pusty zbiór-tak więc taka bijekcja jest jednoznacznie zdefiniowana.
⭐ ️ 0! = 1 vs funkcja pusta
napisałem powyżej, że liczba permutacji zbioru N-elementowego jest równa liczbie odrębnych funkcji bijektywnych z tego zbioru do siebie.
Po-permutacja 0-elementowego zbioru odpowiada bijekcji z pustego zbioru do pustego zbioru/
szczególnym przypadkiem pustej funkcji jest tylko 1 – i przedstawiłem dowód, że istnieje tylko jedna taka funkcja 🙂
dość głębokie wgląd dlaczego 0! powinno być o 1.
⭐ ️ funkcja Gamma
w matematyce funkcja gamma jest jednym z rozszerzeń funkcji silnia z jej argumentem przesuniętym w dół o 1, do liczb rzeczywistych i zespolonych.
$$ \ Gamma(z)=\displaystyle\int_0^{+\infty}T^{z-1}e^{-t}dt$$
Po całkowaniu przez części otrzymujemy wzór rekurencyjny
$$\Gamma(z+1)=z\cdot\Gamma(z)$$
zobaczmy wartość
$$\Gamma(1)=?$$
$$\Gamma(1)=\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-t}dt=\displaystyle\int_{-\infty}^{0}e^{t}dt$$
następujące
$$\Gamma(n+1)=n!$$
$$0! = \Gamma(1) = 1$$
⭐️ Scalar support for the Gamma function
Functions in Scalar Calculator, that support Gamma special function
- Gamma(x) – Gamma special function Γ(s)
- sgnGamma(x) – Signum of Gamma special function, Γ(s)
- logGamma(x) – Log Gamma special function, lnΓ(s)
- diGamma(x) – Digamma function as the logarithmic derivative of the Gamma special function, ψ(x)
- GammaL(s,x) – Lower incomplete gamma special function, γ(s,x)
- GammaU(s,x) – Upper incomplete Gamma special function, Γ(s,x)
- GammaP(s,x) , GammaRegL(s,x) – Lower regularized P gamma special function, P(s,x)
- GammaQ(s,x), GammaRegU(s,x) – Upper regularized Q Gamma special function, Q(s,x)
Gamma function chart
Gamma function vs Factorial chart
⭐ ️ liczba E i relacja silnia
na podstawie rozszerzenia szeregów Taylora E^x łatwo jest pokazać, że
$$E=\displaystyle\sum_{N=0}^\infty\frac{1}{n!} = \ frac{1}{0!} + \ frac{1}{1!} + \ frac{1}{2!} + \ frac{1}{3!}+\ldots$$
Sequence convergence
This is fascinating, as it shows even stronger relation of factorial to e
Thanks for reading! All the best 🙂