limity i infinitesimals
Rachunek różniczkowy jest zwykle rozwijany przez pracę z bardzo małymi ilościami. Historycznie, pierwszą metodą robienia tego były infinitezymale. Są to obiekty, które można traktować jak liczby rzeczywiste, ale które są w pewnym sensie „nieskończenie małe”. Na przykład, nieskończenie mała liczba może być większa od 0, ale mniejsza od dowolnej liczby w sekwencji 1, 1/2, 1/3,… a więc mniej niż jakakolwiek dodatnia liczba rzeczywista. Z tego punktu widzenia rachunek różniczkowy jest zbiorem technik manipulowania infinitezymalami. Symbole d x {\displaystyle dx}
I d y {\displaystyle dy}
zostały uznane za infinitezymalne, a pochodna d y / D x {\displaystyle dy/dx}
był po prostu ich stosunkiem.
podejście infinitesimal wypadło z łask w XIX wieku, ponieważ trudno było sprecyzować pojęcie infinitesimal. Jednak koncepcja ta odrodziła się w XX wieku wraz z wprowadzeniem niestandardowej analizy i płynnej analizy infinitezymalnej, która dostarczyła solidnych podstaw do manipulacji infinitezymalami.
pod koniec XIX wieku infinitezymale zostały zastąpione przez Epsilon, podejście delta do granic. Limity opisują wartość funkcji na danym wejściu w kategoriach jej wartości na pobliskich wejściach. Wychwytują zachowania na małą skalę w kontekście systemu liczb rzeczywistych. W tym leczeniu rachunek jest zbiorem technik manipulowania pewnymi limitami. Infinitezymale są zastępowane przez bardzo małe liczby, a nieskończenie małe zachowanie funkcji można znaleźć, przyjmując zachowanie ograniczające dla coraz mniejszych liczb. Uważano, że limity zapewniają bardziej rygorystyczne podstawy rachunku różniczkowego i z tego powodu stały się standardowym podejściem w XX wieku.
rachunek różniczkowy
rachunek różniczkowy jest badaniem definicji, właściwości i zastosowań pochodnej funkcji. Proces znajdowania pochodnej nazywa się różnicowaniem. Biorąc pod uwagę funkcję i punkt w dziedzinie, pochodna w tym punkcie jest sposobem kodowania zachowania funkcji na małą skalę w pobliżu tego punktu. Znajdując pochodną funkcji w każdym punkcie jej dziedziny, można wytworzyć nową funkcję, zwaną funkcją pochodną lub po prostu pochodną funkcji pierwotnej. Pod względem formalnym pochodna jest operatorem liniowym, który przyjmuje funkcję jako swoją wejściową i wytwarza drugą funkcję jako swoją wyjściową. Jest to bardziej abstrakcyjne niż wiele procesów badanych w algebrze elementarnej, gdzie funkcje zwykle wprowadzają liczbę i wyprowadzają inną liczbę. Na przykład, jeśli funkcja podwojenia ma wejście trzy, to wychodzi sześć, a jeśli funkcja kwadratowa ma wejście trzy, to wychodzi dziewięć. Pochodna może jednak przyjmować funkcję kwadratową jako wejście. Oznacza to, że pochodna pobiera wszystkie informacje funkcji kwadratowej—takie jak, że dwa są wysyłane do czterech, trzy są wysyłane do dziewięciu, cztery są wysyłane do szesnastu, i tak dalej—i wykorzystuje te informacje do wytworzenia innej funkcji. Funkcja wytworzona przez wyprowadzenie funkcji kwadratowej okazuje się funkcją podwajającą.
w bardziej wyraźny sposób „funkcja podwojenia” może być oznaczona przez g(x) = 2X, a „funkcja kwadratowa” przez f(x) = x2. „Pochodna” przyjmuje teraz funkcję f(X), zdefiniowaną przez wyrażenie „x2”, jako wejście, czyli wszystkie informacje—takie jak, że dwa są wysyłane do czterech, trzy są wysyłane do dziewięciu, cztery są wysyłane do szesnastu, i tak dalej—i wykorzystuje te informacje do wyjścia innej funkcji, funkcji g (x) = 2x, jak się okaże.
najczęstszym symbolem pochodnej jest znak apostrofu o nazwie prime. Tak więc pochodna funkcji o nazwie f jest oznaczana przez f’, wymawiane „f PRIM”. Na przykład, jeśli f (x) = x2 jest funkcją kwadratową, to F'(x) = 2X jest jej pochodną (funkcja podwojenia G z góry). Notacja ta jest znana jako notacja Lagrange ’ a.
Jeżeli wejście funkcji reprezentuje czas, to pochodna reprezentuje zmianę względem czasu. Na przykład, jeśli f jest funkcją, która zajmuje czas jako wejście i podaje pozycję piłki w tym czasie jako wyjście, to pochodną F jest to, jak pozycja zmienia się w czasie, to jest to prędkość piłki.
Jeśli funkcja jest liniowa (to znaczy, jeśli wykres funkcji jest linią prostą), to funkcję można zapisać jako y = mx + b, gdzie x jest zmienną niezależną, y jest zmienną zależną, b jest przecięciem y i:
m = Rise run = zmiana w y zmiana w X = Δ y Δ x . {\displaystyle m={\frac {\text {rise}} {\text {run}}}={\frac {{\text {change in }}y} {{\text {change in }}x}}={\frac{\Delta y} {\Delta X}}.}
to daje dokładną wartość nachylenia linii prostej. Jeśli jednak wykres funkcji nie jest linią prostą, to zmiana w y podzielona przez zmianę w x jest różna. Pochodne dają dokładne znaczenie pojęciu zmiany w produkcji w odniesieniu do zmiany w danych wejściowych. Aby być konkretnym, niech f będzie funkcją i ustalmy punkt a w dziedzinie f. (A, f (A)) jest punktem na wykresie funkcji. Jeśli h jest liczbą bliską zeru, to a + h jest liczbą bliską a. dlatego (A + h, f (A + h)) jest bliskie (A, f(A)). Nachylenie między tymi dwoma punktami wynosi
m = F ( A + h ) − f ( A ) ( A + H ) − A = F ( A + H ) − f ( A ) h . {\displaystyle m={\frac {f(A+h)-f(A)} {(a+h)-a}}={\frac{f(A+H)-f(A)} {H}}.}
to wyrażenie nazywa się ilorazem różnicy. Linia przechodząca przez dwa punkty na krzywej nazywa się linią sekantową, więc m jest nachyleniem linii sekantowej między (A, f (A)) i (A + H, f(A + h)). Linia secant jest tylko przybliżeniem zachowania funkcji w punkcie a, ponieważ nie uwzględnia tego, co dzieje się między a i a + h. nie jest możliwe wykrycie zachowania w a przez ustawienie h na zero, ponieważ wymagałoby to podzielenia przez zero, co jest niezdefiniowane. Pochodna jest zdefiniowana przez przyjęcie granicy, ponieważ h dąży do zera, co oznacza, że bierze pod uwagę zachowanie f dla wszystkich małych wartości h i wyciąga spójną wartość dla przypadku, gdy h jest równe zero:
lim h → 0 f (A + H ) − f ( A ) h . {\displaystyle \ lim _{h \ to 0}{f (A+H)-F(A) \over {H}}.}
geometrycznie pochodna jest nachyleniem linii stycznej do wykresu f W a. linia styczna jest granicą linii sekantów, podobnie jak pochodna jest granicą ilorazów różnicy. Z tego powodu pochodna jest czasami nazywana nachyleniem funkcji f.
oto szczególny przykład, pochodna funkcji kwadratowej na wejściu 3. Niech f (x) = x2 będzie funkcją kwadratową.
f ′ ( 3 ) = lim h → 0 ( 3 + h ) 2 − 3 2 h = lim h → 0 9 + 6 h + h 2 − 9 h = lim h → 0 6 h + h 2 h = lim h → 0 ( 6 + h ) = 6 {\displaystyle {\begin{aligned}f'(3)&=\lim _{h\to 0}{(3+h)^{2}-3^{2} \over {h}}\\&=\lim _{h\to 0}{9+6h+h^{2}-9 \over {h}}\\&=\lim _{h\to 0}{6h+h^{2} \over {h}}\\&=\lim _{h\to 0}(6+h)\\&=6\end{aligned}}}
nachylenie linii stycznej do funkcji kwadratowej w punkcie (3, 9) jest 6, to znaczy, rośnie sześć razy szybciej niż w prawo. Opisany proces graniczny można wykonać dla dowolnego punktu w domenie funkcji kwadratowej. To definiuje pochodną funkcji kwadratowej lub po prostu pochodną funkcji kwadratowej w skrócie. Obliczenia podobne do powyższego pokazują, że pochodna funkcji kwadratowej jest funkcją podwojenia.
notacja Leibniza
powszechną notacją wprowadzoną przez Leibniza dla pochodnej w powyższym przykładzie jest
y = x 2 D y d x = 2 x . {\displaystyle {\begin{aligned}y&=x^{2}\\{\frac {dy}{dx}}&=2x.\end{aligned}}}
w podejściu opartym na granicach, symbol dy/dx należy interpretować nie jako iloraz dwóch liczb, ale jako skrót dla granicy obliczonej powyżej. Leibniz zamierzał jednak reprezentować iloraz dwóch nieskończenie małych liczb, DY jest nieskończenie małą zmianą w y spowodowaną nieskończenie małą zmianą DX zastosowaną do x. możemy również myśleć o D / dx jako operatorze różnicującym, który przyjmuje funkcję jako wejście i daje inną funkcję, pochodną, jako wyjście. Na przykład:
d d x (x 2) = 2 x . {\displaystyle {\frac {d}{DX}} (x^{2})=2x.}
w tym użyciu, dx w mianowniku jest odczytywane jako „względem x”. Innym przykładem poprawnej notacji może być:
g ( t ) = T 2 + 2 t + 4 d d T g ( t ) = 2 t + 2 {\displaystyle {\begin{aligned}g(t)=T^{2}+2T+4\\\\{D \over DT}g(t)=2t+2\end{aligned}}}
nawet gdy rachunek różniczkowy jest rozwijany przy użyciu limitów, a nie infinitezymali, często manipuluje się symbolami takimi jak DX I dy, jakby były liczbami rzeczywistymi; chociaż można uniknąć takich manipulacji, czasami są one niezbyt wygodne w wyrażaniu operacji, takich jak pochodna całkowita.
rachunek całkowy
rachunek całkowy jest badaniem definicji, właściwości i zastosowań dwóch powiązanych pojęć, całki nieokreślonej i całki określonej. Proces znajdowania wartości całki nazywa się całkowaniem. W języku technicznym rachunek całkowy bada Dwa powiązane operatory liniowe.
Całka nieokreślona, znana również jako funkcja pierwotna, jest operacją odwrotną do pochodnej. F jest całką nieokreśloną z F, gdy F jest pochodną F. (To użycie małych i dużych liter dla funkcji i jej całki nieokreślonej jest powszechne w rachunku różniczkowym.)
Całka definitywna wprowadza funkcję i wyprowadza liczbę, co daje algebraiczną sumę obszarów między wykresem wejścia a osią X. Definicja techniczna całki określonej obejmuje granicę sumy pól prostokątów, zwaną sumą Riemanna.
motywującym przykładem są odległości przebyte w danym czasie.
D I S t A N c E = S p E E d ⋅ T I M E {\displaystyle \mathrm {Distance} =\mathrm {Speed} \cdot \mathrm {Time} }
Jeśli prędkość jest stała, potrzebne jest tylko mnożenie, ale jeśli zmieni się prędkość, konieczna jest mocniejsza metoda znajdowania odległości. Jedną z takich metod jest przybliżenie przebytej odległości przez rozbicie czasu na wiele krótkich przedziałów czasu, następnie pomnożenie czasu, który upłynął w każdym przedziale przez jedną z prędkości w tym przedziale, a następnie pobranie Sumy (Sumy Riemanna) przybliżonej odległości przebytej w każdym przedziale. Podstawową ideą jest to, że jeśli upłynie tylko krótki czas, prędkość pozostanie mniej więcej taka sama. Jednak suma Riemanna daje tylko przybliżenie przebytej odległości. Musimy wziąć granicę wszystkich takich Sum Riemanna, aby znaleźć dokładną przebytą odległość.
gdy prędkość jest stała, całkowitą odległość przebytą w danym przedziale czasowym można obliczyć przez pomnożenie prędkości i czasu. Na przykład pokonanie stałej prędkości 50 km / h przez 3 godziny daje łączną odległość 150 mil. Na diagramie po lewej stronie, gdy na wykresie jest stała prędkość i czas, te dwie wartości tworzą prostokąt o wysokości równej prędkości i szerokości równej Czasowi, który upłynął. Dlatego iloczyn prędkości i czasu oblicza również prostokątny obszar pod krzywą (stałej) prędkości. Ten związek między obszarem pod krzywą a przebytą odległością może być rozszerzony na dowolny obszar o nieregularnym kształcie wykazujący zmienną prędkość w danym okresie czasu. Jeśli f (x) na diagramie po prawej stronie reprezentuje prędkość, ponieważ zmienia się w czasie, przebyta odległość (między czasami reprezentowanymi przez a i b) jest obszarem zacienionego obszaru s.
aby przybliżyć ten obszar, intuicyjną metodą byłoby podzielenie odległości między A i b na liczbę równych segmentów, długość każdego segmentu reprezentowana przez symbol Δx. Dla każdego małego segmentu możemy wybrać jedną wartość funkcji f (x). Nazwij tę wartość h. wtedy pole prostokąta o podstawie Δx i wysokości h daje odległość (czas Δx pomnożony przez prędkość h) przejechaną w tym segmencie. Z każdym segmentem związana jest średnia wartość funkcji nad nim, f (x) = h. suma wszystkich takich prostokątów daje przybliżenie pola między osią a krzywą, co jest przybliżeniem całkowitej przebytej odległości. Mniejsza wartość Δx da więcej prostokątów i w większości przypadków lepsze przybliżenie, ale dla dokładnej odpowiedzi musimy przyjąć granicę, gdy Δx dąży do zera.
symbolem integracji jest ∫ {\displaystyle \int}
, wydłużone s (S oznacza „sumę”). Całka określona zapisywana jest jako: ∫ a b f (x) d x . {\displaystyle \int _{a}^{b}f (x)\, dx.}
i jest odczytywana jako „Całka od A do b z f-od-x względem x”. notacja Leibniza dx ma sugerować podzielenie obszaru pod krzywą na nieskończoną liczbę prostokątów, tak aby ich szerokość Δx stała się nieskończenie małym dx. W formułowaniu rachunku na podstawie limitów, zapis
∫ A b ⋯ D x {\displaystyle \int _{a}^{b}\cdots \,dx}
należy rozumieć jako operator, który przyjmuje funkcję jako wejście i daje liczbę, obszar, jako wyjście. Różniczka kończąca, DX, nie jest liczbą i nie jest mnożona przez f (x), chociaż, służąc jako przypomnienie definicji granicy Δx, może być traktowana jako taka w manipulacjach symbolicznych całki. Formalnie różniczka wskazuje zmienną, nad którą funkcja jest zintegrowana i służy jako nawias zamykający dla operatora całkowania.
Całka nieokreślona lub funkcja pierwotna jest zapisana:
∫ f (x) d x . {\displaystyle \int f (x)\, dx.}
funkcje różniące się tylko stałą mają tę samą pochodną i można wykazać, że funkcja pierwotna danej funkcji jest w rzeczywistości rodziną funkcji różniących się tylko stałą. Ponieważ pochodna funkcji y = x2 + C, gdzie C jest dowolną stałą, wynosi y ’ = 2x, funkcja pierwotna tej ostatniej jest dana przez:
∫ 2 x d X = x 2 + C . {\displaystyle \int 2x\,dx=x^{2}+C.}
nieokreślona stała C obecna w całce nieokreślonej lub funkcji pierwotnej jest znana jako stała całkowania.
podstawowe twierdzenie
podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego stwierdza, że różnicowanie i całkowanie są operacjami odwrotnymi. Dokładniej, odnosi się do wartości całek pierwotnych do całek określonych. Ponieważ zwykle łatwiej jest obliczyć pierwotną funkcję niż zastosować definicję całki określonej, podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego zapewnia praktyczny sposób obliczania całek określonych. Można ją również interpretować jako precyzyjne stwierdzenie faktu, że różnicowanie jest odwrotnością całkowania.
podstawowe twierdzenie Stanów rachunku różniczkowego: Jeśli funkcja f jest ciągła na przedziale i jeśli F jest funkcją, której pochodną jest F na przedziale (a, b), TO
∫ A b F (x) D x = F (b) – F ( A). {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F (A).}
ponadto dla każdego X w przedziale (A, b),
d D x ∫ A x f ( t ) D t = f ( x ) . {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{a}^{x}f(t)\,dt=f (x).}
ta realizacja, wykonana zarówno przez Newtona, jak i Leibniza, którzy oparli swoje wyniki na wcześniejszych pracach Isaaca Barrowa, była kluczem do rozprzestrzeniania się wyników analitycznych po tym, jak ich praca stała się znana. Podstawowe twierdzenie dostarcza algebraicznej metody obliczania wielu całek określonych-bez wykonywania procesów granicznych – poprzez znajdowanie wzorów na całki pierwotne. Jest to również prototypowe rozwiązanie równania różniczkowego. Równania różniczkowe odnoszą nieznaną funkcję do jej pochodnych i są wszechobecne w naukach ścisłych.