Matematyka dla sztuk wyzwolonych Corequisite

ewolucja systemu

Nasz własny system liczbowy, składający się z dziesięciu symboli {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} nazywa się systemem hindusko-arabskim. Jest to system dziesiętny (dziesiętny), ponieważ wartości miejsca zwiększają się o potęgi dziesiątek. Ponadto układ ten jest pozycyjny, co oznacza, że pozycja symbolu ma wpływ na wartość tego symbolu w obrębie liczby. Na przykład pozycja symbolu 3 w liczbie 435,681 daje mu wartość znacznie większą niż wartość symbolu 8 w tej samej liczbie. Później dokładniej zbadamy systemy bazowe. Rozwój tych dziesięciu symboli i ich zastosowanie w systemie pozycyjnym pochodzi przede wszystkim z Indii.

Rysunek 10. Al-Biruni

dopiero w XV wieku po raz pierwszy w Europie pojawiły się znane nam dziś symbole. Jednak historia tych liczb i ich rozwoju sięga setek lat wstecz. Jednym z ważnych źródeł informacji na ten temat jest pisarz al-Biruni, którego obraz jest pokazany na rysunku 10. Al-Biruni, który urodził się we współczesnym Uzbekistanie, kilkakrotnie odwiedzał Indie i komentował indyjski system liczbowy. Kiedy przyjrzymy się początkom liczb, które napotkał al-Biruni, musimy cofnąć się do trzeciego wieku p. n. e., aby zbadać ich pochodzenie. To wtedy używano liczebników Brahmi.

liczby Brahmi były bardziej skomplikowane niż te używane we własnym nowoczesnym systemie. Miały oddzielne symbole dla liczb od 1 do 9, a także różne symbole dla 10, 100, 1000,…, także dla 20, 30, 40,… i inne dla 200, 300, 400, …, 900. Symbole Brahmi dla 1, 2 i 3 są pokazane poniżej.

liczby te były używane aż do IV wieku n. e., z różnicami w czasie i położeniu geograficznym. Na przykład w pierwszym wieku n. e.jeden szczególny zestaw liczb Brahmi przybrał następującą postać:

od czwartego wieku można właściwie prześledzić kilka różnych ścieżek, które liczby Brahmi obrały, aby dostać się do różnych punktów i inkarnacji. Jedna z tych ścieżek doprowadziła do naszego obecnego systemu liczbowego i przeszła przez coś, co nazywa się cyframi Gupty. Cyfry Gupta były widoczne w czasie rządzonym przez dynastię Gupta i zostały rozłożone w całym imperium, jak podbijali ziemie w ciągu czwartego do szóstego wieku. Mają one następującą postać:

sposób, w jaki liczby dostały się do ich formy jest otwarty na znaczną dyskusję. Zaproponowano wiele możliwych hipotez, z których większość sprowadza się do dwóch podstawowych typów. Pierwszy typ hipotezy stwierdza, że cyfry pochodziły od początkowych liter nazw liczb. To nie jest rzadkością . . . w ten sposób rozwinęły się cyfry Greckie. Drugi typ hipotezy stwierdza, że pochodzą one z jakiegoś wcześniejszego systemu liczbowego. Istnieją jednak inne hipotezy, z których jedną jest badacz Ifrah. Jego teoria głosi, że pierwotnie było dziewięć cyfr, każda reprezentowana przez odpowiednią liczbę pionowych linii. Jedną z możliwości jest to:

ponieważ pisanie tych symboli zajęłoby dużo czasu, w końcu przekształciły się w Symbole kursywne, które mogłyby być zapisywane szybciej. Jeśli porównamy je z powyższymi cyframi Gupty, możemy spróbować zobaczyć, jak ten proces ewolucyjny mógł mieć miejsce, ale nasza wyobraźnia byłaby prawie wszystkim, na czym musielibyśmy polegać, ponieważ nie wiemy dokładnie, jak ten proces się rozwinął.

liczby Gupty ostatecznie przekształciły się w inną formę liczb zwaną liczbami Nagari, a te ewoluowały aż do XI wieku, kiedy to wyglądały następująco:

zauważ, że do tego czasu pojawił się symbol 0! Majowie w Amerykach mieli symbol zero na długo przed tym, jednak, jak zobaczymy w dalszej części rozdziału.

liczby te zostały przyjęte przez Arabów, najprawdopodobniej w VIII wieku podczas najazdów islamskich na północną część Indii. Uważa się, że Arabowie odegrali kluczową rolę w rozprzestrzenianiu ich w innych częściach świata, w tym w Hiszpanii (patrz poniżej).

inne przykłady zmian do XI wieku to:

rys. 11. Devangari, VIII wiek

Rysunek 12. West Arab Gobar, X wiek

rysunek 13. Hiszpania, 976 r.p. n. e.

wreszcie, Rysunek 14 pokazuje różne formy tych cyfr, gdy rozwinęły się i ostatecznie zbiegły do XV wieku w Europie.

Rysunek 14.

Cyfry rzymskie

system liczbowy reprezentowany przez cyfry rzymskie powstał w starożytnym Rzymie (753 pne–476 AD) i pozostał zwykłym sposobem zapisu liczb w całej Europie aż do późnego średniowiecza (ogólnie obejmujący XIV i XV wiek (ok. 1301-1500)). Liczby w tym systemie są reprezentowane przez kombinacje liter z alfabetu łacińskiego. Cyfry rzymskie, stosowane obecnie, oparte są na siedmiu symbolach:

używanie cyfr rzymskich trwało długo po upadku cesarstwa rzymskiego. Od XIV wieku cyfry rzymskie zaczęły być zastępowane w większości kontekstów przez wygodniejsze cyfry hindusko-Arabskie; jednak proces ten był stopniowy, a użycie cyfr rzymskich utrzymuje się w niektórych pomniejszych zastosowaniach do dnia dzisiejszego.

liczby od 1 do 10 są zwykle wyrażone cyframi rzymskimi w następujący sposób:

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X.

liczby powstają przez połączenie symboli i dodanie wartości, więc II to dwa (dwie jedynki), A XIII to trzynaście (dziesięć i trzy jedynki). Ponieważ każda cyfra ma stałą wartość, a nie reprezentuje wielokrotności dziesięciu, stu i tak dalej, w zależności od pozycji, nie ma potrzeby” utrzymywania ” zer, jak w liczbach takich jak 207 lub 1066; liczby te są zapisywane jako CCVII (dwie setki, pięć i dwie jedynki) i MLXVI (tysiąc, pięćdziesiąt, dziesięć, pięć i jeden).

symbole są umieszczane od lewej do prawej w kolejności wartości, zaczynając od największej. Jednak w kilku szczególnych przypadkach, aby uniknąć powtarzania czterech znaków po kolei (takich jak IIII lub XXXX), stosuje się notację odejmującą: jak w tej tabeli:

In summary:

• i umieszczony przed V lub X oznacza jeden mniej, więc cztery to IV (jeden mniej niż pięć) i dziewięć to IX (jeden mniej niż dziesięć)
• x umieszczony przed L lub C oznacza dziesięć mniej, więc czterdzieści to XL (dziesięć mniej niż pięćdziesiąt) i dziewięćdziesiąt to XC (dziesięć mniej niż sto)
• C umieszczony przed D lub M oznacza sto mniej, więc czterysta to CD (sto mniej niż pięćset) i dziewięćset to CM (sto mniej niż tysiąc)

przykład

napisz hindusko-arabską cyfrę dla mcmiv.

Pokaż rozwiązanie

tysiąc dziewięćset cztery, 1904 (M to tysiąc, CM to dziewięćset, a IV to cztery)

Wypróbuj

nowoczesne zastosowanie

Przez w XI wieku cyfry hindusko–Arabskie zostały wprowadzone do Europy z Al-Andalus, za pomocą arabskich kupców i traktatów arytmetycznych. Cyfry rzymskie okazały się jednak bardzo trwałe, pozostając w powszechnym użyciu na Zachodzie również w XIV i XV wieku, nawet w księgowości i innych dokumentach biznesowych (gdzie rzeczywiste obliczenia byłyby dokonywane za pomocą liczydła). Zastąpienie ich wygodniejszymi” arabskimi ” odpowiednikami było dość stopniowe,a cyfry rzymskie są nadal używane w niektórych kontekstach. Kilka przykładów ich obecnego zastosowania to:

Real hiszpański z „IIII” zamiast IV

• nazwiska monarchów i papieży, np. Elżbiety II Wielkiej Brytanii, papieża Benedykta XVI. są one określane jako liczby Królewskie; np. II wymawia się „drugi”. Tradycja ta zaczęła się w Europie sporadycznie w średniowieczu, zyskując szerokie zastosowanie w Anglii dopiero za panowania Henryka VIII. Wcześniej monarcha nie był znany z liczebnika, ale z epitetu, takiego jak Edward spowiednik. Niektórzy monarchowie (np. Karol IV Hiszpański i Ludwik XIV Francuski) zdają się preferować użycie IIII zamiast IV na swoich monetach (patrz zdjęcie powyżej).
• przyrostki pokoleniowe, szczególnie w USA, dla osób noszących to samo imię przez pokolenia, na przykład William Howard Taft IV.
• we francuskim kalendarzu republikańskim, zapoczątkowanym podczas Rewolucji Francuskiej, lata były numerowane cyframi rzymskimi – od roku I (1792), kiedy ten kalendarz został wprowadzony, do roku XIV (1805), kiedy został porzucony.
• Rok produkcji filmów, programów telewizyjnych i innych dzieł sztuki w ramach samego dzieła. Zostało zasugerowane – przez BBC News, być może żartobliwie – że zostało to pierwotnie zrobione ” w próbie ukrycia wieku filmów lub programów telewizyjnych.”Poza odniesieniem do dzieła będą używane regularne cyfry hindusko-Arabskie.
• znaki godzinowe na czasomierzach. W tym kontekście 4 zapisuje się zwykle IIII.
• Rok budowy na ścianach budynków i kamieniach węgielnych.
• numeracja stron wstępów i wstępów książek, a czasem także załączników.
• tom książki i numery rozdziałów, a także kilka aktów w sztuce (np. Akt iii, scena 2).
• sequele niektórych filmów, gier wideo i innych dzieł (jak w Rocky II).
• kontury, które używają liczb do pokazywania relacji hierarchicznych.
• wystąpienia powtarzającego się wielkiego wydarzenia, na przykład:
  • letnie i Zimowe Igrzyska Olimpijskie (np. XXI Zimowe Igrzyska Olimpijskie; Igrzyska XXX Olimpiady)
  • Super Bowl, coroczny mecz o mistrzostwo National Football League (np. Super Bowl XXXVII; Super Bowl 50 jest jednorazowym wyjątkiem)
  • WrestleMania, coroczna impreza profesjonalnego wrestlingu dla WWE (np. WrestleMania XXX). To użycie również było niespójne.

1. http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Indian_numerals.html ↵
2. http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Al-Biruni.html ↵
3. http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Indian_numerals.html ↵
4. http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Indian_numerals.html ↵
5. Ibid. ↵
6. tamże. ↵
7. tamże. ↵
8. tamże. ↵
9. Katz, page 230 ↵
10. Burton, David M., History of Mathematics, An Introduction, p. 254-255 ↵
11. Katz, page 231. ↵