Magic Square

A magic square is a square array of numbers consisting of the distinct positive integers 1, 2, …, ułożone w taki sposób, że suma liczb w dowolnej poziomej, pionowej lub głównej linii ukośnej jest zawsze tą samą liczbą (Kraitchik 1942, str. 142; Andrews 1960, str. 1; Gardner 1961, str. 130; Madachy 1979, str. 84; Benson and Jacoby 1981, s. 3; ball and Coxeter 1987, s. 193), znana jako stała magiczna

jeśli każda liczba w magicznym kwadracie jest odejmowana od, otrzymuje się kolejny magiczny kwadrat zwany komplementarnym kwadratem magicznym. Kwadrat składający się z kolejnych liczb zaczynających się od 1 jest czasami znany jako „normalny” magiczny kwadrat.

unikalny normalny kwadrat trzeciego rzędu był znany starożytnym Chińczykom, którzy nazywali go Lo Shu. Wariant magicznego kwadratu rzędu 4 o numerach 15 i 14 w sąsiednich kolumnach Środkowych w dolnym rzędzie nazywany jest magicznym kwadratem Dürera. Magiczne kwadraty rzędu od 3 do 8 są pokazane powyżej.

magiczna stała dla TH order general magiczny kwadrat zaczynający się od liczby całkowitej I z wpisami w rosnącej serii arytmetycznej z różnicą między wyrażeniami jest

(hunter and madachy 1975).

nierozwiązanym problemem jest określenie liczby kwadratów magicznych dowolnego rzędu, ale liczby odrębnych kwadratów magicznych (z wyjątkiem tych uzyskanych przez obrót i odbicie) rzędu , 2, … are 1, 0, 1, 880, 275305224, … (OEIS A006052; Madachy 1979, s. 87). 880 kwadratów rzędu czterech zostało wyliczonych przez Frénicle de Bessy w 1693 roku i zilustrowanych w Berlekamp et al. (1982, s. 778-783). Liczba kwadratów magicznych została obliczona przez R. Schroeppela w 1973 roku. Liczba kwadratów nie jest znana, ale Pinn i Wieczerkowski (1998) oszacowali ją na używając symulacji Monte Carlo i metod z mechaniki statystycznej. Metody wyliczania kwadratów magicznych są omawiane przez Berlekamp et al. (1982) oraz na stronie MathPages.

kwadrat, który nie jest magiczny tylko dlatego, że jedna lub obie główne sumy przekątne nie są równe stałej magicznej, nazywa się kwadratem semimagicznym. Jeśli wszystkie przekątne (w tym te uzyskane przez owijanie) magicznej sumy kwadratu do magicznej stałej, kwadrat mówi się, że jest kwadratem panmagic (zwanym również kwadratem diabolicznym lub kwadratem pandiagonalnym). W przypadku zastąpienia każdej liczby jej kwadratem tworzy kolejny magiczny kwadrat, mówi się, że jest to kwadrat bimagiczny (lub podwójnie magiczny). Jeśli kwadrat jest magiczny dla I , nazywa się kwadrat trimagic (lub potrójnie magiczny kwadrat). Jeśli wszystkie pary liczb są symetrycznie przeciwstawne do sumy Środkowej , mówi się, że kwadrat jest asocjacyjnym kwadratem magicznym.

kwadraty, które są magiczne pod mnożeniem zamiast dodawania mogą być konstruowane i są znane jako magiczne kwadraty mnożenia. Dodatkowo można konstruować kwadraty, które są magiczne zarówno pod dodawaniem, jak i mnożeniem i są znane jako dodawanie-mnożenie magicznych kwadratów (Hunter i Madachy 1975).

Kraitchik (1942) podaje ogólne techniki konstruowania parzystych i nieparzystych kwadratów rzędu. W przypadku można zastosować bardzo prostą technikę znaną jako metoda syjamska, jak pokazano powyżej (Kraitchik 1942, str. 148-149). Zaczyna się od umieszczenia 1 w środkowym kwadracie górnego rzędu, a następnie stopniowo umieszczając kolejne numery w kwadracie o jedną jednostkę powyżej i po prawej stronie. Liczenie jest owinięte wokół, tak że spadając z góry powraca na dole, a spadając z prawej powraca na lewo. Gdy napotkasz kwadrat, który jest już wypełniony, następna liczba jest zamiast tego umieszczana poniżej poprzedniej i metoda kontynuuje jak poprzednio. Metoda, zwana również metodą de la Loubere ’ a, została po raz pierwszy zgłoszona na Zachodzie, gdy De La Loubere powrócił do Francji po służbie jako ambasador w Syjamie.

uogólnienie tej metody wykorzystuje „zwykły wektor”, który daje przesunięcie dla każdego ruchu bez kolizji i „Wektor przerwania”, który daje przesunięcie do wprowadzenia podczas kolizji. Standardowa Metoda syjamska ma więc zwykły wektor (1, I Wektor łamania (0, 1). Aby to dało magiczny kwadrat, każdy ruch przerwania musi skończyć się na niewypełnionej komórce. Specjalne klasy kwadratów magicznych można skonstruować, biorąc pod uwagę sumy bezwzględne I . Zbiór tych liczb nazywamy sumami (sumami i różnicami). Jeśli wszystkie sumdiffy są względnie pierwsze do I kwadrat jest kwadratem magicznym, to kwadrat jest również kwadratem panmagicznym. Teoria ta wywodzi się od de La Hire ’ a. W poniższej tabeli podano sumy dla poszczególnych wyborów wektorów zwykłych i łamanych.

druga metoda generowania magicznych kwadratów o nieparzystym porządku została omówiona przez J. H. Conwaya pod nazwą metody „lozenge”. Jak pokazano powyżej, w tej metodzie liczby nieparzyste są budowane wzdłuż ukośnych linii w kształcie rombu w centralnej części kwadratu. Liczby parzyste, które zostały pominięte, są następnie dodawane kolejno wzdłuż kontynuacji przekątnej uzyskanej przez owinięcie wokół kwadratu, aż owinięta przekątna osiągnie swój punkt początkowy. W powyższym kwadracie pierwsza przekątna wypełnia więc 1, 3, 5, 2, 4, Druga przekątna wypełnia 7, 9, 6, 8, 10, i tak dalej.

elegancką metodą konstruowania magicznych kwadratów o podwójnie parzystym porządku jest narysowanies przez każdy subsquare i wypełnienie wszystkich kwadratów w kolejności. Następnie zamień każdy wpis na przekątnej przekreślonej przez lub, równoważnie, Odwróć kolejność przekreślonych wpisów. Tak więc w powyższym przykładzie dla przekreślone liczby to pierwotnie 1, 4, …, 61, 64, więc wpis 1 zastępuje się 64, 4 z 61 itd.

bardzo elegancka metoda konstruowania magicznych kwadratów o pojedynczo parzystym porządku z (nie ma magicznego kwadratu rzędu 2) jest zasługą J. H. Conwaya, który nazywa ją metodą „LUX”. Utwórz tablicę składającą się z wierszy s, 1 wiersz nas i wierszy s, WSZYSTKICH o długości . Wymień środkowe U Z L nad nim. Teraz Wygeneruj magiczny kwadrat kolejności za pomocą metody syjamskiej wyśrodkowanej na tablicy liter (zaczynając od środkowego kwadratu górnego rzędu), ale wypełnij każdy zestaw czterech kwadratów otaczających literę kolejno zgodnie z kolejnością określoną przez literę. Kolejność ta zilustrowana jest po lewej stronie powyższego rysunku, zaś wypełniony kwadrat zilustrowany jest po prawej stronie. „Kształty” liter L, U I X naturalnie sugerują kolejność wypełniania, stąd nazwa algorytmu.

wariacje na temat magicznych kwadratów mogą być również konstruowane za pomocą liter (w definiowaniu kwadratu lub jako wpisy w nim), takich jak kwadrat alphamagic i magiczny kwadrat templariuszy.

z kwadratami magicznymi związane są również różne właściwości numerologiczne. Pivari kojarzy kwadraty przedstawione powyżej odpowiednio z Saturnem, Jowiszem, Marsem, słońcem, Wenus, Merkurym i Księżycem. Atrakcyjne wzory uzyskuje się poprzez łączenie kolejnych liczb w każdym z kwadratów (z wyjątkiem kwadratu magicznego słońca).