cele nauki
pod koniec tej sekcji będziesz mógł:
- opisać właściwą długość.
- Oblicz skurcz długości.
- wyjaśnij, dlaczego nie zauważamy tych efektów w codziennej skali.
Rysunek 1. Ludzie mogą inaczej opisywać odległości, ale przy relatywistycznych prędkościach odległości są naprawdę różne. (kredyt:
czy jeździłeś kiedyś po drodze, która wydaje się ciągnąć się wiecznie? Jeśli spojrzysz w przyszłość, możesz powiedzieć, że zostało Ci około 10 km do przejścia. Inny podróżnik może powiedzieć, że droga przed nami wygląda na około 15 km długości. Jeśli mierzycie drogę, zgodzicie się. Podróżując z codzienną prędkością, odległość, którą mierzycie, będzie taka sama. W tej sekcji przeczytasz jednak, że nie jest to prawdą przy prędkościach relatywistycznych. Zbliżone do prędkości światła odległości mierzone przez różnych obserwatorów nie są takie same.
właściwa Długość
jedna rzecz, na którą wszyscy obserwatorzy się zgadzają, to prędkość względna. Mimo że zegary mierzą różne czasy, które upłynęły dla tego samego procesu, nadal zgadzają się, że prędkość względna, która jest odległością podzieloną przez czas, jest taka sama. Oznacza to, że odległość również zależy od względnego ruchu obserwatora. Jeśli dwóch obserwatorów widzi różne czasy, to muszą również widzieć różne odległości, aby prędkość względna była taka sama dla każdego z nich.
mion omówiony w przykładzie 1 w Symultaniczności i dylatacji czasu ilustruje to pojęcie. Dla obserwatora na Ziemi, mion podróżuje w temperaturze 0,950 c przez 7,05 µs od czasu jego wytworzenia do rozpadu. W ten sposób przemierza odległość
L0 = vΔt = (0.950)(3.00 × 108 m/s)(7.05 × 10-6 s) = 2.01 km
w stosunku do ziemi. W układzie odniesienia mionu jego żywotność wynosi zaledwie 2,20 µs. Ma wystarczająco dużo czasu, aby podróżować tylko
L0 = vΔt0 = (0.950)(3.00 × 108 m/s)(2.20 × 10-6 s) = 0.627 km.
odległość między tymi samymi dwoma zdarzeniami (produkcja i rozpad mionu) zależy od tego, kto je mierzy i jak się do niego poruszają.
Długość właściwa
Długość właściwa L0 to odległość między dwoma punktami mierzona przez obserwatora, który jest w spoczynku względem obu punktów.
obserwator związany z ziemią mierzy właściwą długość L0, ponieważ punkty, w których powstaje mion i rozpada się, są nieruchome względem Ziemi. Do mionu porusza się ziemia, powietrze i chmury, a więc odległość L, którą widzi, nie jest odpowiednią długością.
Rysunek 2. (a) obserwator związany z ziemią widzi, że mion przemieszcza się 2,01 km między chmurami. (b) mion widzi, że podróżuje tą samą ścieżką, ale tylko na odległość 0,627 km. Ziemia, powietrze i chmury poruszają się względem mionu w jego ramie, a wszystkie wydają się mieć mniejsze długości wzdłuż kierunku podróży.
skurcz długości
aby opracować równanie dotyczące odległości mierzonych przez różnych obserwatorów, zauważamy, że prędkość względem obserwatora związanego z ziemią w naszym przykładzie mionu jest podana przez
v=\frac{L_0}{\Delta{T}}\\.
Czas względem obserwatora związanego z ziemią wynosi Δt, ponieważ obiekt w czasie porusza się względem tego obserwatora. Prędkość względem poruszającego się obserwatora jest określona przez
v=\frac{L}{\Delta{T}_0}\\.
poruszający się obserwator podróżuje z mionem i dlatego obserwuje właściwy czas Δt0. Obie prędkości są identyczne; tak więc
\frac{L_0}{\Delta{t}}=\frac{L}{\Delta{T}_0}\\.
wiemy, że Δt = γΔt0. Podstawienie tego równania do powyższej zależności daje
L=\frac{L_0}{\gamma}\\
Podstawienie γ daje równanie odnoszące się do odległości mierzonych przez różnych obserwatorów.
skurcz długości
skurcz długości L jest skróceniem zmierzonej długości obiektu poruszającego się względem ramki obserwatora.
\displaystyle{L}=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\\
jeśli mierzymy długość czegokolwiek poruszającego się względem naszej Ramki, to jej długość L jest mniejsza niż właściwa długość L0, która byłaby mierzona, gdyby obiekt był nieruchomy. Na przykład w ramce odniesienia mionu odległość między punktami, w których został wyprodukowany, a miejscami, w których się rozpadł, jest krótsza. Punkty te są stałe względem Ziemi, ale poruszają się względem mionu. Chmury i inne obiekty są również zakontraktowane wzdłuż kierunku ruchu w ramie odniesienia mionu.
przykład 1. Obliczanie skurczu długości: odległość między gwiazdami kurczy się podczas podróży z dużą prędkością
przypuśćmy, że astronauta, taki jak bliźniak omówiony w Symultaniczności i dylatacji czasu, podróżuje tak szybko, że γ = 30,00.
- podróżuje z ziemi do najbliższego układu gwiazd, Alfa Centauri, odległego o 4.300 lat świetlnych (ly), mierzonego przez obserwatora związanego z ziemią. Jak daleko od siebie dzieli się ziemia i Alfa Centauri mierzona przez astronautę?
- w sensie c, jaka jest jej prędkość względem Ziemi? Możesz zaniedbać ruch Ziemi w stosunku do Słońca. (Patrz Rysunek 3.)
Rysunek 3. a) obserwator związany z ziemią mierzy właściwą odległość między Ziemią a Alfa Centauri. (b) astronauta obserwuje kurczenie się długości, ponieważ ziemia i Alfa Centauri poruszają się względem jej statku. Może przebyć ten krótszy dystans w krótszym czasie (swoim właściwym czasie) bez przekraczania prędkości światła.
Strategia
pierwsza uwaga, że rok świetlny (Ly) jest wygodną jednostką odległości w skali Astronomicznej—jest to odległość, jaką pokonuje światło w ciągu roku. W części 1 Należy zauważyć, że odległość 4.300 ly między Alfa Centauri a Ziemią jest właściwą odległością L0, ponieważ jest mierzona przez obserwatora związanego z ziemią, dla którego obie gwiazdy są (w przybliżeniu) nieruchome. Dla astronauty Ziemia i Alfa Centauri poruszają się z tą samą prędkością, a więc odległość między nimi jest zakontraktowaną długością L. w części 2 otrzymujemy γ, a więc możemy znaleźć v, zmieniając definicję γ, aby wyrazić v w kategoriach c.
rozwiązanie dla części 1
Zidentyfikuj znane:
L0 − 4.300 ly; γ = 30.00
Zidentyfikuj nieznane: L
wybierz odpowiednie równanie:
L=\frac{L_0}{\gamma}\\.
Zmień równanie, aby rozwiązać nieznane.
\begin{array}{lll}L&&\frac{L_0}{\gamma}\\text{ }&&\frac{4.300\text{ ly}}{30.00}\\text{ }&&0.1433\text{ ly}\end{array}\\
rozwiązanie dla części 2
zidentyfikuj znane: γ = 30.00
zidentyfikuj nieznane: v in terms of c
Choose the appropriate equation.
\displaystyle\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\\
Rearrange the equation to solve for the unknown.
\begin{array}{lll}\gamma&&\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\\30.00&&\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\end{array}\\
Squaring both sides of the equation and rearranging terms gives
\displaystyle900.0=\frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}\\ tak, że 1-\frac{v^2}{c^2}=\frac{1}{900}\\ i \frac{v^2}{c^2}=1-\frac{1}{900.0}=0.99888\dots\\
biorąc pierwiastek kwadratowy, znajdujemy \frac{v}{c}=
dyskusja
najpierw pamiętaj, że nie powinieneś zaokrąglać obliczeń, dopóki nie uzyskasz końcowego wyniku, lub możesz uzyskać błędne wyniki. Jest to szczególnie prawdziwe w przypadku specjalnych obliczeń względności, gdzie różnice mogą być ujawnione tylko po kilku miejscach po przecinku. Efekt relatywistyczny jest tutaj duży (γ = 30.00) i widzimy, że v zbliża się (nie równa) prędkości światła. Ponieważ odległość mierzona przez astronautę jest o wiele mniejsza, astronauta może przemierzyć ją w znacznie krótszym czasie.
ludzie mogliby być wysyłani na bardzo duże odległości (tysiące, a nawet miliony lat świetlnych) i starzeć się tylko kilka lat po drodze, jeśli podróżowali z bardzo dużymi prędkościami. Ale, jak emigranci minionych stuleci, opuściliby ziemię, którą znają na zawsze. Nawet gdyby powrócili, tysiące do milionów lat minęłyby na ziemi, niszcząc większość tego, co teraz istnieje. Istnieje również poważniejsza praktyczna przeszkoda w podróżowaniu z takimi prędkościami; do osiągnięcia tak wysokich prędkości potrzebne byłyby znacznie większe Energie niż przewiduje fizyka klasyczna. Zostanie to omówione w Relatawistycznej energii.
Rysunek 4. Linie pola elektrycznego naładowanej cząstki o dużej prędkości są ściskane wzdłuż kierunku ruchu przez skurcz długości. To wytwarza inny sygnał, gdy cząstka przechodzi przez cewkę, eksperymentalnie zweryfikowany efekt skurczu długości.
Dlaczego w życiu codziennym nie zauważamy skurczu długości? Odległość do sklepu spożywczego nie wydaje się zależeć od tego, czy się przeprowadzamy, czy nie. Badając równanie L = L_0\sqrt{1-\frac{v^2} {c^2}}\\, widzimy, że przy niskich prędkościach (v<<c) długości są prawie równe, Klasyczne oczekiwanie. Ale skurcz długości jest realny, jeśli nie jest powszechnie doświadczany. Na przykład naładowana cząstka, podobnie jak elektron, poruszająca się z prędkością relatywistyczną, ma linie pola elektrycznego, które są ściśnięte wzdłuż kierunku ruchu widzianego przez stacjonarnego obserwatora. (Patrz Rysunek 4.) Gdy elektron przechodzi przez detektor, taki jak cewka drutu, jego pole oddziałuje znacznie krócej, efekt obserwowany w akceleratorach cząstek, takich jak 3-kilometrowy akcelerator liniowy Stanforda (SLAC). W rzeczywistości, do elektronu poruszającego się po rurze wiązki w SLAC, akcelerator i ziemia poruszają się i są długości skurczone. Efekt relatywistyczny jest tak wielki, że akcelerator ma tylko 0,5 m długości do elektronu. W rzeczywistości łatwiej jest dostać wiązkę elektronów w dół rury, ponieważ wiązka nie musi być tak precyzyjnie skierowana, aby dostać się w dół krótkiej rury, jak w dół o długości 3 km. Jest to również eksperymentalna weryfikacja szczególnej teorii względności.
Sprawdź swoje zrozumienie
cząstka podróżuje przez atmosferę ziemską z prędkością 0,750 c. do obserwatora związanego z ziemią, odległość, jaką przemierza, wynosi 2,50 km. Jak daleko porusza się cząstka w układzie odniesienia?
rozwiązanie
\displaystyle{L}=L_0\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}=\left(2.50\text{ km}\right)\sqrt{1-\frac{\left(0.750 c\right)^2}{c^2}}=1.65\text{ km}\\
podsumowanie sekcji
- wszyscy obserwatorzy zgadzają się co do prędkości względnej.
- odległość zależy od ruchu obserwatora. Długość właściwa L0 to odległość między dwoma punktami mierzona przez obserwatora w stanie spoczynku względem obu punktów. Ziemscy obserwatorzy mierzą odpowiednią długość podczas pomiaru odległości między dwoma punktami, które są nieruchome względem Ziemi.
- skurcz długości L jest skróceniem mierzonej długości obiektu poruszającego się względem ramki obserwatora:
l=l_{0}\sqrt{1-\frac{{v}^{2}}{{c}^{2}}}=\frac{{L}_{0}}{\gamma}\\.
pytania koncepcyjne
- komu obiekt wydaje się większy, obserwator poruszający się z obiektem czy obserwator poruszający się względem obiektu? Który obserwator mierzy właściwą długość obiektu?
- relatywistyczne efekty, takie jak dylatacja czasu i skurcz długości są obecne w samochodach i samolotach. Dlaczego te efekty wydają nam się dziwne?
- przypuśćmy, że astronauta porusza się względem Ziemi ze znaczną ułamkiem prędkości światła. (a) czy obserwuje Tempo swoich zegarów, aby spowolnić? b) jaką zmianę w tempie zegarów ziemskich widzi? (c)czy jego statek wydaje mu się skracać? (d) co z odległością między gwiazdami leżącymi na liniach równoległych do jego ruchu? (e) Czy on i ziemski obserwator zgadzają się co do jego prędkości względem Ziemi?
problemy& ćwiczenia
- statek kosmiczny o długości 200 m widziany na pokładzie porusza się po ziemi w temperaturze 0,970 c. jaka jest jego długość mierzona przez obserwatora związanego z ziemią?
- jak szybko musiałby przejechać obok ciebie sportowy samochód o długości 6,0 m, żeby miał tylko 5,5 m długości?
- (a) jak daleko mion w przykładzie 1 w Symultaniczności i dylatacji czasu podróżuje według ziemskiego obserwatora? (B) jak daleko podróżuje obserwowany przez poruszającego się z nim obserwatora? Oprzyj swoje obliczenia na jego prędkości w stosunku do ziemi i czasu, w którym żyje (właściwy czas). C) sprawdzić, czy te dwie odległości są powiązane poprzez skurcz długości γ = 3,20.
- (a)jak długo mion w przykładzie 1 w równoczesności i dylatacji czasu żyłby tak, jak obserwowany na ziemi, gdyby jego prędkość wynosiła 0,0500 c? (B) jak daleko by się posunęła jak obserwowana na Ziemi? c) jaka jest odległość w kadrze mionu?
- (a) ile czasu zajmuje astronaucie w przykładzie 1 przebycie 4,30 ly w temperaturze 0,99944 c (mierzonej przez obserwatora związanego z ziemią)? b) jak długo to trwa według astronauty? C) sprawdzić, czy te dwa razy są powiązane poprzez dylatację czasu z γ = 30,00, jak podano.
- (a) jak szybko musiałby biegać sportowiec na 100 m, aby wyglądać na 100 yd długo? (b) czy odpowiedź jest zgodna z faktem, że efekty relatywistyczne są trudne do zaobserwowania w zwykłych okolicznościach? Wyjaśnij.
- nierozsądne wyniki. A) znajdź wartość γ dla następującej sytuacji. Astronauta mierzy długość swojego statku kosmicznego na 25,0 m, podczas gdy obserwator związany z ziemią mierzy go na 100 m. (b) co jest nierozsądne w tym wyniku? C) jakie założenia są nierozsądne lub niespójne?
- nierozsądne wyniki. Statek kosmiczny zmierza bezpośrednio w kierunku Ziemi z prędkością 0,800 C. astronauta na pokładzie twierdzi, że może wysłać kanister w kierunku Ziemi w temperaturze 1,20 c w stosunku do ziemi. a) obliczyć prędkość, jaką kanister musi mieć w stosunku do statku kosmicznego. (b) co jest nierozsądne w tym wyniku? C) jakie założenia są nierozsądne lub niespójne?
Słowniczek
długość właściwa: L0; odległość między dwoma punktami mierzona przez obserwatora, który znajduje się w spoczynku względem obu punktów; obserwatorzy związani z ziemią mierzą właściwą długość podczas pomiaru odległości między dwoma punktami, które są nieruchome względem Ziemi
skurcz długości: L, skrócenie zmierzonej długości obiektu poruszającego się względem ramy obserwatora:
L=L_0\sqrt{1-\frac{{v}^{2}}{{C}^{2}}}=\frac{{L}_{0}}{\gamma}\\
wybrane rozwiązania problemów & ćwiczenia
1. 48,6 m
3. a) 1,387 km = 1,39 km; B) 0.433 km; (c) \begin{array}{lllll}L&&\frac{{L}_{0}}{\gamma }&&\frac{1.387\times{10}^{3}\text{m}}{3.20}\\\text{ }&&433.4\text{ m}&&\text{0.433 km}\end{array}\\
Thus, the distances in parts (a) and (b) are related when γ = 3.20.
5. (a) 4.303 y (to four digits to show any effect); (b) 0.1434 y; (c)\Delta{T}=\gamma\Delta{T}_{0}\Rightarrow\gamma=\frac {\Delta{T}} {\Delta{T}_{0}}=\frac{4.303\text{ y}}{0.1434{ y}}=30.0\ \
tak więc dwa razy są powiązane, gdy γ = 30.00.
7. (a) 0,250; (b) γ musi być ≥ 1; (c) obserwator związany z ziemią musi mierzyć krótszą długość, więc nierozsądne jest zakładanie dłuższej długości.