funkcja odnosi wejście do wyjścia.
 |
To jest jak maszyna, która ma wejście i wyjście. i wyjście jest jakoś powiązane z wejściem. |
| f(x) |
„f(x) = .. „jest klasycznym sposobem pisania funkcji. |
wejście, relacja, wyjście
zobaczymy wiele sposobów myślenia o funkcjach, ale zawsze są trzy główne części:
- wejście
- relacja
- wyjście
przykład: „pomnóż przez 2” jest bardzo prostą funkcją.
oto trzy części:
| Input | Relationship | Output |
|---|---|---|
| 0 | × 2 | 0 |
| 1 | × 2 | 2 |
| 7 | × 2 | 14 |
| 10 | × 2 | 20 |
| … | … | … |
For an input of 50, what is the output?
kilka przykładów funkcji
- x2 (kwadrat) jest funkcją
- x3+1 jest również funkcją
- Sinus, Cosinus i tangens są funkcjami używanymi w trygonometrii
- i jest ich o wiele więcej!
ale nie będziemy patrzeć na konkretne funkcje …
… zamiast tego przyjrzymy się ogólnej idei funkcji.
nazwy
Po pierwsze, przydatne jest nadanie funkcji nazwy.
najczęstszą nazwą jest „f”, ale możemy mieć inne nazwy, takie jak „g” … albo nawet „Marmolada”, jeśli chcemy.
ale użyjmy „f”:
mówimy „f od x równa się X do kwadratu”
to, co idzie do funkcji, jest umieszczane w nawiasach () po nazwie funkcji:
więc F(x) pokazuje nam funkcję nazywa się „f”, A „x” wchodzi
i zwykle widzimy, co funkcja robi z wejście:
F(X) = X2 pokazuje nam, że funkcja „f” bierze „x” i kwadraty go.
przykład: z f(x) = x2:
- wejście 4
- staje się wyjściem 16.
w rzeczywistości możemy napisać f(4) = 16.
The „x” is Just a Place-Holder!
nie przejmuj się zbytnio „x”, jest po to, aby pokazać nam, gdzie idzie wejście i co się z nim dzieje.
To może być cokolwiek!
więc ta funkcja:
f(x) = 1 – x + X2
jest tą samą funkcją co:
- F(q) = 1 – q + q2
- h(A) = 1 – A + A2
- w(θ) = 1 – θ + θ2
zmienna (x, q, A, itp.) jest tylko tam, żebyśmy wiedzieli, gdzie umieścić wartości:
f(2) = 1 – 2 + 22 = 3
czasami nie ma nazwy funkcji
czasami funkcja nie ma nazwy i widzimy coś takiego:
y = x2
ale jest jeszcze:
- wejście (x)
- relacja (kwadrat)
- i wyjście (y)
odnoszące się
na górze powiedzieliśmy, że funkcja jest jak maszyna. Ale funkcja tak naprawdę nie ma pasów, trybików ani żadnych ruchomych części – i tak naprawdę nie niszczy tego, co w nią włożyliśmy!
funkcja odnosi wejście do wyjścia.
powiedzenie „f(4) = 16” jest jak powiedzenie, że 4 jest w jakiś sposób związane z 16. Or 4 → 16
przykład: to drzewo rośnie 20 cm każdego roku, więc wysokość drzewa jest powiązana z jego wiekiem za pomocą funkcji h:
h(age) = age × 20
tak więc, jeśli wiek wynosi 10 lat, wysokość wynosi:
h(10) = 10 × 20 = 200 cm
oto kilka przykładowych wartości:
| wiek | h(age) = wiek × 20 |
|---|---|
| 0 | |
| 1 | 20 |
| 3.2 | 64 |
| 15 | 300 |
| … | … |
What Types of Things Do Functions Process?
„Numbers” seems an obvious answer, but …
 |
… which numbers? For example, the tree-height function h(age) = age×20 makes no sense for an age less than zero. |
 |
… mogą to być również litery („A” → „B”) lub kody identyfikacyjne („A6309″→” Przełęcz”) lub dziwniejsze rzeczy. |
potrzebujemy więc czegoś mocniejszego, a to jest miejsce, w którym pojawiają się zestawy:
 |
Zestaw to zbiór rzeczy.oto kilka przykładów:
|
każda pojedyncza rzecz w zestawie (np.
funkcja pobiera elementy zbioru i oddaje elementy zbioru.
funkcja jest specjalna
ale funkcja ma specjalne reguły:
- musi działać dla każdej możliwej wartości wejściowej
- i ma tylko jedną relację dla każdej wartości wejściowej
można to powiedzieć w jednej definicji:
Formalna Definicja funkcji
funkcja łączy każdy element zbioru
z dokładnie jednym elementem innego zestawu
(być może tym samym zestawem).
dwie ważne rzeczy!
|
„…każdy element…”oznacza, że każdy element w X jest związany z jakimś elementem w Y. mówimy, że funkcja obejmuje X (odnosi się do każdego elementu). (ale niektóre elementy Y mogą nie być w ogóle powiązane, co jest w porządku.) |
|
„…dokładnie jeden…”oznacza, że funkcja jest jednowartościowa. Nie zwróci 2 lub więcej wyników dla tego samego wejścia. więc „f(2) = 7 lub 9” nie jest w porządku! |
|
„jeden do wielu” nie jest dozwolone, ale” wiele do jednego ” jest dozwolone: |
||
|
||
| (jeden do wielu) | (wiele do jednego) | |
| to nie jest OK w funkcji | ale to jest OK w funkcji | |
gdy relacja nie spełnia tych dwóch zasad, więc nie jest funkcją … to nadal związek, ale nie Funkcja.
przykład: The relationship x → x2
Could also be written as a table:
| X: x | Y: x2 |
|---|---|
| 3 | 9 |
| 1 | 1 |
| 0 | 0 |
| 4 | 16 |
| -4 | 16 |
| … | … |
It is a function, because:
- każdy element w X jest związany z Y
- żaden element w X nie ma dwóch lub więcej relacji
więc postępuje zgodnie z regułami.
(zauważ, że zarówno 4, jak i -4 odnoszą się do 16, co jest dozwolone.)
przykład: ta relacja nie jest funkcją:
jest to relacja, ale nie jest funkcją, z tych powodów:
- wartość „3” W X nie ma relacji W Y
- wartość „4” W X nie ma relacji W y
- wartość „5” jest związana z więcej niż jedną wartością w Y
(ale fakt, że „6” W y nie ma relacji, nie ma znaczenia)
Test pionowej linii
na wykresie idea pojedynczej wartości oznacza, że żadna pionowa linia nigdy nie przekracza więcej niż jednej wartości.
jeśli przekroczy więcej niż jeden raz, to nadal jest poprawną krzywą, ale nie jest funkcją.
niektóre typy funkcji mają bardziej rygorystyczne reguły, aby dowiedzieć się więcej możesz przeczytać Injective, Surjective i Bijective
nieskończenie wiele
moje przykłady mają tylko kilka wartości, ale funkcje zwykle działają na zbiorach z nieskończenie wieloma elementami.
przykład: y = x3
- zestaw wejściowy „X” to wszystkie liczby rzeczywiste
- zestaw wyjściowy „Y” to również wszystkie liczby rzeczywiste
nie możemy pokazać wszystkich wartości, więc oto kilka przykładów:
| x: x | y: x3 |
|---|---|
| -2 | -8 |
| -0.1 | -0.001 |
| 0 | 0 |
| 1.1 | 1.331 |
| 3 | 27 |
| and so on… | and so on… |
domena, Kodomena i zakres
w naszych przykładach powyżej
- zestaw „X” nazywa się domeną,
- zestaw „Y” nazywa się Kodomeną, a
- zestaw elementów, które zostaną skierowane w Y (rzeczywiste wartości wytwarzane przez funkcję) nazywa się zakres.
mamy specjalną stronę o domenie, zasięgu i Kodomenie, jeśli chcesz wiedzieć więcej.
tyle nazwisk!
funkcje są używane w matematyce od bardzo dawna i powstało wiele różnych nazw i sposobów zapisu funkcji.
oto kilka popularnych terminów, z którymi powinieneś się zapoznać:
przykład: z = 2U3:
- „u” można nazwać „zmienną niezależną”
- „z” można nazwać „zmienną zależną” (zależy od wartości u)
przykład: f(4) = 16:
- „4” można nazwać „argumentem”
- „16” można nazwać „wartością funkcji”
przykład: h(year) = 20 × year:
- h() jest funkcją
- „rok” można nazwać „argumentem” lub „zmienną”
- stałą wartość, taką jak „20”, można nazwać parametrem
często nazywamy funkcję „f(x)”, gdy w rzeczywistości funkcja jest naprawdę „f”
uporządkowane pary
i oto inny sposób myślenia o funkcjach:
napisz wejście i wyjście funkcji jako „uporządkowana para”, na przykład (4,16).
nazywane są parami uporządkowanymi, ponieważ wejście zawsze jest pierwsze, a wyjście drugie:
(Wejście, Wyjście)
wygląda to tak:
( x, f(x) )
przykład:
(4,16) oznacza, że funkcja przyjmuje „4” i daje „16”
zbiór uporządkowanych par
funkcja może być zdefiniowana jako zbiór uporządkowanych par:
przykład: {(2,4), (3,5), (7,3)} jest funkcją, która mówi
„2 jest związane z 4”, „3 jest związane z 5” i „7 jest związane z 3”.
zauważ również, że:
- domena to {2,3,7} (wartości wejściowe)
- i zakres to {4,5,3} (wartości wyjściowe)
ale funkcja musi być jednowartościowa, więc mówimy również
„Jeśli zawiera (A, b) I (A, c), to b musi być równe c”
Co jest po prostu sposobem na powiedzenie, że wejście „a” nie może przynieść dwóch różnych rezultatów.
przykład: {(2,4), (2,5), (7,3)} nie jest funkcją, ponieważ {2,4} i {2,5} oznacza, że 2 może być powiązane z 4 lub 5.
innymi słowy nie jest to funkcja, ponieważ nie jest jednowartościowa
korzyść z uporządkowanych par
możemy je wykreślić…
… bo to też współrzędne!
więc zbiór współrzędnych jest również funkcją (jeśli są zgodne z powyższymi regułami, to znaczy)
funkcja może być w kawałkach
możemy stworzyć funkcje, które zachowują się inaczej w zależności od wartości wejściowej
przykład: funkcja z dwoma kawałkami:
- when x is less than 0, it gives 5,
- when x is 0 or more it gives x2
 |
Here are some example values:
|
Czytaj więcej na stronie.
Explicit vs Implicit
ostatni temat: terminy „explicit” i „implicit”.
jawne jest, gdy funkcja pokazuje nam, jak przejść bezpośrednio z x do y, na przykład:
y = x3 − 3
kiedy znamy x, możemy znaleźć y
, który jest klasycznym stylem y = f(x), z którym często pracujemy.
Implicit jest wtedy, gdy nie jest podany bezpośrednio, np.:
x2 − 3XY + y3 = 0
gdy znamy x, jak znajdujemy y?
To może być trudne (lub niemożliwe!), aby przejść bezpośrednio z x do y.
„Implicit” pochodzi od „implicit”, innymi słowy pokazany pośrednio.
Graphing
- Grapher funkcji może obsługiwać tylko funkcje jawne,
- Grapher równań może obsługiwać oba typy (ale zajmuje to trochę dłużej, a czasami się myli).
wniosek
- funkcja odnosi wejścia do wyjść
- funkcja pobiera elementy ze zbioru (domeny) i odnosi je do elementów w zbiorze (kodomeny).
- wszystkie wyjścia (rzeczywiste wartości odnoszące się do) są łącznie nazywane zakresem
- funkcja jest szczególnym rodzajem relacji, w której:
- każdy element w domenie jest włączony, a
- każde wejście daje tylko jedno wyjście (nie to lub inne)
- wejście i odpowiadające mu wyjście są razem nazywane uporządkowaną parą
- więc funkcję można również traktować jako zestaw uporządkowanych par
ul>