Algebra bezgraniczna

szybkość zmian

funkcje liniowe mają zastosowanie do rzeczywistych problemów związanych ze stałą prędkością.

szybkość zmian

równania liniowe często zawierają szybkość zmian. Na przykład szybkość, z jaką zmienia się odległość w czasie, nazywana jest prędkością. Jeśli znane są dwa punkty w czasie i całkowita przebyta odległość, można określić szybkość zmiany, znaną również jako nachylenie. Na podstawie tych informacji można zapisać równanie liniowe, a następnie z równania linii można wykonać przewidywania.

Jeśli jednostka lub ilość, w odniesieniu do której coś się zmienia, nie jest określona, Zwykle stawka jest za jednostkę czasu. Najczęstszym rodzajem szybkości jest „na jednostkę czasu”, takie jak prędkość, tętno i strumień. Wskaźniki, które mają nieokreślony mianownik, obejmują kursy wymiany, kursy czytania i pisania oraz pole elektryczne (w woltach/metr).

opisując jednostki szybkości, słowo „per” jest używane do oddzielenia jednostek dwóch pomiarów używanych do obliczenia szybkości (na przykład tętno jest wyrażone „uderzeń na minutę”).

: Zastosowanie w świecie rzeczywistym

sportowiec rozpoczyna normalne ćwiczenia do następnego maratonu w godzinach wieczornych. O 18: 00 zaczyna biec i wychodzi z domu. O 19:30 zawodnik kończy bieg u siebie i przebiega łącznie 7,5 mil. Jak szybka była jego średnia prędkość w trakcie biegu?

szybkość zmiany to szybkość jego biegu; odległość w czasie. Dlatego dwie zmienne to czas (x) i odległość (y). Pierwszy punkt jest w jego domu, gdzie jego zegarek odczytał 18: 00. To jest czas początkowy, więc ustawmy go na 0. Więc naszym pierwszym punktem jest (0,0), ponieważ nigdzie jeszcze nie biegł. Pomyślmy o naszym czasie w godzinach. Drugi punkt jest 1,5 godziny później, a my przejechaliśmy 7,5 mil. Drugi punkt to (1.5, 7.5). Nasza prędkość (szybkość zmiany) jest po prostu nachyleniem linii łączącej dwa punkty. Nachylenie, podane przez: m = \ frac{y_{2} – y_{1}} {x_{2} – x_{1}} staje się m = \frac{7.5}{1.5}=5 mil na godzinę.

przykład: narysuj linię ilustrującą prędkość

aby narysować tę linię, potrzebujemy punktu przecięcia osi y i nachylenia, aby zapisać równanie. Nachylenie wynosiło 5 mil na godzinę, a ponieważ punkt początkowy znajdował się w punkcie (0,0), punkt przecięcia osi y wynosi 0. Więc naszą ostatnią funkcją jest Y=5x.

Dzięki tej nowej funkcji możemy teraz odpowiedzieć na kilka pytań.

• ile kilometrów przebiegł po pierwszym półgodzinie? Używając równania, jeśli x=\frac{1}{2}, rozwiąż y. Jeśli y = 5x, to y = 5 (0,5)=2,5 mili.
• gdyby biegał w tym samym tempie przez 3 godziny, to ile kilometrów by przebiegł? Jeśli x=3, rozwiąż dla y. Jeśli y = 5x, to y = 5 (3)=15 mil.

istnieje wiele takich zastosowań równań liniowych. Wszystko, co wiąże się ze stałym tempem zmian, może być ładnie przedstawione za pomocą linii z nachyleniem. W rzeczy samej, jeśli masz tylko dwa punkty, jeśli wiesz, że funkcja jest liniowa, możesz ją narysować i zacząć zadawać pytania! Po prostu upewnij się, że to, o co pytasz, ma sens. Na przykład w przypadku maratonu domena jest naprawdę tylko x \ geq0, ponieważ nie ma sensu wchodzić w negatywny czas i tracić Mil!

liniowe modele matematyczne

liniowe modele matematyczne opisują zastosowania świata rzeczywistego z liniami.

modele matematyczne

model matematyczny jest opisem systemu za pomocą pojęć matematycznych i języka. Modele matematyczne są wykorzystywane nie tylko w naukach przyrodniczych i inżynierskich, ale także w naukach społecznych. Modelowanie liniowe może obejmować zmianę populacji, opłaty za rozmowy telefoniczne, koszt wypożyczenia roweru, zarządzanie wagą lub zbieranie funduszy. Model liniowy obejmuje szybkość zmiany (m)i początkową kwotę, punkt przecięcia osi y b. Po napisaniu modelu i sporządzeniu wykresu linii można użyć jednego z nich do przewidywania zachowań.

rzeczywisty model liniowy

wiele codziennych czynności wymaga użycia modeli matematycznych, być może nieświadomie. Jedną z trudności z modelami matematycznymi jest przełożenie aplikacji świata rzeczywistego na dokładną reprezentację matematyczną.

przykład: wynajem przeprowadzki

firma wynajmująca pobiera stałą opłatę w wysokości 30 USD i dodatkowe 0,25 USD za milę za wynajem przeprowadzki. Napisz równanie liniowe w celu przybliżenia kosztu y (w dolarach) w kategoriach x, liczba przejechanych Mil. Ile kosztowałaby podróż na 75 mil?

korzystając z wzoru liniowego, z całkowitym kosztem oznaczonym y (zmienna zależna) i milami oznaczonymi x (zmienna niezależna):

\displaystyle y=mx+b

całkowity koszt jest równy stawce za milę razy liczba przejechanych Mil plus koszt opłaty zryczałtowanej:

\displaystyle y=0,25 x+30

aby obliczyć koszt przejazdu 75 mil, zastąp 75 dla X w równaniu:

\displaystyle \begin{align} y& =0.25 x + 30\\ &&&=48.75 \end{align}

model życia z wieloma równaniami

możliwe jest również modelowanie wielu linii i ich równań.

przykład

początkowo pociągi A i B są oddalone od siebie o 325 Mil. Pociąg A jedzie w kierunku B z prędkością 50 mil na godzinę, a pociąg B jedzie w kierunku a z prędkością 80 mil na godzinę. O której godzinie spotkają się dwa pociągi? Jak daleko w tym czasie przejechały pociągi?

najpierw zacznij od pozycji startowych pociągów, (y-Przechwyty, b). Starty pociągu A to początek, (0,0). Ponieważ pociąg B jest początkowo oddalony o 325 mil od pociągu a, jego pozycja wynosi (0,325).

Po drugie, aby zapisać równania reprezentujące całkowitą odległość każdego pociągu pod względem czasu, Oblicz szybkość zmian dla każdego pociągu. Ponieważ pociąg a jedzie w kierunku pociągu B, który ma większą wartość y, szybkość zmiany pociągu a musi być dodatnia i równa jego prędkości 50. Pociąg B jedzie w kierunku A, który ma mniejszą wartość y, dając B ujemną szybkość zmiany: -80.

dwie linie są tak:

\displaystyle y_A=50x\\

I:

\displaystyle y_B=−80x+325

dwa pociągi spotkają się tam, gdzie przecinają się dwie linie. Aby znaleźć miejsce, gdzie przecinają się dwie linie, Ustaw równania równe sobie i rozwiąż dla x:

\displaystyle y_{a}=y_{B}

\displaystyle 50x=-80x+325

rozwiązanie dla x daje:

\displaystyle x=2.5

dwa pociągi spotykają się po 2.5 godzinach. Aby dowiedzieć się, gdzie to jest, Podłącz 2.5 do każdego równania.

wpięcie go do pierwszego równania daje nam 50(2.5)=125, co oznacza, że spełnia się po przejechaniu 125 mil.

oto model graficzny odległości w stosunku do czasu dwóch pociągów:

dopasowanie krzywej

dopasowanie krzywej z linią próbuje narysować linię tak, aby „najlepiej pasowała” do wszystkich danych.

dopasowanie krzywej

dopasowanie krzywej to proces konstruowania krzywej lub funkcji matematycznej, która ma najlepsze dopasowanie do szeregu punktów danych, prawdopodobnie z zastrzeżeniem ograniczeń. Dopasowanie krzywej może obejmować interpolację, w której wymagane jest dokładne dopasowanie do danych, lub wygładzanie, w którym skonstruowana jest funkcja „gładka”, która w przybliżeniu pasuje do danych. Dopasowane krzywe mogą być używane jako pomoc w wizualizacji danych, do wnioskowania wartości funkcji, w której nie są dostępne dane, oraz do podsumowania relacji między dwiema lub więcej zmiennymi. Ekstrapolacja odnosi się do zastosowania dopasowanej krzywej wykraczającej poza zakres obserwowanych danych i podlega większemu stopniowi niepewności, ponieważ może odzwierciedlać metodę zastosowaną do skonstruowania krzywej w takim samym stopniu, w jakim odzwierciedla ona obserwowane dane.

w tej sekcji będziemy tylko dopasowywać linie do punktów danych, ale należy zauważyć, że można dopasować funkcje wielomianowe, okręgi, funkcje kawałek-wise i dowolną liczbę funkcji do danych i jest to mocno używany temat w statystykach.

formuła regresji liniowej

regresja liniowa jest podejściem do modelowania liniowej zależności między zmienną zależną, y i zmienną niezależną, x. z regresji liniowej, linia w postaci nachylenia-intercept, y=mx+b znajduje się, że „najlepiej pasuje” do danych.

najprostszym i chyba najbardziej powszechnym modelem regresji liniowej jest zwykłe przybliżenie najmniejszych kwadratów. Przybliżenie to stara się zminimalizować sumy kwadratowej odległości między linią A każdym punktem.

\ displaystyle m=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}\sum_{j=1}^{n}y_{j}}{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}^{2})-\frac{1}{n}(\sum_{i=1}^{n}x_{i})^{2}}

aby znaleźć nachylenie linii najlepszego dopasowania, Oblicz w następujących krokach:

1. sumę iloczynu współrzędnych X i y \sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}.
2. suma współrzędnych x \sum_{i=1}^{n}x_{i}.
3. suma współrzędnych y \sum_{j=1}^{n}y_{j}.
4. suma kwadratów współrzędnych x \sum_{i=1}^{n}(x_{i}^{2}).
5. suma współrzędnych X do kwadratu (\sum_{i=1}^{n}x_{i})^{2}.
6. iloraz licznika i mianownika.

\displaystyle \begin{align} b&= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_{1} – m \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{N} x_{i} \\ &= \left (\bar{y} – m \bar{x} \right) \end{align}

aby znaleźć punkt przecięcia osi Y (B), Oblicz za pomocą następujących kroków:

1. średnią współrzędnych y. Niech \bar{y}, wymawiane y-bar, reprezentuje średnią (lub średnią) wartość Y wszystkich punktów danych: \bar y = \ frac{1}{n} \ sum_ {i = 1}^{n} y_{i}.
2. średnia współrzędnych x. Odpowiednio \bar{x}, wymawiane X-bar, jest średnią (lub średnią) wartością x wszystkich punktów danych: \bar x=\frac{1}{n} \ sum_ {i = 1}^{n} x_{i}.
3. Zamień wartości na wzór powyżej b=\bar{y} – m \bar{x}.

korzystając z tych wartości m I b mamy teraz linię, która przybliża punkty na wykresie.

przykład: napisz najmniej kwadratową linię, a następnie wykresuj linię, która najlepiej pasuje do danych

Dla n = 8 punktów: (-1,0),(0,0),(1,1),(2,2),(3,1),(4,2.5),(5,3) oraz (6,4).

najpierw znajdź nachylenie (m) i punkt przecięcia osi y (b), które najlepiej przybliżą te dane, używając równań z poprzedniej sekcji:

aby znaleźć nachylenie, Oblicz:

1. sumę iloczynu współrzędnych X i y \sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}.
2. suma współrzędnych x \sum_{i=1}^{n}x_{i}.
3. suma współrzędnych y \sum_{i=1}^{n}y_{i}.

\displaystyle \begin{align} \sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}&&=57 \end{align} \displaystyle \begin{align} \sum_{i=1}^{n}x_{i}&&=20 \end{align}\displaystyle \begin{align} \sum_{i=1}^{n}y_{i}&&=13.5 \end{align}

\ displaystyle m=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}\sum_{j=1}^{n}y_{j}}{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}^{2})-\frac{1}{n}(\sum_{i=1}^{n}x_{i})^{2}}

4. Oblicz licznik: iloczyn współrzędnych X
I y
minus jedna ósma iloczyn sumy współrzędnych X i sumy współrzędnych y:

\displaystyle \sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}\sum_{j=1}^{n}y_{j}

licznik w równaniu nachylenia wynosi:

\displaystyle 57-\frac{1}{8}(20)(13.5)=23.25

5. Oblicz mianownik:
suma kwadratów współrzędnych x minus jedna ósma suma współrzędnych X do kwadratu:

\displaystyle \sum_{i=1}^{n}(x_{i}^{2})-\frac{1}{n}(\sum_{i=1}^{n}x_{i})^{2}

\displaystyle \begin{align} \sum_{i=1}^{n}(x_{i}^{2})&& = 92 \ end{align}

mianownik to 92 – \frac{1}{8}(20)^{2}=92-50=42 a nachylenie jest ilorazem licznika i mianownika: \frac{23.25}{42} \ approx0. 554.

teraz dla punktu przecięcia osi y, (b) 1/8 razy średnia współrzędnych x: \bar{x}=\frac{20}{8}=2.5 i 1/8 razy średnia współrzędnych y: \ bar{y}= \ frac{13,5}{8}=1,6875.

dlatego B = \frac{1}{n} \ sum_ {i = 1}^{n} y_{1} – m \frac{1} {n} \ sum_{i = 1}^{n} x_{i} \\:

\displaystyle B\approx1.6875-0.554(2.5)=0.3025.

nasze końcowe równanie to y = 0,554 x + 0,3025, a ta linia jest wykreślona wraz z punktami.

wartości odstające i najmniejsza regresja kwadratowa

Jeśli mamy punkt, który jest daleko od linii przybliżającej, to przekrzywi wyniki i znacznie pogorszy linię. Na przykład, powiedzmy w naszym oryginalnym przykładzie, zamiast punktu (-1,0) mamy (-1,6).

korzystając z tych samych obliczeń co powyżej z nowym punktem, wyniki wynoszą: m\approx0.0536 i B \ approx2.3035, aby uzyskać nowe równanie y=0,0536 x+2,3035.

patrząc na punkty i linię na nowym rysunku poniżej, ta nowa linia nie pasuje do danych dobrze, ze względu na odstający (-1,6). Rzeczywiście, próba dopasowania modeli liniowych do danych, które są kwadratowe, sześcienne lub cokolwiek nieliniowego, lub danych z wieloma wartościami odstającymi lub błędami może skutkować złymi przybliżeniami.