istnieje specjalny typ systemu, który wymaga dodatkowych badań. Ten typ układu nazywa się jednorodnym układem równań, który zdefiniowaliśmy powyżej w definicji . W tej sekcji skupiamy się na rozważeniu, jakie typy rozwiązań są możliwe dla jednorodnego układu równań.
rozważmy następującą definicję.
Definition \(\PageIndex{1}\): Rozwiązanie trywialne
rozważmy jednorodny układ równań dany przez \ Then, \(x_{1} = 0, x_{2} = 0, \ cdots, x_{N} = 0\) jest zawsze rozwiązaniem tego układu. Nazywamy to trywialnym rozwiązaniem .
Jeśli system ma rozwiązanie, w którym nie wszystkie \(x_1, \cdots, x_n\) są równe zeru, to nazywamy to rozwiązanie nietrywialnym . Trywialne rozwiązanie nie mówi nam wiele o systemie, ponieważ mówi, że \(0=0\)! Dlatego pracując z jednorodnymi układami równań chcemy wiedzieć, kiedy układ ma rozwiązanie nietrywialne.
Załóżmy, że mamy jednorodny układ równań \(m\), używając zmiennych \(n\) i załóżmy, że \(n > m\). Innymi słowy, jest więcej zmiennych niż równań. Potem okazuje się, że ten system zawsze ma nietrywialne rozwiązanie. Nie tylko system będzie miał nietrywialne rozwiązanie, ale będzie też miał nieskończenie wiele rozwiązań. Jest również możliwe, ale nie wymagane, aby mieć rozwiązanie nietrywialne, jeśli \(N = m\) I \(n< m\).
rozważ następujący przykład.
przykład \(\PageIndex{1}\): Rozwiązania jednorodnego układu równań
Znajdź nietrywialne rozwiązania następującego jednorodnego układu równań \
rozwiązanie
zauważ, że ten układ ma równania \(m = 2\) i zmienne \(N = 3\), więc \(n> m\). Dlatego w naszej poprzedniej dyskusji oczekujemy, że system ten będzie miał nieskończenie wiele rozwiązań.
proces, którego używamy do znalezienia rozwiązań dla jednorodnego układu równań, jest tym samym procesem, którego użyliśmy w poprzedniej sekcji. Najpierw konstruujemy macierz rozszerzoną, podaną przez\\] następnie przenosimy tę macierz do jej , podanej poniżej. \\ ] Odpowiedni układ równań to \ ponieważ \(z\) nie jest ograniczony żadnym równaniem, wiemy, że ta zmienna stanie się naszym parametrem. Let \(z=t\) gdzie \(T\) jest dowolną liczbą. Dlatego nasze rozwiązanie ma postać \ stąd ten system ma nieskończenie wiele rozwiązań, z jednym parametrem \(t\).
Załóżmy, że mamy napisać rozwiązanie do poprzedniego przykładu w innej formie. W szczególności \ można zapisać jako \ = \ left + t \ left\] zauważ, że skonstruowaliśmy kolumnę ze stałych w rozwiązaniu (wszystkie równe \(0\)), a także kolumnę odpowiadającą współczynnikom na \(t\) w każdym równaniu. Chociaż tę formę rozwiązania omówimy bardziej w dalszych rozdziałach, na razie rozważmy kolumnę współczynników parametru \(t\). W tym przypadku jest to kolumna \(\left\).
istnieje specjalna nazwa dla tej kolumny, która jest podstawowym rozwiązaniem. Podstawowymi rozwiązaniami systemu są kolumny zbudowane ze współczynników na parametrach w roztworze. Często podstawowe rozwiązania oznaczamy \(X_1, X_2\) itd., w zależności od tego, ile rozwiązań występuje. Dlatego przykład ma podstawowe rozwiązanie \(X_1 = \left\).
badamy to dalej w poniższym przykładzie.
przykład \(\PageIndex{1}\): Podstawowe rozwiązania układu jednorodnego
rozważają następujący układ równań jednorodnych. \ Znajdź podstawowe rozwiązania tego systemu .
rozwiązanie
macierz Rozszerzona tego układu i jej wynik to \ \rightarrow \cdots \rightarrow \left\] zapisany w równaniach, układ ten otrzymuje się za pomocą \ zauważ, że tylko \(x\) odpowiada kolumnie przestawnej. W tym przypadku będziemy mieli dwa parametry, jeden dla \(y\) i jeden dla \(z\). Niech \(y = s\) i \(z=t\) dla dowolnych liczb \(s\) I \(T\). Następnie naszym rozwiązaniem staje się \ , które można zapisać jako \ = \ left + s \left + t \ left\] widać tutaj, że mamy dwie kolumny współczynników odpowiadających parametrom, w szczególności jedną dla \(s\) I jedną dla \(t\). Dlatego system ten posiada dwa podstawowe rozwiązania! Są to\, X_2 = \ left\]
przedstawiamy teraz nową definicję.
definicja \(\PageIndex{1}\): kombinacja liniowa
niech \(X_1,\cdots ,X_n,V\) będą macierzami kolumnowymi. Wtedy \(V\) mówi się, że jest liniową kombinacją kolumn \(X_1,\cdots, X_n\) jeśli istnieją Skalary, \(a_{1},\cdots, a_{n}\) takie, że \
niezwykłym wynikiem tej sekcji jest to, że liniowa kombinacja podstawowych rozwiązań jest ponownie rozwiązaniem systemu. Jeszcze bardziej niezwykłe jest to, że każde rozwiązanie można zapisać jako liniową kombinację tych rozwiązań. Zatem, jeśli weźmiemy liniową kombinację tych dwóch rozwiązań jako przykład, to również będzie to rozwiązanie. Na przykład, możemy wziąć następującą kombinację liniową
\ + 2 \left = \left\] powinieneś poświęcić chwilę, aby sprawdzić, że \ = \left\]
jest w rzeczywistości rozwiązaniem systemu w przykładzie .
innym sposobem, w jaki możemy dowiedzieć się więcej o rozwiązaniach układu jednorodnego, jest rozważenie rangi powiązanej macierzy współczynników. Teraz definiujemy, co oznacza ranga macierzy.
definicja \(\PageIndex{1}\): Ranga macierzy
Niech \(a\) będzie Macierzą i weźmie pod uwagę dowolną z \(a\). Następnie liczba \(r\) wiodących wpisów \(a\) nie zależy od wybranego przez Ciebie i nazywa się rangą \(a\). Oznaczamy go rangą (\(A\)).
Podobnie, możemy policzyć liczbę pozycji Pivota (lub kolumn Pivota), aby określić rangę \(a\).
przykład \(\PageIndex{1}\): Znajdowanie rangi macierzy
rozważ macierz \\] jaka jest jej ranga?
rozwiązanie
najpierw musimy znaleźć of \(a\). Poprzez zwykły algorytm, znajdujemy, że jest to\\] tutaj mamy dwa wiodące wpisy, lub dwie pozycje obrotu, pokazane powyżej w polach.Ranga \(a\) to \(r = 2.\)
zauważ, że uzyskalibyśmy tę samą odpowiedź, gdybyśmy znaleźli \(a\) zamiast .
Załóżmy, że mamy jednorodny układ równań \(m\) w zmiennych \(n\) i załóżmy, że \(n > m\). Z naszej powyższej dyskusji wiemy, że system ten będzie miał nieskończenie wiele rozwiązań. Jeśli weźmiemy pod uwagę rangę macierzy współczynników tego układu, możemy dowiedzieć się jeszcze więcej o rozwiązaniu. Zauważmy, że patrzymy tylko na macierz współczynników, a nie na całą macierz rozszerzoną.
twierdzenie \(\PageIndex{1}\): ranga i rozwiązania dla jednorodnego układu
Niech \(a\) będzie macierzą współczynnika \(m \razy N\) odpowiadającą jednorodnemu układowi równań i załóżmy, że \(a\) ma rangę \(r\). Następnie rozwiązanie odpowiedniego systemu ma parametry \(n-r\).
rozważ nasz powyższy przykład w kontekście tego twierdzenia. Układ w tym przykładzie ma równania \(m = 2\) w zmiennych\ (n = 3\). Po pierwsze, ponieważ \(n> m\), wiemy, że system ma rozwiązanie nietrywialne, a więc nieskończenie wiele rozwiązań. To mówi nam, że rozwiązanie będzie zawierać co najmniej jeden parametr. Ranga macierzy współczynnika może nam jeszcze więcej powiedzieć o rozwiązaniu! Ranga macierzy współczynników układu wynosi \(1\), ponieważ ma jeden wpis wiodący w . Twierdzenie mówi nam, że rozwiązanie będzie miało parametry \(n-r = 3-1 = 2\). Możesz sprawdzić, czy jest to prawdą w rozwiązaniu do przykładu .
zauważ, że jeśli \(N=m\) lub \(n<m\), można mieć albo rozwiązanie unikalne (które będzie rozwiązaniem trywialnym), albo nieskończenie wiele rozwiązań.
nie ograniczamy się tutaj do jednorodnych układów równań. Rangę macierzy można wykorzystać do poznania rozwiązań dowolnego układu równań liniowych. W poprzedniej części omówiliśmy, że układ równań może nie mieć rozwiązania, rozwiązania unikalnego lub nieskończenie wielu rozwiązań. Załóżmy, że system jest spójny, niezależnie od tego, czy jest jednorodny, czy nie. Poniższe twierdzenie mówi nam, jak możemy użyć rangi, aby dowiedzieć się o rodzaju rozwiązania, które mamy.
twierdzenie \(\PageIndex{1}\): ranga i rozwiązania spójnego układu równań
Niech \(a\) będzie macierzą rozszerzoną \(m \times \left( n+1 \right)\) odpowiadającą spójnemu układowi równań w zmiennych \(N\) i załóżmy, że \(a\) ma rangę \(r\). Następnie
-
system ma unikalne rozwiązanie jeśli \(r = n\)
-
system ma nieskończenie wiele rozwiązań jeśli \(r< n\)
nie przedstawimy formalnego dowodu na to, ale rozważmy następujące dyskusje.
-
brak rozwiązania powyższe twierdzenie zakłada, że system jest spójny, czyli że ma rozwiązanie. Okazuje się, że macierz Rozszerzona układu bez rozwiązania może mieć dowolną rangę \(r\) tak długo, jak \(r>1\). Dlatego musimy wiedzieć, że system jest spójny, aby użyć tego twierdzenia!
-
unikalne rozwiązanie \(r=n\). Następnie w każdej kolumnie macierzy współczynnika \(a\) znajduje się pozycja obrotowa. Dlatego istnieje unikalne rozwiązanie.
-
nieskończenie wiele rozwiązań zakłada \(r < n\). Jest więc nieskończenie wiele rozwiązań. Jest mniej pozycji obrotowych (a zatem mniej pozycji wiodących) niż kolumny, co oznacza, że nie każda kolumna jest kolumną obrotową. Kolumny, które są kolumnami \(nie\) pivot, odpowiadają parametrom. W rzeczywistości, w tym przypadku mamy \(n-r\) parametry.