Magic Square

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A magic square is a square array of numbers consisting of the distinct positive integers 1, 2, …,숫자에서 모든 수평,수직,또는 주요 사선 라인이 같은 번호(Kraitchik1942,p. 142;앤드류스 1960,p. 1;Gardner1961,p. 130;Madachy1979,p. 84;및 벤슨 자코 1981,p. 3;공 Coxeter1987,p. 193)로 알려져 있는 마법의 일정한

경우 각 번호에 마법의 광장에서 빼,다른 마방이 얻을라는 상호 보완적인 마술을 광장입니다. 1 로 시작하는 연속적인 숫자로 구성된 사각형은 때때로”정상적인”마법 광장으로 알려져 있습니다.

order three 의 고유 한 일반 제곱은 고대 중국인에게 알려졌으며 Lo Shu 라고 불렀습니다. 하단 행의 인접한 중간 열에 숫자 15 와 14 가있는 order-4magic square 의 버전을 Dürer’s magic square 라고합니다. 3 에서 8 까지의 주문의 마법 사각형이 위에 나와 있습니다.

마법의 일정한사 용어

(사냥꾼과 Madachy1975).

그것은 미해결 문제의 수를 결정하는 마술 사각형의 임의해지만,고유 한 마법 사각형(제외하여 얻은 회전 및 반사)의 순서,2,… 있습니다 1, 0, 1, 880, 275305224, … (OEIS A006052;Madachy1979,p.87). 순서 4 의 880 제곱은 1693 년 Frénicle de Bessy 에 의해 열거되었으며,Berlekamp et al. (1982,778-783 쪽). 매직 스퀘어의 수는 1973 년 R.Schroeppel 에 의해 계산되었습니다. 숫자의사각형을 알려져 있지 않지만,Pinn 및 Wieczerkowski(1998)것으로 추정를 사용하여 몬테 카를로 시뮬레이션 및 방법에서 통계 역학입니다. 마법의 사각형을 열거하는 방법은 Berlekamp et al. (1982)및 MathPages 웹 사이트에서.

스퀘어에 실패 하는 마술기 때문에만 하나 또는 모두의 주요 대각 금액과 같지 않은 마법의 일정이라고 semimagic 광장입니다. 는 경우에는 모든 대각선을(를 포함하여 얻은 포장하여 주)의 마법의 광장 합계 마술정,광장이 말하 panmagic 스퀘어(또는’악마 같은 사각형 또는 pandiagonal square). 대체 하는 경우 각각의 번호를생산 다른 마법의 광장,광장이 말하 bimagic 스퀘어(또는 이중의 마법의 광장). 정사각형이에 대한 magic 인 경우 trimagic square(또는 trebly magic square)라고합니다. 모든 숫자 쌍이 중심 합계와 대칭으로인 경우 사각형은 연관 마법 사각형이라고합니다.

덧셈 대신 곱셈에서 마법 인 사각형을 구성 할 수 있으며 곱셈 마법 사각형으로 알려져 있습니다. 또한,사각하는 매직 모두에서 외기와 곱 건설할 수 있으로 알려진 또 곱셈 마법 사각형(사냥꾼과 Madachy1975).

Kraitchik(1942)전반적인 기술을 구성하는 심지어와 이상한 사각형의 순서홀,아주 간단한 기법으로 알려진 샴 방법이 사용될 수 있는 위와 같(Kraitchik1942,pp.148-149). 기 시작하여 1 에서는 중앙 광장의 상단에 대한 행 점진적으로 배치 이후의 숫자에서 한 단위 위고 오른쪽에 있습니다. 계산이 감싸 져서 상단에서 떨어지는 것이 하단에서 돌아오고 왼쪽에서 오른쪽으로 떨어지는 것이 돌아옵니다. 이미 채워진 사각형이 발생하면 다음 숫자가 대신 이전 숫자 아래에 배치되고 메서드는 이전과 같이 계속됩니다. 방법이라고도 드 라 Loubere 의 방법을 사칭되었을 처음 보고 서쪽에있을 때 de la Loubere 프랑스로 돌아온 후에 역사하 룸 서비스를 이용하실 수 있습니다.

일반화의 이 방법을 사용하여”일반적인 벡터”을 제공하는 오프셋에 대한 각 noncolliding 동 및 휴식”vector”,and. 이 숫자의 집합을 합산(합계 및 차이)이라고 부릅니다. 모든 sumdiffs 가에 상대적으로 소수이고 사각형이 마법 사각형이면 사각형도 panmagic 사각형입니다. 이 이론은 드 라 고용으로 시작되었습니다. 다음 표는 일반 및 나누기 벡터의 특정 선택에 대한 합계를 제공합니다.

두 번째 방법을 생성 마법 사각의 이상한 순서로 논의되었습니다.J.H. 콘웨이에서의 이름을”캔디”방법입니다. 상술한 바와 같이,이 방법에서,홀수는 사각형의 중앙 부분에 다이아몬드 형상의 대각선을 따라 구축된다. 심지어는 숫자를 놓쳐지는 다음 추가 순차적으로 길을 따라 연속이의 대각선에 의해 얻은 포장 광장 주변을 때까지 싸여 대각선에 도달하면 초기 지점입니다. 따라서 위의 사각형에서 첫 번째 대각선이 채워집니다 1, 3, 5, 2, 4, 두 번째 대각선이 채워집니다 7, 9, 6, 8, 10, 등등.

우아한 방법을 구축을 위한 마법 사각형의 두 배로도 순서s 을 통해 각subsquare 와 모든 사각형입니다. 대체한 다음 각 항목은에 대한 위의 예에서 교차 된 숫자는 원래 1,4,입니다…,61,64 이므로 항목 1 은 64,4 는 61 등으로 대체됩니다.

매우 우아한 방법을 구축을 위한 마법 사각형의 단독으로도 주문(수 없는 마법의 스퀘어의 순서 2)로 인해 J.H.Conway,누가 그것을”LUX”방법입니다. 배열을 만들로 구성된s,1 행 저희의,그리고s,모든의 길이. 중간 U 를 그 위의 L 과 교환하십시오. 지금 생성 마법의 광장기 위해를 사용하는 샴 방법 중심으로 배열의 편지(중앙에서 시작 하는 사각형의 최고 행),하지만 채울의 사각형 주변의 편지를 순차적으로 순서에 따라 규정에 의해 문자입니다. 그 순서는 위 그림의 왼쪽에 도시되고,완성 된 사각형은 오른쪽에 도시된다. 문자 L,U 및 X 의”모양”은 자연스럽게 채우기 순서를 제안하므로 알고리즘의 이름입니다.