2.3:압력,온도,RMS 속도

우리는 우리가 조사한 압력과 온도에 따라 거시적인 정의입니다. 압력은 힘이 가해지는 영역으로 나눈 힘이며 온도는 온도계로 측정됩니다. 우리는 더 나은 이해를 얻을 수 있는 압력 및 온도에서는 가스의 운동 이론,이론과 관련된 거시적인 속성 가스의 동의 분자로 구성되어 있습니다. 첫째,우리는 이상적인 가스에서 분자에 대해 두 가지 가정을합니다.

1. 매우 많은 수의 n 개의 분자가 있으며,모두 동일하고 각각 질량 m 을 갖는다.
2. 분자가 순종하는 뉴턴의 법률에서 지속적인 동의는 임의의 및 등방성,즉,같은 모든 방향에서.

파생상법 및 사이의 연결을 현미경량 등의 에너지는 일반적인 분자와 거시적 수량으로 온도와 같은,우리는 분석은 샘플의 이상적인 가스에 엄밀한 컨테이너에 대한 우리는 두 가지 추가 가정:

1. 분자가보다 훨씬 작은 사이의 평균 거리가 그들에게,그래서 그들의 총량은보다 훨씬 적은 자신의 컨테이너(는 볼륨 V). 다시 말해서,우리는 Van der Waals 일 b,볼륨의 몰의 가스 분자,무시할 수 있을 비교해 볼륨의 몰 가스의 컨테이너입니다.
2. 분자는 용기의 벽과 서로 완벽하게 탄성 충돌을합니다. 중력과 반 데르 발스 상수 a 로 표현되는 매력을 포함하여 그들에 대한 다른 힘은 무시할 수 있습니다(등방성의 가정에 필요함).

분자 사이의 충돌은 이상적인 가스 법칙의 파생에 나타나지 않습니다. 그들은 무작위 속도로 움직이는 분자 사이의 충돌이 새로운 무작위 속도를 제공하기 때문에 유도를 방해하지 않습니다. 또한,는 경우 속도체 분자의 컨테이너에서는 처음 임의의 및 등방성,분자의 충돌에는 무엇이 그들에게 임의의 및 등방성.

우리는 여전히 계산을 단순화하지만 결과에 영향을 미치지 않는 추가 가정을합니다. 첫째,우리는 컨테이너를 직사각형 상자가되게했습니다. 둘째,우리는 분자가 헬륨과 같은 단일 원자로 구성된 단원자 가스를 고려하는 것으로 시작합니다. 그런 다음,우리가 추측할 수 있는 원자 없고 에너지를 제외하고 그들의 운동 에너지 변환;예를 들면,그들은 그 어느 회전이나 진동 에너지에 있습니다. (나중에,우리는 토론이 가정의 타당성을 위해 실제 단원 자 가스 분배 그것으로 고려하는 원자와 원자 증가되고 있습니다.)

그\(\PageIndex{1}\)여 충돌의 가스 분자와 벽의 컨테이너,그래서 그 힘을 미치 벽에는(뉴턴의 법률). 이러한 충돌은 가스의 압력의 원천입니다. 분자의 수가 증가함에 따라 충돌 횟수,따라서 압력이 증가합니다. 마찬가지로,분자의 평균 속도가 높으면 가스 압력이 높아집니다.

에서의 샘플 가스에서 컨테이너,임의의 분자 동의 원인 충돌 수의 분자와의 모든 부분이 벽에서 주어진 시간이 변동될 수 있습니다. 그러나기 때문에,거대한 숫자의 분자와 충돌 벽,짧은 시간에 수의 충돌에서의 스케일 시간과 공간을 측정에 따라 변동만,일반적으로 다른 방법으로는 관찰할 수 없는 분수에서 평균입니다. 우리가 비교할 수 있습니다 이런 상황의 카지노,어디로 결과의 베팅은 임의의 카지노의 takings 변동에 의해 이 시간입니다. 그러나 1 년과 같은 오랜 시간에 걸쳐 카지노의 테이킹은 확률에서 예상되는 평균에 매우 가깝습니다. 탱크 가스의 엄청나게 많은 분자보다는 카지노에는 베팅에서 올해,고 분자들에게 엄청나게 더 많은 충돌에서 두 번째 보다는 카지노가 있습니다.

계산의 평균력을 발휘하여 분자의 벽에 박스로 우리를 이끌고 이상적인 가스를 연결 사이의 온도와 분자의 운동 에너지입니다. (사실,우리는 두 개의 평균:중 하나 이상을 얻을 수있는 시간 평균 가해지는 힘에 의해 하나의 분자와 주어진 속도,그리고 다른 평균 분자와 서로 다른 속도를 얻을 수 있습니다. 다)이 방식에 의해 개발되었 다니엘은 베르누이(1700-1782),사람에서 가장 잘 알려진 물리학에 대한 그의 작업에 대한 유체 흐름(유체역학). 놀랍게도,베르누이는 달튼이 물질의 견해를 원자들로 구성된 것으로 확립하기 전에이 작업을 수행했다.

그\(\PageIndex{2}\)을 보여줍 컨테이너는 가스로 가득하고의 탄력적 충돌의 가스 분자와 벽의 컨테이너,깨진으로 구성 요소입니다. 우리는 분자가 가스 내의 분자의 분리와 비교하여 작으며 다른 분자와의 상호 작용은 무시할 수 있다고 가정했습니다. 이러한 조건 하에서 이상적인 가스 법칙은 실험적으로 유효합니다. 우리가 가지고 있기 때문에 또한 가정의 벽은 엄격한 입자는 포인트,충돌은 탄성(에 의해 보호의 에너지가 저지를 위한 입자의 운동에너지를 이동하). 따라서 분자의 운동 에너지는 일정하게 유지되므로 속도와 운동량의 크기도 일정하게 유지됩니다. 이러한 가정이 적용되지 않는 항상 유효하지만,그 결과의 나머지 부분에서는 이 모듈은 또한에서 얻어진 모델하게 하는 분자 exchange 에너지 및 운동량으로 벽입니다.

분자의 속도가 x 방향으로 변하면 운동량이\(-m_x\)에서\(+mv_x\)로 바뀝니다. 따라서 운동량의 변화는\(\Delta mv=+mv_x-(-mv_x)=2mv_x\)입니다. 에 따라 전류-모멘텀을 정리어에 장에서 선형 모멘텀과 충돌,력 ith 분자,나는 어디 라벨 분자에서 1N,에 의해 주어진\

(이식이 혼자,p 나타냅 모멘텀 없 압력이다.)분자가 벽에 닿는 동안 외에는 벽과 분자 사이에 힘이 없습니다. 충돌의 짧은 시간 동안 분자와 벽 사이의 힘은 상대적으로 크지 만 우리가 찾고있는 힘은 아닙니다. 우리가 찾고 있는 평균의 힘,그래서 우리가\(\Delta t\)를 사이의 평균 시간의 충돌이 주어진 분자 이 벽은 시간에서는 우리를 찾을 것으로 예상 하나의 충돌이 발생합니다. L 이 x 방향으로 상자의 길이를 나타내도록하십시오. 그런 다음\(\Delta t\)는 분자가\(v_x\)의 속도로 상자를 가로 질러 다시 거리 2l 로 이동하는 데 걸리는 시간입니다. 따라서\(\delta t=2l/v_x\),힘에 대한 표현은

\

이 힘은 하나의 분자 때문입니다. 벽에 총 힘,F 를 찾으려면 모든 N 분자의 기여를 추가해야합니다:

\

우리는 이제 사용하의 정의,평균,우리는 나타내는 바를 찾는 힘:

\

우리는 힘의 관점에서 속도 v,오히려 x-구성 요소의 속도합니다. 총 속도 제곱은 합계는 사각형의 구성요소,그래서 그

\

으로의 가정 등방성,세 평균 오른쪽에 같은,그래서

\

대체로 식 F 을 제공

\

압력은 F/A 그래서 우리가 얻

\우리가 사용\(V=Al\)에 대한 볼륨에 있습니다. 이렇게 중요한 결과

\

이 방정식의 결합으로\(pV=Nk_BT\)는

\

우리는 우리를 얻을 수 있다는 평균의 운동 에너지 분자,\(\frac{1}{2}m\overline{v}^2\),에서 왼쪽의 방정식을 나누어 아웃 N 을 곱하여 3/2.

방정식\(\overline{K}=\frac{3}{2}k_BT\)평균 운동 에너지당 분자입니다. 특히 참고 아무것도 아이 방정식에 따라 분자량(또는 다른 재산)의 가스,압력,또는 아무것도 하지만열. 면의 샘플 헬륨과 크세논 가스,으로 매우 다른 분자,대중에 동일한 온도,분자가 동일 평균 운동 에너지입니다.

열역학 시스템의 내부 에너지는 그 안에있는 모든 분자의 기계적 에너지의 합입니다. 우리는 이제 단원자 이상 기체의 내부 에너지에 대한 방정식을 줄 수 있습니다. 그러한 기체에서 분자의 유일한 에너지는 그들의 병진 운동 에너지입니다. 따라서,을 나타내는 내부는 에너지에 의해\(E_{int}\)우리는 단순히\(E_{int}=N\overline{K}\)또는

\

종종 우리가 사용하고 싶은 이 방정식의 관점에서 두더지:

\

우리는 우리를 해결할 수 있습\(\overline{K}=\frac{1}{2}m\overline{v}^2=\frac{3}{2}k_BT\)에 대한 일반적인 속도로 분자의에 이상적인 가스 측면에서의 온도를 결정하는 것으로 알려져 있 root-mean-square(rms)속의 분자입니다.

rms 속도가 평균 또는 가능성이 가장 높은 속도로 분자, 으로 우리는 볼 것에 분포 분자의 속도는,그러나 그것을 제공합 쉽게 계산 견적의 분자들의 속도와 관련된 자신의 운동 에너지입니다. 다시 우리는이 방정식을 가스 상수 R 과 kg/mol 단위의 몰 질량 M 의 관점에서 쓸 수 있습니다:

\

우리는 빗나가는 순간 질문에 대답할 수 있는 발생했을 때 우리가 적용하는 모델 원자를 대신 이론적 관점 입자가 회전 운동 에너지 변경의 결과는? 이 질문에 답하기 위해 우리는 양자 역학에 호소해야합니다. 양자 역학,회전 운동에너지를 받을 수 없어서 어떤 가치;그것의 제한 별도의 설정 값,그리고 가장 작은 값에 반비례하는 회전 관성이 있습니다. 회전관성의 원자이 작기 때문에 거의 모든 질량은 핵에서는 일반적으로 반경보다 적은\(10^{-14}m\). 따라서 최소의 에너지 회전하는 원자보다 훨씬 더\(\frac{1}{2}k_BT\)해 달성 가능한 온도 및 에너지 사용할 수 있는 충분하지 않을 만드는 원자 회전합니다. 우리는 다음 섹션에서 규조토 및 다 원자 가스를 논의 할 때이 시점으로 돌아갈 것입니다.나는 이것이 내가 할 수있는 유일한 방법이라고 생각한다.: 을 계산하는 운동 에너지는 고속의 가스 분자

1. 은 무엇인 평균 운동 에너지의 가스 분자에서\(20.0^oC\)(room temperature)?
2. 이 온도에서 질소 분자(\(N_2\))의 rms 속도를 찾으십시오.

전략

(a)알려진 방정식에 대한 평균 운동 에너지는 온도:

\

전체 값으로 이 방정식,우리는 변환해야 합니다 주어진 온도로는 켈빈:\(T=(20.0+273)\,K=293\,K\). 우리는 우리를 찾을 수 있습 rms 속도의 질소 분자를 사용하여 방정식

\

그러나 우리는 먼저 찾아야 대량의 질소 분자입니다. 를 얻은 분자량의 질소\(N_2\)주기율표에서,우리가 찾

\

솔루션

1. 온도만으로도 충분을 위해 미국을 찾기 위해 평균 변환 운동 에너지입니다. 대체하는 온도로 변환 운동 에너지식을 제공\
2. 대체 이 질량 및 값\(k_B\)방정식으로 대\(v_{rms}\)수익률\

의미

주는 운동 에너지의 분자의 독립적인 유형의 분자입니다. 평균 병진 운동 에너지는 절대 온도에만 의존합니다. 운동 에너지는 거시적 인 에너지에 비해 매우 작아서 공기 분자가 우리의 피부에 부딪 힐 때 느끼지 못합니다. 다른 한편으로,그것보다 훨씬 더 크다 일반적인 차이에 중력 에너지 경우 분자의 이동,말,하의실,그래서 우리의 태만의 인력은 정당 전형적인 실제 상황입니다. 질소 분자의 rms 속도는 놀라 울 정도로 큽니다. 이러한 큰 분자 속도하지 않는 수익률 거시적 운동의 공기 때문에,분자의 이동에 모든 방향으로 동일한 가능성. 평균 무료로(거리 분자의 이동 평균 사이에 충돌,논의에 조금 나중에 이 섹션에)분자의 공중에는,그래서 매우 작은 분자가 급속하게 움직이지 않는 아주 멀리 얻을 수 있습니다. Rms 속도에 대한 높은 값은 실내 온도에서 약 340m/s 인 소리의 속도에 반영됩니다. 공기 분자의 rms 속도가 높을수록 공기를 통해 더 빠른 소리 진동을 전달할 수 있습니다. 소리의 속도는 온도에 따라 증가하고 헬륨과 같은 분자 질량이 작은 가스에서 더 큽니다(그림\(\PageIndex{3}\)참조).