특별한 유형의 시스템에 필요한 추가적인 연구이다. 이 유형의 시스템은 우리가 정의에서 위에서 정의한 방정식의 균질 시스템이라고합니다. 이 섹션에서 우리의 초점은 방정식의 균질 시스템에 대해 가능한 솔루션의 유형을 고려하는 것입니다.
다음 정의를 고려하십시오.나는 이것이 어떻게 작동하는지 잘 모르겠습니다.: 사소한 솔루션
을 고려한 균일한 방정식의 시스템에 의해 주어진\음,\(무리수{1}=0,무리수{2}=0,\cdots,무리수{n}=0\)항상 솔루션을이 시스템입니다. 우리는 이것을 사소한 해결책이라고 부릅니다.
경우스템 솔루션에는 모든\(x_1,\cdots,x_n\)동일한 제로,그 후 우리는 이 솔루션을 늘어납니다. 사소한 해결책은\(0=0\)라고 말하면서 시스템에 대해 많이 알려주지 않습니다! 따라서 방정식의 균질 시스템으로 작업 할 때 시스템이 언제 중요하지 않은 솔루션을 가지고 있는지 알고 싶습니다.
\(n\)변수를 사용하여\(m\)방정식의 균질 시스템을 가지고 있다고 가정하고\(n>m\). 즉,방정식보다 더 많은 변수가 있습니다. 그런 다음이 시스템에는 항상 중요하지 않은 솔루션이 있음이 밝혀졌습니다. 시스템이 중요하지 않은 솔루션을 가질뿐만 아니라 무한히 많은 솔루션을 갖게됩니다. 그것은 또한 가능하지만,필요하지 않습을 조건 솔루션\(n=m\)및\(n<m\).
다음 예제를 고려하십시오.나는 이것이 어떻게 작동하는지 잘 모르겠습니다.: 솔루션을 균일한 방정식의 시스템
찾기 조건 솔루션은 다음과 균일한 방정식의 시스템\
솔루션
이 시스템은\(m=2\)방정식 및\(n=3\)용 변수를\(n>m\). 따라서 우리의 이전 토론에 의해,우리는이 시스템이 무한히 많은 해결책을 가질 것으로 기대합니다.
프로세스는 사용을 위해 솔루션을 찾을 균일한 방정식의 시스템은 동일한 과정이 우리에 사용되는 부분입니다. 먼저,우리는\\]에 의해 주어진 증강 된 행렬을 구성한 다음,이 행렬을 아래에 주어진 것으로 운반합니다. \\]해당 시스템의정상 이후\(z\)는 제지하지 않는 어떤 방정식,우리가 알고 있는 이 변수가 될 것이 우리의 매개 변수입니다. Let\(z=t\)여기서\(t\)는 임의의 숫자입니다. 따라서,우리의 솔루션은 없 따라서 이 시스템은 무한히 많은 솔루션으로,하나의 매개 변수를\(t\).이전 예제에 대한 솔루션을 다른 형태로 작성해야한다고 가정 해보십시오. 특히,\로 작성할 수 있습\=\left+t\left\]우리가 건설에서 열 상수 솔루션(모두 동일하여\(0\)),뿐만 아니라 란에 해당하는 계수에\(t\)각 방정식이다. 우리 동안 이에 대해 양식의 솔루션에 더 많은 추가로 장,지금 고려하고 열의 계수를 매개 변수의\(t\). 이 경우 열\(\왼쪽\)입니다.
기본 솔루션 인이 열의 특수 이름이 있습니다. 시스템의 기본 솔루션은 솔루션의 매개 변수에 대한 계수로 구성된 열입니다. 우리는 종종\(X_1,X_2\)등으로 기본 솔루션을 나타냅니다. 얼마나 많은 솔루션이 발생하는지에 따라 다릅니다. 따라서 예제에는 기본 솔루션\(X_1=\left\)가 있습니다.
우리는 다음 예에서 이것을 더 탐구한다.
예\(\PageIndex{1}\):기본적인 솔루션의 균질 시스템
고려 다음과 같은 동일한 시스템의 답변을 받으실 수 있습니다. \이 시스템의 기본 솔루션을 찾으십시오.
솔루션
증강 매트릭스 시스템과 결과는\\rightarrow\cdots\rightarrow\left\]때로 작성 방정식,이 시스템에 의해 주어진\확인할 수 있는 경우에만\(x\)에 해당하는 피벗의 열입니다. 이 경우\(y\)에 대한 매개 변수와\(z\)에 대한 매개 변수가 두 개 있습니다. 모든 숫자\(s\)및\(t\)에 대해\(y=s\)및\(z=t\)를 보자. 그런 다음,우리의 솔루션\된다는으로 작성할 수 있습\=\left+s\left+t\left\]당신은 여기에서 볼 수 있습니다 우리는 두 개의 열이 계수의에 해당하는 매개변수는 특별히 하나\(s\)및\(t\). 따라서이 시스템에는 두 가지 기본 솔루션이 있습니다! 다음은\,X_2=\left\]
이제 새로운 정의를 제시합니다.
정의\(\PageIndex{1}\):선형 조합
\(X_1,\cdots,X_n,V\)열 행렬이되도록하십시오. 다음\(V\)라고 선형 조합의 열\(X_1,\cdots,X_n\)이 있는 경우에는 스칼라,\(a_{1},\cdots,a_{n}\)등\
놀라운 결과의 이 섹션에서는 선형 조합의 기본적인 해결책은 다시 해결책이 시스템입니다. 더욱 놀라운 점은 모든 솔루션이 이러한 솔루션의 선형 조합으로 작성 될 수 있다는 것입니다. 따라서 두 솔루션의 선형 조합을 예로 들자면,이것은 또한 해결책이 될 것입니다. 예를 들어,우리는 다음과 같은 선형 조합
\+2\left=\left\]당신은 한 순간이 걸리는지 확인하\=\left\]
은 사실을 솔루션 시스템에서는 예입니다.
하는 또 다른 방법은 우리는 우리 자세한 정보를 알아낼 수 있습니다 솔루션에 대해의 동일한 시스템을 고려하는 것이 순위의 관련 계수 matrix. 이제 행렬의 순위가 의미하는 바를 정의합니다.
Definition\(\PageIndex{1}\):행렬의 순위
\(a\)를 행렬이되게하고\(a\)중 하나를 고려하십시오. 그런 다음\(A\)의 선행 항목의 수\(r\)는 선택한 항목에 의존하지 않으며\(A\)의 순위라고합니다. 우리는 그것을 순위(\(A\))로 나타냅니다.
마찬가지로 피벗 위치(또는 피벗 열)의 수를 계산하여\(A\)의 순위를 결정할 수 있습니다.나는 이것이 어떻게 작동하는지 잘 모르겠습니다.: 행렬의 순위 찾기
행렬을 고려하십시오\\]그 순위는 무엇입니까?
솔루션
먼저\(A\)의 것을 찾아야합니다. 를 통해 일반적인 알고리즘,우리는 이것은\\]여기서 우리는 두 개의 주요 항목,또는 두 개의 피봇의 위치,다음과 같은 위에 상자입니다.\(A\)의 순위는\(r=2 입니다.\)
우리가 대신\(a\)의 발견 한 경우 우리는 같은 대답을 달성했을 것을 알 수 있습니다.
\(n\)변수에\(m\)방정식의 균질 시스템이 있다고 가정하고\(n>m\). 위의 토론에서 우리는이 시스템이 무한히 많은 해결책을 가질 것이라는 것을 알고 있습니다. 우리가이 시스템의 계수 행렬의 순위를 고려한다면,우리는 해결책에 대해 더 많이 알 수 있습니다. 우리는 증강 된 행렬 전체가 아니라 단지 계수 행렬을보고 있음을 주목하십시오.
정리\(\PageIndex{1}\):순위와 솔루션을 균질 시스템
Let\\A(\)이 될\(m\번 n\n)계수가 매트릭스에 해당하는 균질 방정식의 시스템,그리고\(A\)은 순위\(r\). 그런 다음 해당 시스템에 대한 솔루션에는\(n-r\)매개 변수가 있습니다.
이 정리의 맥락에서 위의 예를 생각해보십시오. 이 예제의 시스템에는\(n=3\)변수에\(m=2\)방정식이 있습니다. 기 때문에 첫째로,\(n>m\),우리가 알고 있는 시스템이 특수 솔루션과 따라 무한히 많은 솔루션입니다. 이것은 솔루션에 적어도 하나의 매개 변수가 포함될 것임을 알려줍니다. 계수 행렬의 순위는 솔루션에 대해 더 많이 알려줄 수 있습니다! 시스템의 계수 행렬의 순위는 하나의 선행 항목이 있기 때문에\(1\)입니다. 정리는 솔루션이\(n-r=3-1=2\)매개 변수를 가질 것이라고 알려줍니다. 예제에 대한 솔루션에서 이것이 사실인지 확인할 수 있습니다.
경우에는\(n=m\)또는\(n<m\),그것은 하나 있는 유일한 솔루션이어(사소한 솔루션)또는 무한히 많은 솔루션입니다.
우리는 여기서 방정식의 균질 시스템에 국한되지 않습니다. 행렬의 순위는 선형 방정식의 모든 시스템의 솔루션에 대해 배울 수 있습니다. 이전 섹션에서,우리는 설명하는 방정식의 시스템을 수 없는 솔루션,독특한 솔루션 또는 무한히 많은 솔루션입니다. 시스템이 균질한지 여부에 관계없이 일관성이 있다고 가정합니다. 다음 정리는 우리가 가지고있는 솔루션의 유형에 대해 배우기 위해 순위를 사용할 수있는 방법을 알려줍니다.
정리\(\PageIndex{1}\):순위와 솔루션을 일관된 방정식의 시스템
Let\\A(\)이 될\(m\번\left(n+1\오른쪽)\)증강 매트릭스에 해당하는 일관된 방정식의 시스템에서\(n\n)변수,그리고\(A\)은 순위\(r\). 다음
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는 시스템 고유 솔루션 경\(r=n\n)
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이 시스템은 무한히 많은 솔루션면\(r<n\n)
우리는 존재하지 않는 공식적인 증명이지만,다음을 고려한다.
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해결책 없음 위의 정리는 시스템이 일관성이 있다고 가정합니다. 그것은 가능한 증강 매트릭스 시스템의 없이는 어떤 순위\(r\)한\(r>1\). 따라서 우리는이 정리를 사용하기 위해 시스템이 일관성이 있음을 알아야합니다!
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고유 솔루션\(r=n\)라고 가정합니다. 그런 다음\(A\)의 계수 행렬의 모든 열에 피벗 위치가 있습니다. 따라서 고유 한 솔루션이 있습니다.이 문제를 해결하려면 어떻게해야합니까? 그렇다면 무한히 많은 해결책이 있습니다. 열보다 피벗 위치가 적고(따라서 선행 항목이 적음)모든 열이 피벗 열이 아님을 의미합니다. 피벗 열이\(\가 아님)인 열은 매개 변수에 해당합니다. 사실이 경우\(n-r\)매개 변수가 있습니다.