🎯왜 0! =1(제로 계승은 하나입니다)?

최근에는 0 의 정의에 대한 다양한 정당화에 대해 생각하고있었습니다! (0 의 계승)는

$$0 입니다!=1$$

재귀 공식을 고려하면 1 의 가정 된 값이 매우 분명해 보일 수 있습니다. 그러나 그것은”수학적으로”나를 만족시키지 못했습니다. 그것이 내가이 몇 문장을 쓰기로 결정한 이유입니다. 나는 덜 진보 된 것들에 대한 동기를 줄 것이지만,약간 더 많은 내부자에 대한 동기도있을 것입니다.

아은 스승의 계승에서 스칼라 계산기

아은 스승의 계승하고 재발

정수 n> 0 요인은 다음과 같이 정의

$$n!=n\(n-1)\(n-2)\번\ldots\배 2\간 1$$

쉽게 당신이 볼 수 있는 아래 재귀적 수식은 다음과 같습니다.

$$n!=n\시간(n-1)!$$

$$1!=1$$

❤️0! =1-재발에 기초한 동기 부여

$$n 의 작은 변환!=n\시간(n-1)!나는 이것을 할 수 없다.=\frac{n!나는 이것이 내가 할 수있는 유일한 방법이라고 생각한다.=\frac{1!나는 이것을 할 수 없다.=1!=1$$

이 설명하지만 쉽게 제공하지 않습(에 내 의견으로)충분히 깊은 이해”왜 이해야한 최선의 선택”.

❤️계승 n! 계산 가능한 뚜렷한 시퀀스 n 차(순열)

다고 가정해 봅시다는 설정을 포함하는 요소 n

$$\{1,2,\ldots,n\}$$

지금하자”s count 가능한 주문 요소의 이 설정

• n 를 선택하는 방법 첫 번째 요소는(있기 때문에 우리는 전체 세트 가능)
• n-1 를 선택하는 방법에는 두 번째 요소(기 때문에 먼저 이미 선택이있다,n-1 왼쪽)
• n-의 2 가지 방법을 선택하면 세 번째 요소(기 때문에 두었다는 이미 선택이있다,n-2 왼쪽)
• …
• n(k-1)방법을 선택하는 요소 번호 k (기 때문에 k-1 이미 선택,n(k-1)남아 있는)
• 2 가지 방법을 선택하는 요소 번호 n-1(기 때문 n-2 선정되었다,여전히 남아 2)
• 1 방법을 선택하는 요소 번호 n 기 때문에(n-1,선정되었 있었)

마지막으로 계산한 가능한 모든 방법 우리는 get

$$n\(n-1)\(n-2)\번\ldots\배 2\간 1=n!$$

결론:N 의 계승은 n 요소를 포함하는 세트의 순열 수를 계산합니다.

아다 k-순열 n 때로는 부분이라고 순열 또는 변형

k-순열 n 는 다른 주의 준비는 k-요소의 하위 집합 n-을 설정합니다. N 의 이러한 k-순열의 수는

$$P_k^n=n\times(n-1)\times(n-2)\times\ldots\times\bigg(n-(k-1)\bigg)=\frac{n!}{(n-k)!}$$

n 의 n-순열이 순열이라는 것을 쉽게 알 수 있으므로

$$P_n^n=n!$$

$$n! =\frac{n!}{(n-n)!}=\frac{n!}{0!}$$

다음 통찰력 왜 0!=1 은 올바른 정의가 n>0 에 대해 발생합니다. \시간 n! =엔!$$

두십시 기능으로 세트를 매핑

기능

$$f:A\to B$$

기능을 f:A→B 어디에 대한 모든∈있 f(a)=b∈B,정의의 관계 요소 및 b. 우리가 말할 수 있는 요소∈A 와 b∈B 는 관련이”f”인 경우에만 f(a)=b.

두십시 기능으로 하위 집합의 데카르트 제품

함수는 이진 관계를 의미 기능을 표현할 수 있는 하위 집합의 데카르트 제품입니다.

$$(a,b)\f\subseteq A\배 B\iff f(a)b=$$

아다 Injective 기능

Injective 기능은 기능이 유지되는 선명:그것은 결코 지도 별개의 요소는 그 도메인 이 같은 요소의 codomain. 얼마

$$x\neq y\Rightarrow f(x)\neq f(y)$$

아다 Surjective 기능

기능을 f surjective(또는) 는 경우 모든 요소에 대한 b codomain,적어도 하나의 요소에 도메인 등과 같은 f(a)=b. X 가 고유 할 필요는 없습니다.나는 이것을 할 수 없다.:A\B$$

$${\큰\displaystyle\forall_{b\B}\쿼드\displaystyle\exists_{a\에}\쿼드}f(a)b=$$

아다 Bijective 기능

Bijective 함수,또는 한,대응 기능의 각 요소의 설정은 정확히 한 요소의 설정 와 각 요소의 설정은 정확히 한 요소의 최초 설정합니다. 짝이없는 요소는 없습니다.

수학적 용어로,bijective 기능을 모두 injective 및 surjective 의 매핑을 설정하 B.

아다 Bijective 기능에 대 En

En 은 반환하는 함수의 순서 집합,즉 우리가 고려 n-요소 세트{1,2,…,n}다음 순열됩 기능

$$p:\{1, 2,…,n\}\to\{1,2,…,n\}$$

만족 bijective 기능 상태입니다.

순열의 수에 대해 질문함으로써 우리는 주어진 집합에서 그 자체로 다른 bijections 의 수에 대해 똑같이 질문 할 수 있습니다.

❤️빈 함수

빈 함수는 도메인이 빈 집합 인 모든 함수입니다.

$$f:\emptyset\to B$$

빈 기능을””차트에 빈 집합으로,데카르트 제품의 도메인 및 codomain 은 비어 있습니다.

$$\emptyset\배 B=\emptyset$$

빈 기능을 유지 구별(은 injective)기 때문에,이 도메인(예를 들어)두말할 필요가 없습니 다른 요소에 대한 가치의 기능은 동일합니다.

❤️빈 함수의 특별한 경우

빈 집합에 매핑하는 함수를 분석해 보겠습니다.

$$f:\emptyset\to\emptyset$$

이러한 기능은 bijection 기 때문에 그것은 injective 기능(위와 같이)요소는 없에 codomain(이 codomain 빈 설정할 수 있습니다.)과 관련하여 요소에 도메인입니다.

이 함수가 도메인과 codomain 의 데카르트 곱의 하위 집합이라는 결과 인 그러한 bijection 이 정확히 하나 있음을 유의하십시오. 이 경우 이것은 하나의 가능한 집합 일뿐입니다.나는 이것을 할 수 없다.:빈 세트에는 정확히 하나의 하위 집합이 있으며,이는 빈 세트이므로 이러한 쌍작은 고유하게 정의됩니다.

❤️0! =1vs 빈 기능

위에 쓴 그의 순열의 수 n-요소의 설정과 같은 수의 고유 bijective 기능에서 이 설정합니다.

음–en0 요소 세트에 해당하 bijection 에서는 빈 집으로 들어/

특별한 경우 빈 기능은 1–고 내가 제시하는 증거가 존재하는 단 하나의 같은 기능🙂

아 깊은 통찰력을 왜 0! 1 로해야합니다.

두다 감마 기능

수학,감마 함수 중 하나의 확장을 계승 함께 인수를 아래로 이동하여 1 일을 실시하고 복잡한 숫자입니다.

$$\Gamma(z)=\displaystyle\int_0^{+\infty}t^{z-1}e^{t}dt$$

통합 후 부분에 의해 우리가 얻을 재귀적 수식

$$\Gamma(z+1)=z\cdot\Gamma(z)$$

자의 가치를 보

$$\Gamma(1)=?$$

$$\감마(1)=\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-t}dt=\displaystyle\int_{-\infty}^{0}e^{t}dt$$

다음

$$\감마(n+1)=n!$$

$$0! = \Gamma(1) = 1$$

⭐️ Scalar support for the Gamma function

Functions in Scalar Calculator, that support Gamma special function

• Gamma(x) – Gamma special function Γ(s)
• sgnGamma(x) – Signum of Gamma special function, Γ(s)
• logGamma(x) – Log Gamma special function, lnΓ(s)
• diGamma(x) – Digamma function as the logarithmic derivative of the Gamma special function, ψ(x)
• GammaL(s,x) – Lower incomplete gamma special function, γ(s,x)
• GammaU(s,x) – Upper incomplete Gamma special function, Γ(s,x)
• GammaP(s,x) , GammaRegL(s,x) – Lower regularized P gamma special function, P(s,x)
• GammaQ(s,x), GammaRegU(s,x) – Upper regularized Q Gamma special function, Q(s,x)

Gamma function chart

Gamma function vs Factorial chart

아은 스승의 수는 전자 및 계승 relation

기반으로 테일러 시리즈의 확장자^x 쉽게 표시하는

$$e=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}=\frac{1}{0!}+\프랙{1}{1!}+\프랙{1}{2!}+\프랙{1}{3!}+\ldots$$

Sequence convergence

This is fascinating, as it shows even stronger relation of factorial to e

Thanks for reading! All the best 🙂