제한 및 infinitesimals 주
미적분은 일반적으로 의해 개발되었 작업으로 아주 작은 양입니다. 역사적으로 그렇게하는 첫 번째 방법은 무한대였습니다. 이들은 실제 숫자처럼 취급 될 수 있지만 어떤 의미에서는”무한히 작은”객체입니다. 예를 들어,무한 숫자는 0 보다 클 수 있지만 시퀀스 1,1/2,1/3,의 임의의 숫자보다 작을 수 있습니다… 따라서 긍정적 인 실제 숫자보다 적습니다. 이러한 관점에서,미적분은 무한정을 조작하기위한 기술 모음입니다. 심볼 d x{\displaystyle dx}
d y{\displaystyle dy}
촬영되었을 무한,그리고 유도체 d y/d x{\displaystyle/dx 를}
는 단순히 자신의 비율이 있습니다.
인피니트 접근법은 인피니트의 개념을 정확하게 만드는 것이 어려웠 기 때문에 19 세기에 유리하게 떨어졌습니다. 그러나이 개념은 비표준 분석과 부드러운 무한 분석의 도입으로 20 세기에 부활하여 무한대의 조작을위한 견고한 토대를 제공했습니다.
19 세기 후반에,infinitesimals 주로 대체되었 이내에 학계에 의해 엡실론,델타에 접근을 제한. 한계는 근처 입력에서 해당 값의 관점에서 특정 입력에서 함수의 값을 설명합니다. 그들은 실제 숫자 시스템의 맥락에서 소규모 행동을 포착합니다. 이 치료에서 미적분은 특정 한계를 조작하기위한 기술 모음입니다. Infinitesimals 주 얻으로 교체하여 매우 작은 숫자,그리고 무한히 작은 행동이의 함수가 발견을 복용하여 제한 동작을 위해 작아지고 번호. 제 생각했을 제공하기 위해 엄격한 기초를 위한 미적분,그리고 이러한 이유로 그들은 기준이 되는 접근하는 동안 세기.
미분적분
미분 미적분은 함수의 파생어의 정의,특성 및 응용에 대한 연구입니다. 파생물을 찾는 과정을 차별화라고합니다. 도메인의 함수와 점이 주어지면 그 시점의 파생물은 그 지점 근처의 함수의 소규모 동작을 인코딩하는 방법입니다. 을 찾는 파생 상품의 기능에서 모든 지점에는 해당 도메인에서,그것은 새로운 생산 기능,라는 파생적 기능 또는 파생 상품의 본래 기능입니다. 공식적인 용어로,파생어는 함수를 입력으로 취하고 출력으로 두 번째 함수를 생성하는 선형 연산자입니다. 이것은 함수가 일반적으로 숫자를 입력하고 다른 숫자를 출력하는 초등 대수학에서 연구 된 많은 프로세스보다 추상적입니다. 는 경우,예를 들어,배기능은 지정된 입력 세,그것은 여섯 출력,그리고 경우 제곱 기능은 지정된 입력 세,그 다음 그것을 출력한다. 그러나 파생어는 제곱 함수를 입력으로 사용할 수 있습니다. 이것이 의미하는 파생상품이 모든 정보를 제곱 기능—는 것과 같은 두 가지로 보내 네,세 가지가 전송되는 아홉,네게 보내는 여섯,그리고 그는 이 정보를 사용하여하는 생산 다른 기능이다. 제곱 함수를 유도하여 생성 된 함수는 배가 함수로 밝혀졌습니다.
보다 명시적인 용어로”배가 함수”는 g(x)=2x 로 표시되고”제곱 함수”는 f(x)=x2 로 표시 될 수 있습니다. 는”파생”이제는 f(x)함수에 의해 정의된 표현”x2″,으로 입력되는 모든 정보는 것과 같은 두 가지로 보내 네,세 가지가 전송되는 아홉,네게 보내는 여섯,그리고 그는 이 정보를 사용하여 출력에 다른 기능,기능 g(x)=2 배로 끌 것입니다.
파생물에 대한 가장 일반적인 기호는 prime 이라는 아포스트로피와 같은 표시입니다. 따라서 f 라는 함수의 파생어는 f’로 표시되며”f prime”이라고 발음됩니다. 예를 들어,f(x)=x2 가 제곱 함수 인 경우 f'(x)=2x 는 그 파생물입니다(위의 배가 함수 g). 이 표기법은 라그랑주의 표기법으로 알려져 있습니다.
함수의 입력이 시간을 나타내는 경우 파생어는 시간과 관련하여 변화를 나타냅니다. 는 경우,예를 들어,f 는 기능이 걸리는 시간으로 입력하고 제공하의 위치를 볼 시간에서 출력으로,다음의 유도체 f 은 얼마나 위치가 변화하는 시간에,그것은,그것의 속도니다.
경우 기능 선형(는 경우,그래프의 기능은 직선),다음의 함수로 작성할 수 있습 y=mx+b,여기서 x 는 독립변수,y 은 종속변수,b y,그리고
m=상승 실행=에서 변경 y 에서 변경 x=Δ y Δ x. {\displaystyle m={\frac{\text{rise}}{\text{run}}}={\frac{{\text{change in}}y}{{\text{change in}}x}}={\frac{\Delta y}{\Delta x}}.}
이것은 직선의 기울기에 대한 정확한 값을 제공합니다. 그러나 함수의 그래프가 직선이 아닌 경우 y 의 변화를 x 의 변화로 나눈 값이 달라집니다. 파생 상품은 입력의 변화와 관련하여 출력의 변화라는 개념에 정확한 의미를 부여합니다. 구체적으로하기 위해,f 가 함수가되게하고,f 의 도메인에서 점 a 를 수정하십시오.(a,f(a))는 함수의 그래프에있는 점입니다. H 가 0 에 가까운 숫자 인 경우 a+h 는 a 에 가까운 숫자입니다.따라서(a+h,f(a+h))는(a,f(a))에 가깝습니다. 이 두 점 사이의 기울기는
m=f(a+h)−f(a)(a+h)−a=f(a+h)−f(a)h 입니다. 나는 이것이 내가 할 수있는 유일한 방법이라고 생각한다.}
이 식을 차이 지수라고합니다. 곡선의 두 점을 통과하는 선을 시컨트 선이라고하므로 m 은(a,f(a))와(a+h,f(a+h))사이의 시컨트 선의 기울기입니다. 활성인 근사치의 동작을 함수에서 지적하지 않기 때문에 계정을 어떻게 그리고 사+h. 그것은 가능하지 않을 발견하는 행동에 의해 설정에서 제기 때문에 이 필요로 나누어로 정의되지 않았습니다. 미분에 의해 정의 복용으로 한계에서 제로하는 경향이있다는 것을 의미하는 고려의 동작 f 을 위해 모든 작은 값의 추출에 대해 일관성 값을 경우 h 같 zero:
lim h→0f(+h)−f(a)h. {\displaystyle\lim_{h\to0}{f(a+h)-f(a)\over{h}}.}
기하학적으로,파생 상품의 기울기에 접 라인 그래프 f 에. 접선이라는 한계의 시선으로 파생 제한 차이의 몫. 이러한 이유로,파생어는 때때로 함수 f 의 기울기라고 불린다.
다음은 특정 예이며,입력 3 에서 제곱 함수의 파생어입니다. F(x)=x2 가 제곱 함수가되도록하십시오.
f ′ ( 3 ) = lim h → 0 ( 3 + h ) 2 − 3 2 h = lim h → 0 9 + 6 h + h 2 − 9 h = lim h → 0 6 h + h 2 h = lim h → 0 ( 6 + h ) = 6 {\displaystyle {\begin{aligned}f'(3)&=\lim _{h\to 0}{(3+h)^{2}-3^{2} \over {h}}\\&=\lim _{h\to 0}{9+6h+h^{2}-9 \over {h}}\\&=\lim _{h\to 0}{6h+h^{2} \over {h}}\\&=\lim _{h\to 0}(6+h)\\&=6\end{aligned}}}
경사의 접선을 제곱 지점에서 함수(3,9),6,말하자면,그것은 여섯 번에 한 빨리 그리고 오른쪽에 있습니다. 방금 설명한 제한 프로세스는 제곱 함수의 도메인에있는 임의의 지점에 대해 수행 될 수 있습니다. 이것은 제곱 함수의 파생 함수 또는 제곱 함수의 파생어만을 짧게 정의합니다. 위의 계산과 유사한 계산은 제곱 함수의 파생어가 배가 함수임을 보여줍니다.
Leibniz 표기
일반적인 표기에 의해 도입 된 라이프니츠에 대해 유도체 위의 예에서입니다.
y=x2d y d x=2x. {\displaystyle{\begin{aligned}y&=x^{2}\\{\frac{dy}{dx}}&=2x.\end{aligned}}}
한계를 기반으로하는 접근법에서 기호 dy/dx 는 두 숫자의 지수가 아니라 위에서 계산 한 한계에 대한 속기로 해석됩니다. 라이프니츠,그러나,그는 그것을 나타내는 지수의 두 개의 미소하게 작은 숫자,dy 되는 미소하게 작은 변화에 y 에 의해 발생하는 미소하게 작은 변화 dx 에 적용 x. 우리는 또한 생각할 수 있 d/dx 으로 차별화 연산자,소요되는 기능 입력으로 제공하는 다른 기능의 유도체,으로 출력됩니다. 예:
d d x(x2)=2x. {\displaystyle{\frac{d}{dx}}(x^{2})=2x.}
에서 이용,dx 분모에 있으로 읽은”존중 x”. 올바른 표기법의 또 다른 예는 다음과 같습니다:
g(t)=2+2+4d d t g(t)=2t+2{\displaystyle{\을 시작{정렬}g(t)=t^{2}+2t+4\\\\{d\통해 dt}g(t)=2t+2\끝{정렬}}}
경우에도 미적분은 사용하여 개발한 제한이 아닌 infinitesimals 주, 그것은 일반적인 조작과 같은 기호 dx,dy 으면 그들은 부자지만 그것을 피하는 것이 가능한 조작,그들은 때로는 notationally 편리한을 표현하는 작업과 같은 총 유도체.
필수적인 수학
필수적인 수학의 연구 정의,특성,응용 프로그램의 두 개의 관련된 개념을 무기한 완전하고 확실한 중요합니다. 적분의 가치를 찾는 과정을 통합이라고합니다. 기술 언어에서 적분 미적분은 두 개의 관련 선형 연산자를 연구합니다.
antiderivative 라고도하는 불명확 한 적분은 파생물에 대한 역 연산입니다. F 는 f 의 파생물 일 때 f 의 불명확 한 적분입니다. (함수와 그 불명확 한 적분에 대한 소문자와 대문자의 사용은 미적분학에서 일반적입니다.)
정적분 입력 및 출력 번호는 대수적 합의 영역 사이의 그래프 입력 및 x-axis. 명확한 적분의 기술적 정의는 리만 합이라고 불리는 직사각형의 영역 합계의 한계를 포함합니다.
동기 부여 예는 주어진 시간에 이동 한 거리입니다.
D i s t n c e=S p e e d⋅T i m e{\displaystyle\mathrm{거리}=\mathrm{속도}\cdot\mathrm{Time}}
경우 속도가 일정하만,곱셈이 필요, 하지만 경우에 속도 변경,더 강력한 방법을 찾는 거리가 필요합니다. 이러한 방법 중 하나 대략적인 주행 거리에 의해 파괴 시간으로 많은 시간의 짧은 간격으로,다음을 곱하여 시간 경과에서 각 구간에 의해 하나의 속도에서는 간격,그리고 합계(리만 합계)의 대략적인 주행 거리에서 각각의 간격입니다. 기본 아이디어는 짧은 시간 만 경과하면 속도가 더 많거나 적게 동일하게 유지된다는 것입니다. 그러나 리만 합계는 이동 한 거리의 근사치 만 제공합니다. 우리는 여행 한 정확한 거리를 찾기 위해 그러한 모든 리만 합계의 한도를 취해야합니다.
경우 속도가 일정하고,총리 여행을 통해 주어진 시간 간격을 계산할 수 있습을 곱하여 속도 및 시간입니다. 예를 들어,3 시간 동안 꾸준한 50mph 를 여행하면 총 거리가 150 마일이됩니다. 다이어그램에서 왼쪽에서,때 일정한 속도 및 시간은 그래프로,이 두 값 양식을 사용하여 사각형의 높이와 동일하게 속도와 폭 동등한 시간이 경과되었습니다. 따라서 속도와 시간의 곱은 또한(일정한)속도 곡선 아래의 직사각형 영역을 계산합니다. 이 사이의 연결에 이 지역에 곡선과 주행 거리로 확장할 수 있습 불규칙 모양의 지역 전시하고 변동 속도를 통해 주어진 시간 동안. 는 경우 f(x)다이어그램에서 오른쪽에 나타내도 그대로 시간이 지남에 따라 달라집,여행 거리(사이의 시간에 의해 표현되고 b)이 지역의 음영 지역 s.
대략적인 영역,직관적 인 방법은 것을 나누기까지 사이의 거리를 a 와 b 로 동일한 세그먼트 길이의 각 세그먼트에 의해 표현된 상징 Δx. 각 작은 세그먼트에 대해 함수 f(x)의 하나의 값을 선택할 수 있습니다. 그런 다음 기본 Δx 와 높이 h 가있는 사각형의 면적은 해당 세그먼트에서 이동 한 거리(시간 Δx 에 속도 h 를 곱한 값)를 제공합니다. 와 관련된 각 세그먼트의 평균 값은 기능을 위 f(x)=h. 의 합이 모두 같은 사각형은 근사치 사이의 영역의 축선과 곡선은 근사치 전체의 거리를 여행했다. 에 대해서는 작은 값을 Δx 에게 더 많은 사각형하고 대부분의 경우 더 나은 근사하지만 정확한 대답을 제한으로 Δx 접근한다.
의 상징 통합∫{\displaystyle\int}
,길쭉한 S(S 는”합”). 명확한 적분은 다음과 같이 작성됩니다: ∫a b f(x)d x. {\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,dx.}
고 읽기”일체형 a 에서 b 로의 f-of-x 관 x.” 라이프니츠 표기 dx 한 제안을 나누어 지역에서 곡선으로의 무한한 사각형,그래서 그들의 폭 Δx 된 미소하게 작은 dx. 에서 제형의 미적분학을 기반으로 제한 표기
∫a b⋯d x{\displaystyle\int_{a}^{b}\cdots\,dx}
는 것으로 이해되어야 하는 연산자는 함수 입력 및 숫자,영역으로 출력됩니다. 종료하는 차동,dx,은 숫자가 아니라,되지 않는 곱 f(x),지만,봉사로의 알림 Δx 제한을 정의할 수 있으로 처리 등의 상징적인 의 조작 중요합니다. 공식적으로 미분은 함수가 통합되는 변수를 나타내며 통합 연산자의 닫는 브래킷 역할을합니다.
불명확 한 적분 또는 antiderivative 는 다음과 같이 작성됩니다.
∫f(x)d x. {\displaystyle\int f(x)\,dx.}
기능을 의해 서로 다른 단지는 지속적인 동일한 유도체,그리고 표시할 수 있는 응용 프로그램의 기능은 실제로는 가족의 기능은 다른 일정하게 유지되었습니다. 여기서 C 는 임의의 상수 인 함수 y=x2+C 의 파생어는 y’=2x 이므로 후자의 antiderivative 는 다음과 같이 주어집니다.
∫2x d x=x2+C. {\displaystyle\int2x\,dx=x^{2}+C}
이 지정되지 않은 상 C 에 존재하는 부정적분 또는 부정적분이 알려져 있으로 상의합니다.
의 기본 원리
기본적인 정리를 수학의 상태는 차별화 및 통합은 역 작업입니다. 보다 정확하게는 항 적분의 값을 명확한 적분과 관련시킵니다. 기 때문에 그것은 일반적으로 쉽게 계산하는 응용 프로그램하는 것보다 적용의 정의를 명확한 필수적인 기본적인 정리를 수학의 제공한 실제적인 방법으로 컴퓨팅의 명확한 integrals. 또한 차별화가 통합의 역수라는 사실에 대한 정확한 진술로 해석 될 수있다.
미적분 상태의 기본 정리: 함수 f 가 구간에서 연속적이고 f 가 구간(a,b)에서 파생물이 f 인 함수 인 경우
∫a b f(x)d x=F(b)−F(a). {\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).}
또한 간격(a,b)의 모든 x 에 대해
d d x∫a x f(t)d t=f(x). {\displaystyle{\frac{d}{dx}}\int_{a}^{x}f(t)\,dt=f(x).}
Isaac Barrow 의 이전 작업에 대한 결과를 토대로 Newton 과 Leibniz 가 만든이 실현은 작업이 알려진 후 분석 결과의 확산의 핵심이었습니다. 기본적인 정리를 제공한 대수적 방법을 컴퓨팅 많은 정확한 적분 없이 수행한 프로세스—를 찾아에 대한 공식 문제를 해결. 또한 미분 방정식의 프로토 타입 솔루션입니다. 미분 방정식은 알려지지 않은 함수를 그 파생물과 관련 시키며 과학에서 유비쿼터스입니다.