무한한 대수

요금의 변경

선형 기능을 적용하여 실제 문제를 포함하는 일정한 비율.

변화율

선형 방정식은 종종 변화율을 포함합니다. 예를 들어 시간이 지남에 따라 거리가 변하는 속도를 속도라고합니다. 시간에 두 점과 이동 한 총 거리가 알려진 경우 기울기라고도하는 변화율을 결정할 수 있습니다. 이 정보로부터 선형 방정식을 작성한 다음 선의 방정식에서 예측을 할 수 있습니다.

경우에 단위 또는 양에 대하여는 무언가가 변경 지정하지 않은 일반적으로 속도 단위당의 시간입니다. 가장 일반적인 유형의 속도는 속도,심박수 및 플럭스와 같은”시간 단위당”입니다. 시간 분모가 아닌 비율에는 환율,문해력 비율 및 전기장(볼트/미터)이 포함됩니다.

에서는 단위의 비율,단어”당”을 사용하여 별도의 단위는 두 개의 측정값을 계산하는 데 사용되는 평가(예를 들어 심박수는”표현 분당 비트”).

변화율: 실제 응용 프로그램

선수가 시작 그는 일반적인 관행을 위해 다음 마라톤 동안 저녁. 오후 6 시에 그는 뛰기 시작하고 집을 나간다. 오후 7 시 30 분에 운동 선수는 집에서 달리기를 끝내고 총 7.5 마일을 뛰었습니다. 실행 과정에서 그의 평균 속도는 얼마나 빨랐습니까?

변화의 속도는 그의 실행의 속도이다;시간에 따른 거리. 따라서 두 변수는 시간(x)과 거리(y)입니다. 첫 번째 요점은 그의 시계가 오후 6 시에 읽은 그의 집에 있습니다. 이것은 시작 시간이므로 0 으로 설정합시다. 그래서 우리의 첫 번째 요점은(0,0)그가 아직 아무데도 달리지 않았기 때문입니다. 우리의 시간을 몇 시간 만에 생각해 봅시다. 우리의 두 번째 요점은 1.5 시간 후이며,우리는 7.5 마일을 달렸습니다. 두 번째 요점은(1.5,7.5). 우리의 속도(변화율)는 단순히 두 점을 연결하는 선의 기울기입니다. 이 경사는 시속 m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}m=\frac{7.5}{1.5}=5 마일이됩니다.

예:속도를 나타내는 선 그래프

이 선을 그래프로 나타내려면 방정식을 쓰려면 y-절편과 기울기가 필요합니다. 기울기는 시간당 5 마일이었고 출발점이(0,0)에 있었기 때문에 y 절편은 0 입니다. 그래서 우리의 최종 기능이 y=5 배.

이 새로운 기능을 사용하면 이제 몇 가지 질문에 더 대답 할 수 있습니다.

• 처음 30 분 후에 몇 마일을 뛰었습니까? 방정식을 사용하여 x=\frac{1}{2}인 경우 y 에 대해 해결하십시오.y=5x 인 경우 y=5(0.5)=2.5 마일.
• 그가 총 3 시간 동안 같은 속도로 계속 뛰었다면,몇 마일을 달릴 것입니까? X=3 인 경우 y 에 대해 해결하십시오.y=5x 인 경우 y=5(3)=15 마일.

선형 방정식에 대한 이러한 응용 프로그램이 많이 있습니다. 일정한 변화율을 수반하는 모든 것은 기울기가있는 선으로 멋지게 표현할 수 있습니다. 실제로,그래서 당신이 두 점을 알고 있는 경우 이 함수는 선형,그래프로 표시할 수 있습고 질문을 시작! 그냥 당신이 묻고 그래프가 의미가 있는지 확인하십시오. 예를 들어,마라톤를 들어,도메인이 정말 x\geq0 때문에,그것은 의미가 없으로 이동하는 부정적인 시간을 잃고 km!

선형 수학 모델

선형 수학 모델은 선으로 실제 응용 프로그램을 설명합니다.

수학적 모델

수학적 모델을 설명하는 시스템을 사용하여 수학적 개념과 언어입니다. 수학적 모델은 자연 과학 및 공학 분야뿐만 아니라 사회 과학 분야에서도 사용됩니다. 선형 모델링을 포함할 수 있는 인구는 변화는 전화 통화 요금,비용의 자전거를 임대,무게 관리,또는 기금을 모금했습니다. 선형 모델은 변화율(m)과 초기 양인 y-절편 b 를 포함합니다. 모델이 작성되고 선의 그래프가 만들어지면 둘 중 하나를 사용하여 동작에 대한 예측을 할 수 있습니다.

실생활 선형 모형

많은 일상적인 활동의 사용을 필요로 수학적 모델,아마도 무의식적으로. 수학적 모델의 한 가지 어려움은 실제 응용 프로그램을 정확한 수학적 표현으로 번역하는 데 있습니다.

예시:임대 이동 반

임대 회사 정액 요금의$30 추가$0.25 마일 당해 임대 이동합니다. 선형 방정식을 작성하여 운전 마일 수 인 x 의 관점에서 비용 y(달러)를 근사합니다. 75 마일 여행 비용은 얼마입니까?

를 사용하는 경사 절편 형태의 선형방정식으로,총 비용을 표시 y(종속변수)그리고 마일을 표 x(독립 변수)

\displaystyle y=mx+b

총 비용 비율과 동일합니다 당 마일 시간 마일리지 구동 플러스의 비용에 대한액:

\displaystyle y=0.25x+30

의 비용을 계산하 75 마일 여행의,대체 75x 방정식으로:

\displaystyle\을 시작{맞춤}y&=0.25x+30\\&&&=48.75\끝{맞춤}

실생활의 모델 여러 방정식

그것은 또한 가능한 모델이 여러 라인과 그들의 답변을 받으실 수 있습니다.

예

처음에는 열차 A 와 B 가 서로 325 마일 떨어져 있습니다. 열차 a 는 시속 50 마일에서 B 방향으로 여행하고 열차 B 는 시속 80 마일에서 a 방향으로 여행합니다. 두 열차는 몇시에 만날 것입니까? 이 때 기차는 얼마나 멀리 여행 했습니까?

먼저 열차의 시작 위치(y-인터셉트,b)로 시작합니다. 기차 a 시작은 원점이다,(0,0). 기차 B 는 처음에는 기차 A 에서 325 마일 떨어져 있기 때문에 그 위치는(0,325)입니다.

둘째,시간 측면에서 각 열차의 총 거리를 나타내는 방정식을 작성하기 위해 각 열차의 변화율을 계산합니다. 열차 A 는 y 값이 더 큰 열차 B 를 향해 여행하고 있기 때문에 열차 A 의 변화율은 양수이어야하며 50 의 속도와 같아야합니다. 기차 B 는 y 값이 적은 A 를 향해 여행하며 B 에게 음의 변화율 인 -80 을 제공합니다.

두 개의 선을 따라서 다음과 같습니다.

\displaystyle y_A=50x\\

\displaystyle y_B=−80x+325

두 개의 기차에 맞는 두 개의 라인을 만납니다. 을 찾는 두 개의 라인과 교차 설정 방정식과 동등을 해결하기 위하 x

\displaystyle y_{A}=y_{B}

\displaystyle50x=-80x+325

x 에 대한 해결하면 다음과 같습니다.

\displaystyle x=2.5

두 개의 기차에 맞 후 2.5 시간입니다. 이것이 어디에 있는지 찾으려면 2.5 를 어느 방정식에 꽂으십시오.

첫 번째 방정식에 연결하면 50(2.5)=125 가됩니다.이 방정식은 125 마일을 여행 한 후에 만남을 의미합니다.

여기에 거리가 시간에 대한 그래픽 모델의 두 개의 기차

곡선 피팅

곡선 피팅은 모든 데이터에 가장 잘 맞도록 선을 그리려고 시도합니다.

Curve Fitting

곡선에 맞는 프로세스를 구성하는 곡선 또는 수학적 기능이 있는 가장 적합 시리즈의 데이터 지점을 받을 수 있는 제약 조건이 있습니다. 선을 포함할 수 있나 보간법,어디에 정확히 맞추는 데 필요한 데이터,또는 부드럽게는”부드러운 기능”건설한다는 약을 맞는 데이터입니다. 맞는 곡으로 사용할 수 있는 원조를 위한 데이터 시각화,유추 값이의 함수는 사용할 수 있는 데이터가 없고,요약하는 간의 관계 두 개 이상의 변수입니다. 보외의 사용을 참조하는 맞춤 곡선의 범위를 넘어서 관측된 데이터 및 더 높은 수준의 불확실 수 있기 때문에 반영 방법을 구축하는 데 사용되는 곡으로 많은 관측된 데이터입니다.

이 섹션에서는,우리는 것만이 피팅 라인을 데이터 포인트,하지만 그것을 주목해야할 수 있는 적합한 다항식 기능,원,조각-현명한 기능,그리고 어떤 기능의 수를 데이터 그리고 많이 사용되는 항목에서는 통계입니다.

선형 회귀 분석 공식

선형 회귀분석 접근방법을 모델링 선형 간의 관계를 종속변수,y 고는 독립 변수,x. 선형 회귀분석,선사-형,y=mx+b 이 발견되는”가장 잘 맞는”데이터입니다.

가장 단순하고 아마도 가장 일반적인 선형 회귀 모델은 일반 최소 제곱 근사치입니다. 이 근사는 선과 모든 점 사이의 제곱 거리의 합계를 최소화하려고 시도합니다.

\displaystyle m=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}\sum_{j=1}^{n}y_{j}}{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}^{2})-\frac{1}{n}(\sum_{i=1}^{n}x_{i})^{2}}

을 찾덕의 라인의 최고에 맞게 계산하는 다음 단계에서:

1. 의 합 제품의 x,y 좌표\sum_{i=1}^{n}무리수{i}y_{i}.
2. x 좌표\sum_{i=1}^{n}x_{i}의 합입니다.
3. y 좌표\sum_{j=1}^{n}y_{j}의 합입니다.
4. x 좌표\sum_{i=1}^{n}(x_{i}^{2})의 제곱의 합입니다.
5. x 좌표의 합 제곱(\sum_{i=1}^{n}x_{i})^{2}.
6. 분자와 분모의 지수입니다.

\displaystyle\을 시작{맞춤}b&=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_{1}-m\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}무리수{i} \\&=\left(\바{y}-m\바{x}\right)\끝{맞춤}

을 찾 y(b),계산을 사용하여 다음과 같은 단계:

1. 평균의 y 좌표입니다. Let\\바{y},발음 y-바,의미를 나타내(평균)y 값은 모든 데이터의 포인트:\바 y=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_{i}.
2. x 좌표의 평균입니다. 각각\바{x},발음 x-bar,평균(평균)x 값은 모든 데이터의 포인트:\바 x=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}무리수{i}.
3. 값을 b=\bar{y}-m\bar{x}위의 공식으로 바꿉니다.

m 과 b 의 이러한 값을 사용하여 이제 그래프의 점을 근사하는 선이 있습니다.

를 들어 쓰기도 광장에 맞는 선한 다음 그래프 라인에 가장 적합한 데이터

에 대한 n=8 포인트: (-1,0),(0,0),(1,1),(2,2),(3,1),(4,2.5),(5,3) 고(6,4).

첫째,경사를 찾(m)y(b)는 최고의 대략적인 이 데이터를 사용하는 방정식을 이전 섹션:

을 찾기 위해 기울기,계산:

1. 의 합 제품의 x,y 좌표\sum_{i=1}^{n}무리수{i}y_{i}.
2. x 좌표\sum_{i=1}^{n}x_{i}의 합입니다.
3. y 좌표\sum_{i=1}^{n}y_{i}의 합입니다.

\displaystyle \begin{align} \sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}&&=57 \end{align} \displaystyle \begin{align} \sum_{i=1}^{n}x_{i}&&=20 \end{align}\displaystyle \begin{align} \sum_{i=1}^{n}y_{i}&&=13.5\끝{맞춤}

\displaystyle m=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}\sum_{j=1}^{n}y_{j}}{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}^{2})-\frac{1}{n}(\sum_{i=1}^{n}x_{i})^{2}}

4. 계산 분자:제품의 x
y 좌표
마이너스-여덟 번째의 제품을 합의 x 좌표로 합계와의 y 좌표:.

\displaystyle\sum_{i=1}^{n}무리수{i}y_{i}-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}무리수{i}\sum_{j=1}^{n}y_{j}

분자에 경사 방정식입니다:

\displaystyle57-\frac{1}{8}(20)(13.5)=23.25

5. 분모 계산:
합의는 사각형의 x 좌표로 마이너스-여덟 번째의 합의 x 좌표를 제곱:

\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(무리수{i}^{2})-\frac{1}{n}(\sum_{i=1}^{n}무리수{i})^{2}

\displaystyle\을 시작{맞춤} \sum_{i=1}^{n}(무리수{i}^{2})&&=92\끝{맞춤}

분자 92-\frac{1}{8}(20)^{2}=92-50=42 와 경사가 몫의 분자와 분모:\frac{23.25}{42}\approx0.554.

이제 y-절편의 경우,(b)x-좌표의 평균의 8 분의 1 배:\bar{x}=\frac{20}{8}=2.5 와 y 좌표의 8 분의 1 배 평균:\bar{y}=\frac{13.5}{8}=1.6875.따라서 b=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_{1}-m\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}\\:

\displaystyle b\approx1.6875-0.554(2.5)=0.3025.

우리의 최종 방정식에 따라서 y=0.554x+0.3025,그리고 이선은 그래프와 함께 점이다.

특이하고 적 회귀

이 있는 경우에 우리는 지점에는 멀리에서 가깝게 줄입니다,그것은 결과가 및 라인을 만들기 위해 더 많은. 예를 들어,원래 예제에서 우리가 가지고있는 점(-1,0)대신(-1,6)을 가정 해 봅시다.

를 사용하여 동일한 계산을 위와 같이 새로운 관점,결과:m\approx0.0536b\approx2.3035 를 얻기 위해,새로운 식 y=0.0536x+2.3035.

보고에서 포인트와 라인에 새로운 아래 그림,이는 새로운 라인가 맞지 않을 데이터로 인해 특(-1,6). 실제로 노력하고,맞춤형 선형 모델 데이터는 이차,입방,또는 비선형,또는 데이터가 많은 특이 또는 오류를 초래할 수 있기 때문에 나쁜 정확하지 않을 수 있습니다.