Magic Square

Recreational Mathematics > Magic Figures > Magic Squares >

Algebra > Linear Algebra > Matrices > Matrix Types >

A magic square is a square array of numbers consisting of the distinct positive integers 1, 2, …、数字の合計が常に同じ数になるように配置されています（Kraitchik1942、p.142;Andrews1960、p.1;Gardner1961、p.130;Madachy1979、p.84;Benson and Jacoby1981,p.3;ball and coxeter1987,P.193)、魔法定数として知られている

魔方陣のすべての数をから減算すると、別の魔方陣が補 1で始まる連続した数からなる正方形は、”通常の”魔方陣として知られることがあります。

三つのユニークな通常の正方形は、それをLo Shuと呼んだ古代中国に知られていました。一番下の行の隣接する中央の列に15と14の数字を持つorder-4魔方陣のバージョンは、デューラーの魔方陣と呼ばれています。次数3から8の魔方陣が上に示されています。

項間は

/div>

(hunter and madachy1975)。

任意の順序の魔方陣の数を決定することは未解決の問題ですが、順序の異なる魔方陣の数（回転と反射によって得られたものを除く）,2,。.. あります1, 0, 1, 880, 275305224, … (OEIS A006052;Madachy1979,p.87)。 4次の880の正方形は1693年にFrénicle de Bessyによって列挙され、Berlekampらに示されています。 (1982,pp.778-783)。魔方陣の数は、1973年にR.Schroeppelによって計算されました。正方形の数は知られていませんが、Pinn and Wieczerkowski(1998)はモンテカルロシミュレーションと統計力学の方法を用いてと推定しました。魔方陣を列挙するための方法は、Berlekamp et al. （1982年）とMathPagesのウェブサイト上で。

主対角和の一方または両方が魔法定数と等しくないためにのみ魔法ではない正方形は、半魔法の正方形と呼ばれます。魔方陣のすべての対角線（包み込むことによって得られたものを含む）が魔方陣の和を魔法定数にすると、その正方形は汎魔方陣（diabolic squareまたはpandiagonal squareとも呼ばれる）であると言われる。各数字の場合、正方形は連想魔方陣であると言われます。加算の代わりに乗算の下で魔法である正方形を構築することができ、乗算魔方陣として知られています。

乗算魔方陣として知られています。

さらに、加算と乗算の両方の下で魔法である正方形を構築することができ、加算乗算魔方陣（Hunter and Madachy1975）として知られています。Kraitchik(1942)は、次数の偶数と奇数の正方形を構成する一般的な技術を提供しますoddの場合、上に示されているように、シャム法として知られている非常に簡単な手法を使用することができます(Kraitchik1942,pp.148-149)。これは、上の行の中央の正方形に1を配置することから始まり、その後、正方形の上と右の1単位に後続の数字を段階的に配置します。上から落ちると下に戻り、右から落ちると左に戻ります。すでに満たされている正方形が検出されると、次の番号が前の番号の下に配置され、メソッドは以前と同じように続行されます。この方法は、de la Loubere’s methodとも呼ばれ、de la Loubereがシャム大使を務めた後にフランスに戻ったときに西洋で最初に報告されたと言われています。

このメソッドの一般化では、衝突しない各移動のオフセットを与える”通常のベクトル”と、衝突時に導入するオフセットを与える”break vector”を使用します。したがって、標準のシャムメソッドには通常のvector(1,とbreak vector(0,1)があります。これは魔方陣を生成するためには、各ブレークの動きは、満たされていないセルに終わる必要があります。魔法二乗の特別なクラスは、絶対和を考慮することによって構築することができます。これらの数字の集合をsumdiffs（合計と差）と呼びます。すべてのsumdiffsがと比較的素数であり、正方形が魔方陣である場合、正方形も汎魔法の正方形です。この理論はde la Hireに由来しています。次の表は、通常のベクトルとブレークベクトルの特定の選択の合計を示しています。

奇数次の魔方陣を生成するための第二の方法は、J.H.Conwayによって”ロゼンジ”法の名の下で議論されています。上記のように、この方法では、奇数は正方形の中央部にダイヤモンドの形をした対角線に沿って構築されます。見逃された偶数は、ラップされた対角線がその初期点に達するまで、正方形の周りをラップすることによって得られた対角線の継続に沿って順次追したがって、上記の正方形では、最初の対角線が埋められます1, 3, 5, 2, 4, 第二の対角線は、7, 9, 6, 8, 10, というように。

二重偶数順序の魔方陣を構築するためのエレガントな方法sを描画することですの例では、交差した数字はもともと1、4、です。..、61、64、したがって、エントリ1は64に置き換えられ、4は61などに置き換えられます。

単独で偶数次の魔方陣を構築するための非常にエレガントな方法（次数2の魔方陣はありません）は、J.H.Conwayが”LUX”メソッドと呼んでいる。で構成される配列を作成しますs、1行のUs、およびs、すべての長さ。中央のUをその上のLと交換します。次に、文字の配列（一番上の行の中央の正方形から始まる）を中心としたシャムメソッドを使用して、順序の魔方陣を生成しますが、文字にその順序は上の図の左側に示されており、完成した正方形は右に示されています。文字L、U、およびXの”形状”は、当然のことながら、充填順序、したがって、アルゴリズムの名前を示唆しています。