追加の研究を必要とするシステムの特別なタイプがあります。 このタイプのシステムは、上記の定義で定義した同次方程式系と呼ばれます。 このセクションでは、均質な方程式系に対してどのような種類の解が可能であるかを検討することに焦点を当てています。
次の定義を考えてみましょう。p>
定義\(\PageIndex{1}\): Trivial x_{1}=0、x_{2}=0、\cdots、x_{n}=0.は常にこのシステムの解です。x x_{1}=0、x_{2}=0、\cdots、x_{n}=0.の場合、homogeneous x_{1}=0、x_{2}=0、\cdots、x_{n}=0.の場合、homogeneous x_{1}=0、x_{2}=0.となります。 私たちはこれを些細な解決策と呼んでいます。システムがすべての\(x_1,\cdots,x_n\)がゼロに等しいとは限らない解を持っているなら、この解を非自明と呼びます。 \(0=0\)と書かれているので、簡単な解決策はシステムについてあまり教えてくれません。 したがって、均質な方程式系を扱うとき、システムがいつ自明でない解を持つかを知りたいと考えています。\(n\)変数を使用して\(m\)方程式の同次系があり、\(n>m\)と仮定します。\(m\)変数を使用して\(m\)方程式の同次系があり、\(n>m\)と仮定します。 言い換えれば、方程式よりも多くの変数があります。 そして、このシステムは常に重要でない解決策を持っていることが判明しました。 システムには自明でない解決策があるだけでなく、無限に多くの解決策もあります。 また、\(n=m\)と\(n<m\)の場合、重要でない解を持つことも可能ですが、必須ではありません。
次の例を考えてみましょう。
例\(\PageIndex{1}\): このシステムには\(m=2\)方程式と\(n=3\)変数があるので、\(n>m\)があります。\(n>m\)は、\(m=2\)方程式と\(n=3\)変数を持つことに注意してください。\(n>m\)は、\(n>m\)は、\(n> したがって、以前の議論では、このシステムには無限に多くの解決策があることを期待しています。
均質な方程式系の解を見つけるために使用するプロセスは、前のセクションで使用したのと同じプロセスです。
均質な方程式系の解を見つ まず、\\]によって与えられる拡張行列を構築し、次にこの行列を以下に示すitsに運びます。 \\]対応する方程式系は\(z\)はどの方程式にも拘束されないので、この変数が私たちのパラメータになることがわかります。\(z\)は、\(z\)が\(z\)であることを意味し、\(z\) ここで、\(t\)は任意の数であるとします。 したがって、私たちの解は\という形をしているので、このシステムは無限に多くの解を持ち、一つのパラメータ\(t\)を持ちます。
前の例の解を別の形式で書くとします。 具体的には、\は\=\left+t\left\]と書くことができます解の定数（すべて\(0\)に等しい）と、各方程式の\(t\)の係数に対応する列から列を構築したことに注意してください。 この形式の解については、さらに別の章で詳しく説明しますが、今のところパラメータ\(t\)の係数の列を考えてみましょう。 この場合、これは列\(\left\)です。この列には特別な名前があり、これは基本的な解決策です。 システムの基本解は，解のパラメータ上の係数から構成される列である。 基本解を\(X_1,X_2\)などで表すことがよくあります。、いくつの解決策が発生するかに応じて。 したがって、例には基本解\(X_1=\left\)があります。
次の例では、これをさらに詳しく説明します。例\(\PageIndex{1}\):同次系の基本解
次の同次系の方程式を考えてみましょう。
次の同次系の方程式を考えてみましょう。
次の同次系の方程式を考えてみましょう。
\このシステムの基本的な解決策を見つけます。このシステムの拡張行列とその結果は\\rightarrow\cdots\rightarrow\left\]方程式で書かれたとき、このシステムは\(x\)だけがピボット列に対応することに注意してください。\(x\) この場合、\(y\)と\(z\)の2つのパラメータがあります。 任意の数\(s\)と\(t\)に対して\(y=s\)と\(z=t\)とする。 次に、私たちの解は\=\left+s\left+t\left\]と書くことができる\になります。\(s\)と\(t\)の2つの列がパラメータに対応する係数を持っていることがわかります。\(s\)と\(t\)の2つの列があります。\(s\)と\(t\)の2つの列があります。\(s\)と\(t\)の2つの したがって、このシステムには2つの基本的な解決策があります！ これらは\,X_2=\left\]
新しい定義を提示します。\(X_1,\cdots,X_N,V\)を列行列とします。\(X_1,\cdots,X_N,V\)を列行列とします。\(X_1,\cdots,X_N,V\)を列行列とします。\(X_1,\cdots,X_N,V\)を列行列とします。\(X_1,\cdots,X_N,V\)を列行列とします。\(X_1,\cdots,X_N,V\)を列行列とします。 このとき、\(V\)は、スカラー\(a_{1},\cdots,a_{n}\)が存在するとき、列\(X_1,\cdots,X_N\)の線形結合であると言われます。\
この節の顕著な結果は、基本解の線形結合が再びシステムの解であるということです。 さらに注目すべきは、すべての解がこれらの解の線形結合として書くことができることです。 したがって、2つの解の線形結合を例に取ると、これも解になります。 たとえば、次の線形結合を取ることができます
\+2\left=\left\]\=\left\]
が実際には例のシステムの解決策であることを確認するために時間を取る必要があります。
均質システムの解に関するより多くの情報を見つけることができるもう一つの方法は、関連する係数行列のランクを考慮することです。 ここで、行列のランクが何を意味するのかを定義します。行列のランク
\(A\)を行列とし、\(A\)のいずれかを考慮します。
に、\(a\)の先頭のエントリの数\(r\)は、選択したエントリに依存せず、\(A\)のランクと呼ばれます。 それをRank(\(A\))で表します。同様に、\(A\)のランクを決定するために、ピボット位置（またはピボット列）の数を数えることができます。
例\(\PageIndex{1}\): 行列のランクを見つける
行列を考えてみましょう\\]そのランクは何ですか？まず、\(A\)を見つける必要があります。 通常のアルゴリズムを介して、我々はこれが\\]ここでは、ボックス内の上に示されている二つの先頭のエントリ、または二つのピボット位置を持っているこ\(A\)のランクは\(r=2です。\)
の代わりに\(A\)が見つかった場合、同じ答えが得られたことに注意してください。\(n\)変数に\(m\)方程式の同次系があり、\(n>m\)であるとします。\(m\)が\(m\)の場合、\(m\)が\(m\)の場合、\(m\)が\(m\)の場合、\(m\)が\(m\)の場合、\(m\)が\( 上記の議論から、このシステムには無限に多くの解決策があることがわかります。 このシステムの係数行列のランクを考えると、解についてさらに多くのことを知ることができます。 拡張行列全体ではなく、係数行列だけを見ていることに注意してください。\(a\)を同次方程式系に対応する\(m\times n\)係数行列とし、\(A\)がランク\(r\)を持つとします。\(a\)がランク\(r\)であるとします。\(a\)がランク\(r\)であるとします。\(a\)がランク\(r\)であるとします。\(a\)がランク\(r\)であるとします。\(a\)がランク\(r\)であるとします。\(a\)がランク\(r\)であるとします。\(a\)がランク\(r\)であるとします。\(a\)がランク\(r\)であるとします。\(a\) 次に、対応するシステムの解は\(n-r\)パラメータを持ちます。
この定理の文脈で上記の例を考えてみましょう。 この例のシステムには、\(n=3\)変数に\(m=2\)方程式があります。 まず、\(n>m\)なので、システムには自明でない解があり、したがって無限に多くの解があることがわかります。 これは、解に少なくとも一つのパラメータが含まれることを示しています。 係数行列のランクは、解についてさらに多くのことを教えてくれます！ システムの係数行列のランクは\(1\)で、先頭に1つのエントリがあるためです。 定理は、解が\(n-r=3-1=2\)パラメータを持つことを示しています。 これが例の解決策で当てはまることを確認できます。\(n=m\)または\(n<m\)の場合、一意の解（これは自明な解になります）または無限に多くの解のいずれかを持つことができます。ここでは、均質な方程式系に限定されません。
行列のランクは、線形方程式の任意のシステムの解について学ぶために使用することができます。 前のセクションでは、方程式系には解がない、一意の解がない、または無限に多くの解がないことについて説明しました。 同質であるかどうかにかかわらず、システムが一貫しているとします。 次の定理は、私たちが持っている解の種類について学ぶためにランクをどのように使うことができるかを教えてくれます。\(a\)を\(m\times\left(n+1\right)\)拡張行列とし、\(a\)がランク\(r\)であるとします。\(a\)がランク\(r\)であるとします。\(a\)がランク\(r\)であるとします。\(a\)がランク\(r\)であるとします。\(a\)がランク\(r\)であるとします。\(a\)がランク\(r\)であるとします。\(a\)がランク\(r\)であるとします。\(a\)がランク\(r\)であるとします。\(a\)がランク\(r\)であるとします。 もし\(r=n\)なら、システムは一意の解を持ちます
\(r<n\)なら、システムは無限に多くの解を持ちます
これの正式な証明は提示しませんが、以下の議論を検討してください。
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解がない上記の定理は、システムが一貫している、つまり解があることを前提としています。 解を持たないシステムの拡張行列は、\(r>1\)である限り、任意のランク\(r\)を持つことが可能であることが判明しました。 したがって、この定理を使用するためには、システムが一貫していることを知る必要があります！P>
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一意の解は、\(r=n\)と仮定します。 次に、\(A\)の係数行列のすべての列にピボット位置があります。 したがって、ユニークな解決策があります。無限に多くの解が\(r<n\)と仮定します。 それから無限に多くの解決策があります。 つまり、すべての列がピボット列であるわけではありません。 \(\ではない)ピボット列である列は、パラメータに対応します。 実際、この場合、\(n-r\)パラメータがあります。
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