関数は、入力を出力に関連付けます。p>
 |
入力と出力を持つマシンのようなものです。 出力は何らかの形で入力に関連しています。 |
| f(x) |
“f(x)=… “は関数を書く古典的な方法です。 |
入力、関係、出力
関数について考える方法はたくさんありますが、常に三つの主要な部分があります。
- 入力
- 関係
- 出力
例：”2非常に簡単な機能。
ここでは3つの部分があります。
:
| Input | Relationship | Output |
|---|---|---|
| 0 | × 2 | 0 |
| 1 | × 2 | 2 |
| 7 | × 2 | 14 |
| 10 | × 2 | 20 |
| … | … | … |
For an input of 50, what is the output?
関数のいくつかの例
- x2（二乗）関数です
- x3+1も関数です
- 正弦、余弦、正接は三角法で使用される関数です
- そして、もっとたくさんあります！しかし、特定の関数を見るつもりはありません。..
。.. 代わりに、関数の一般的な考え方を見ていきます。
名前
まず、関数に名前を付けると便利です。 最も一般的な名前は”f”ですが、”g”のような他の名前を持つことができます。.. 私たちが望むなら、あるいは”マーマレード”。 しかし、”f”を使ってみましょう。
:
“xのfはxの二乗に等しい”と言います
関数に入るものは、関数の名前の後に括弧（）の中に入れられます。
だからf(x)は関数が”f”と呼ばれ、”x”が
に入ることを示しています。通常、関数が入力で何をするかを見ます。
p>
f(x)=x2は、関数”f”が”x”を取り、それを二乗することを示しています。例:f(x)=x2:
- の入力が4
- の出力が16になります。 実際には、f（4）=16と書くことができます。
- f（q）=1-q+q2
- h（A）=1-A+A2
- w（λ）=1-λ+λ2
“x”は単なるプレースホルダーです！
“x”についてあまり心配しないでください、それは入力がどこに行き、それに何が起こるかを私たちに示すためにそこにあります。 それは何でもできます！
だから、この関数：
f（x）=1-x+x2
はと同じ関数です：
変数（x、q、aなど）はちょうど次のようになります。
変数（x、q、aなど）は、次のようになります。そこに私たちはどこに値を置くべきかを知っています：
f(2) = 1 – 2 + 22 = 3
時には関数名がないことがあります
時には関数に名前がないことがあり、次のようなものが表示されます:
y=x2
しかし、まだあります：
- 入力（x）
- 関係（二乗）
- 出力（y）
関連する
上部では、関数は機械のようなものだと しかし、関数は本当にベルトや歯車や可動部分を持っていません-そして、それは実際に私たちがそれに入れたものを破壊しません！
関数は入力を出力に関連付けます。
“f(4)=16″と言うのは、4が何らかの形で16に関連していると言うようなものです。
例: このツリーは毎年20cm成長するので、ツリーの高さは関数hを使用してその年齢に関連しています。
h(age)=age×20
だから、年齢が10年の場合、高さは次のようになります。
h(10)=10×20=200cm
以下はいくつかの値の例です。
| 。.. | .. |
What Types of Things Do Functions Process?
“Numbers” seems an obvious answer, but …
 |
… which numbers? For example, the tree-height function h(age) = age×20 makes no sense for an age less than zero. |
 |
… また、文字（”A”→”B”）、またはIDコード（”A6309″→”Pass”）または見知らぬ人のものである可能性があります。 |
だから、より強力なものが必要であり、それがセットが入る場所です：
 |
セットは物事の集まりです。 ここではいくつかの例があります：
|
セット内の個々のもの（”4″や”hat”など）は、メンバーまたは要素と呼ばれます。
だから、関数は集合の要素を取り、集合の要素を返します。
関数は特別です
しかし、関数は特別なルールを持っています：
- それはすべての可能な入力値に対して動作しなければなりません
- そ:
関数の正式な定義
関数は、セットの各要素を別のセットの正確に一つの要素
二つの重要なこと！h2>
“。..各要素。..”Xのすべての要素がYのいくつかの要素に関連していることを意味します。
関数がXをカバーする（そのすべての要素に関連する）と言います。
関数がXをカバーする（そのすべての要素に関連する）と言います。
（ただし、Yの一部の要素はまったく関連していない可能性がありますが、これは問題ありません。
“。..正確に一つ。..”は、関数が単一値であることを意味します。 同じ入力に対して2つ以上の結果は返されません。 したがって、”f（2）=7または9″は正しくありません！
“一対多”は許可されていませんが、”多対一”は許可されています:tr>
(一対多) (一対多) (一対多) (一対多) (一対多) (一対多) (一対多) (一対多) (一対多) (一対多) (一対多) (一対多) (一対多) (一対多) (一対多) (一対多) (一対多) (一対多) (一対多) (一対多) (一対多)これは関数ではokではありません しかし、これは関数ではokです リレーションシップがこれらの二つのルールに従わない場合、それは関数ではありません。.. それはまだ関係であり、機能ではありません。
の例: The relationship x → x2
Could also be written as a table:
X: x Y: x2 3 9 1 1 0 0 4 16 -4 16 … … It is a function, because:
- Xのすべての要素はYに関連しています
- Xの要素は2つ以上の関係を持っていません
ルールに従います。
(4と-4の両方が16にどのように関係しているかに注意してください。例:このリレーションシップは関数ではありません:
これはリレーションシップですが、これらの理由から関数ではありません:
- Xの値”3″はYに関係がありません
- Xの値”4″はYに関係がありません
- 値”5″はYの複数の値に関連しています
（ただし、Yの”6″には関係がないという事実は問題ではありません）
vertical Line test
グラフ上で、単一値のアイデアは、垂直線が複数の値を横切ることがないことを意味します。
それが複数回交差する場合、それはまだ有効な曲線ですが、関数ではありません。
関数のいくつかのタイプは、あなたが単射、全射と全単射を読むことができます続きを読むために、より厳しいルールを持っています
無限に多く
私の例は、わずか数の値を持っていますが、関数は通常、無限に多くの要素を持つセットで動作します。p>
例：y=x3
- 入力セット”X”はすべて実数です
- 出力セット”Y”もすべて実数です
すべての値を表示することはできません。
x:x y:x y:x : x3
-2 -8 -0.1 -0.001 0 0 1.1 1.331 3 27 and so on… and so on… ドメイン、コドメイン、および範囲
上記の例では
- 集合”X”はドメインと呼ばれ、集合”Y”はコドメインと呼ばれ、
- Yで指される要素の集合（関数によって生成される実際の値）は範囲と呼ばれる。….. 詳細をお知りになりたい場合は、ドメイン、範囲、およびCodomainに関する特別なページがあります。非常に多くの名前！
関数は非常に長い間数学で使用されてきましたが、さまざまな名前や関数の記述方法が多く登場しました。
よく知っておくべきいくつかの一般的な用語は次のとおりです。
例:z=2u3:
- “u”は”独立変数”と呼ぶことができます
- “z”は”従属変数”と呼ぶことができます（uの値に依存します）
div例:f(4)=16:
- “4”は”引数”と呼ぶことができます
- “16”は”関数の値”と呼ぶことができます
例:h(year)=20×year:
- h（）は、関数です
- “年”は、”引数”、または”変数”と呼ぶことができます
- “20”のような固定値は、パラメータを呼び出すことができます
実際には関数が本当に”f”であるとき、私たちはしばしば関数”f（x）”を呼び出します
ordered pairs
そして、ここで関数について考える別の方法があります：
関数の入力と出力を（4,16）のような”ordered pair”として書きます。
これらは、入力が常に最初に来て、出力が二番目に来るため、順序付けられたペアと呼ばれます:
(input,output)
だから、次のようになります。
(x,f(x))
例：
(4,16)は、関数が”4″を取り込み、”16″を与えることを意味します
順序付きペアのセット
関数は、順序付きペアのセットとして定義することができます。
p>例: {(2,4), (3,5), (7,3)} は、”2は4に関連している”、”3は5に関連している”、”7は3に関連している”という関数です。 また、次のことに注意してください。
:
- ドメインは{2,3,7}（入力値）
- 範囲は{4,5,3}（出力値）
しかし、関数は単一の値でなければならないので、
“（a、b）と（a、c）が含まれている場合、bはcと等しくなければならない”
二つの異なる結果を生成することはできません。
例: {(2,4), (2,5), (7,3)} {2,4}と{2,5}は2が4または5に関連する可能性があることを意味するため、関数ではありません。つまり、単一の値ではないため、関数ではありません
順序付きペアの利点
それらをグラフ化..
。.. 彼らはまた、座標であるため！
だから、座標のセットはまた、関数です（彼らは上記のルールに従っている場合、つまり）
関数はピースにすることができます
我々は、入力値に応じて異:
- when x is less than 0, it gives 5,
- when x is 0 or more it gives x2
Here are some example values: x y -3 5 -1 5 0 0 2 4 4 16 … …Tr> 区分的関数で続きを読みます。
Explicit vs Implicit
最後のトピック：”explicit”と”implicit”という用語。
Explicitは、関数がxからyに直接移動する方法を示しているときです。
y=x3−3
xを知っているとき、y
それは古典的なy=f(x)スタイルです。
暗黙的には、次のように直接指定されていない場合です。
x2−3xy+y3=0
xを知っているとき、どのようにyを見つけるのですか？それは難しいかもしれません（または不可能です！ Xからyに直接移動する。
“Implicit”は”implied”、つまり間接的に表示されることに由来します。
“Implicit”は”implicit”から来ます。
グラフ
- 関数グラファは明示的な関数のみを処理でき、
- 方程式グラファは両方のタイプを処理できます（ただし、少し時間がかかり、時
結論
- 関数は入力を出力に関連付けます
- 関数はセット（ドメイン）から要素を取り、セット（コドメイン）内の要素に関連付けます。
- すべての出力（実際の値に関連する）は一緒に範囲と呼ばれます
- 関数は特別なタイプの関係です。
- ドメイン内のすべての要素が含まれ、
- 任意の入力は一つの出力のみを生成します（これまたはそれではありません）
- 入力とそれに一致する出力は一緒に順序付けられたペアと呼ばれます
- したがって、関数は順序付けられたペアのセットとして見ることもできます