はじめに
- それはストレスのような物理量だ場合、それは通常テンソルと呼ばれています。それが物理量でない場合、それは通常行列と呼ばれます。
- 工学テンソルの大部分は対称である。 対称ではなく、テンソルと呼ばれない一般的な量の1つは回転行列です。
- テンソルは、実際にはスカラー、ベクトル、または行列で表すことができる任意の物理量です。質量のような零次のテンソルはスカラーと呼ばれ、1次のテンソルはベクトルと呼ばれます。高次テンソルの例には、応力、ひずみ、および剛性テンソルがあります。
- 行列またはテンソルの次数またはランクは、それが含む添字の数です。 ベクトルは1階のテンソルである。 3×3の応力テンソルは2番目のランクである。
- テンソルの座標変換については、ここで詳細に議論されています。
単位行列
単位行列は
\\]
単位行列で何かを乗算することは、1を乗算するようなものです。
テンソル表記
テンソル表記の単位行列は単純に\(\delta_{ij}\)です。これは、\(i=j\)の場合は1、それ以外の場合は0に等しいクロネッカーデルタです。
それは行列かどうかですか？
純粋主義者からのメモ。.. 単位行列は行列であるが、クロネッカー三角行列は技術的にはそうではない。 \(\delta_{ij}\)は、\(i\)と\(j\)の値に応じて1または0のいずれかの単一のスカラー値です。 これは、常にテンソルの個々の成分を指しているので、テンソル表記が太字ではない理由でもありますが、テンソル全体には決してありません。
このリンクをたどって、それを得る人とそうでない人の間の面白い議論をしてください。
転置
行列の転置は、主対角に関するその成分を反映しています。 行列\({\bf A}\)の転置行列は\({\bf A}!{\!}!{\!}!{\!}!{\!}!{\!}!{\!}!{\!}T}\).
転置例
\,\qquad\text{then}\qquad{\bf A}^{\!Tens A_{ij}AはTens a_{ij}iとTens a_{ij}iとTens a_{ij}iとTens a_{ij}iとTens a_{ij}iとTens a_{ij}iとTens a_{ij}iとTens a_{ij}iとTens a_{ij}.とTens a_{ij}.とTens a_{ij
行列式
行列の行列式はdet(\({\bf a}\))または\(|{\bf a}|\)と書かれ、テンソルまたは行列の行列式がゼロであれば、逆行列はありません。
テンソル表記
行列式の計算は、いくつかの異なる方法でテンソル表記で書くことができます
\二つの行列の積の行列式は、二つの行列の行列式の積と同じです。 言い換えれば、
\
変形勾配の行列式は、微分要素の初期体積と最終体積の比。行列\({\bf A}\)の逆行列は\({\bf a}!{\!\(A_{ij}\)が\(a^{-1}_{ij}\)の逆行列である場合、\(A_{ij}\)の逆行列は\(A^{-1}_{ij}\)と書かれることが多い。\(a^{-1}_{ij}\)が\(a^{-1}_{ij}\)の逆行列である場合、\(a^{-1}_{ij}\)が\(a^{-1}_{ij}\)の逆行列である場合、\(a^{-1}_{ij}\)が\(a^{-1}_{ij}\)の逆行列である場合、\(a^{-1}_{ij}\)前述のように、\(A_{ij}\)も\(A^{-1}_{ij}\)も技術的には行列自体ではないため、これはおそらく厳密には正しくないことに注意してください。それらは行列の成分にすぎません。 ああまあ。..
逆行列は、
\
行列逆ウェブページを使用して計算することができます
このページは、3×3行列の逆行列を計算します。
の転置の逆の転置。..
行列の転置の逆行列は、行列の逆行列の転置に等しい。 順序は問題ではないので、二重演算は\({\bf{A}}!{\!})と略記されます。-T}\).
\
行列の加算
行列とテンソルは、ベクトルと同じようにコンポーネントごとに追加されます。これはテンソル表記で簡単に表現できます。
\
行列乗算（内積）
二つの行列の内積は、第一の各行に第二の各列を乗算します。 製品は行列表記のドットで\({\bf a}\cdot{\bf B}\)と書かれることが多いが、ドットなしで\({\bf a}{\bf B}\)と書かれることもある。 乗法規則は実際にはテンソル記法によって最もよく説明されます。
\
（テンソル表記ではドットは使用されていないことに注意してください。 両方の因子の\(k\)は、最初の行列のi番目の行に2番目の行列のj番目の列を乗算した
\
を自動的に意味します。 たとえば、\(c_{23}\)を計算したい場合、\(i=2\)と\(j=3\)、および\(H3>行列乗算Webページこのページは、2つの3×3行列の内積を計算します。
行列乗算は可換ではない
行列乗算は可換ではないことを認識することは非常に重要です。
\
積の転置と逆数
積の転置は逆の順序で転置の積に等しく、積の逆数は逆の順序で逆の積に等しい。
“逆の順序で”が重要であることに注意してください。これは変形の勾配および緑の緊張のセクションで広く使用されます。
\
これは複数の製品にも適用されます。 たとえば、
\
自身の転置を持つ積
行列とそれ自身の転置の積は常に対称行列です。\({\bf A}T T\cdot{\bf A}\)と\({\bf a}\cdot{\bf a}T T\)はどちらも対称ですが、結果は異なります。これは変形の勾配および緑の緊張のセクションで広く使用されます。
二重内積
二つの行列の二重内積はスカラーを生成しますresult.It 行列表記では\({\bf A}:{\bf B}\)と書かれています。連続力学の外ではめったに使用されないが、実際には線形弾性の高度な応用では非常に一般的である。 たとえば、\({1\over2}\sigma:\epsilon\)は、小さなスケールの線形弾性でひずみエネルギー密度を与えます。繰り返しますが、その計算はテンソル表記で最もよく説明されます。\(i\)と\(j\)の添字は両方の因子に現れるので、両方とも合計されて
\