基本的な確率ルール

例: P>{HHH,THH,HTH,HHT,HTT,THT,TTH,TTT}

次のイベントを定義しましょう。

イベントA:”Hを取得しない”

イベントB:”hを取得する”

イベントC:”少なくともhを取得する”

イベントB:”hを取得する”

イベントC:”hを取得する”

イベントC:”hを取得する”

イベントC:”hを取得する”

イベントC:”hを取得する”

イベントC:”hを取得する”

イベントC:”hを取得する”

イベントC:”hを取得する”

イベントC:”hを取得する”

イベントC:”hを取得する”p>各イベントは、実際に実験が生成しようとしている結果についての声明であることに注意してください。 実際には、各イベントは、可能な結果のいくつかのコレクション（サブセット）に対応します。イベントA：「Hがない」→TTT

イベントB：「Hがない」→TTT

イベントB：「Hがない」→TTT

: “正確に一つのHを取得”→HTT、THT、TTH、THH、HTH、HHT、HHH

イベントC：”少なくとも一つのHを取得”→HTT、THT、TTH、THH、HTH、HHT、HHH

ここでは、イベントA、B、Cの視覚的表現です。

イベントのこの視覚的な表現から、イベントBのすべての結果がイベントCの結果でもあるという意味で、イベントBがイベントCに完全に含まれていることが簡単にわかります。また、イベントAは、共通の結果がない、または重複がないという意味で、イベントBとCとは離れていることに注意してください。 この時点では、これらは注目すべき観測に過ぎませんが、後で発見するように、それらは非常に重要なものです。新しいイベントを追加した場合はどうなりますか：

イベントD: “最初のトスでTを取得する”→THH、THT、TTH、TTT

上の図にイベントDを追加した場合、どのように見えますか？ （答えへのリンク）

覚えておいてください、HとTは各トスで均等に可能性が高く、8つの可能な結果があるので、各結果の確率は1/8です。

確率についてこれまでに学んだことと一緒に、図や各イベントの結果のリストを使用して、次の質問に答えることができるかどうかを確認しp>

コメント：

• イベントCでは、「少なくとも1つのヘッドを取得する」という可能性のある結果が1つしかないことに注意してくださ 確率規則、特に補数規則について話すときに、これを再び取り上げます。 この時点で、このシナリオでは、これら2つのイベントがどのように「反対」であるかを考えてみてください。可能性のある結果を列挙できるという理由だけで、これは各結果が均等に可能性が高いことを意味するものではないことを認識することは非常

  これは、前のページで提供した毎日のショークリップの（面白い）メッセージです。 しかし、これについてもう一度考えてみましょう。 そのクリップでは、Walterは2つの可能な結果があるので、確率は0.5であると主張しています。 二つの可能な結果は、

  • 世界が原因で大ハドロン衝突型加速器の使用に破壊されます
  • 世界が原因で大ハドロン衝突型加速器の使用に破壊されません

  うまくいけば、これら二つの結果が均等に可能性がないことは明らかです！!

  より一般的な例を考えてみましょう。

  例：先天性欠損症

  我々はランダムに三つの子供を選択し、我々は子供のいずれも任意の先天性欠損を持っていない確率に興味があ

  私たちは、子供が先天性欠損症で生まれたことを表すためにDという表記を使用し、nは先天性欠損症で生まれた子供を表すために使用します。

  コイントスで行ったのと同じように、可能な結果をリストすることができます。

  {DDD、NDD、DND、DDN、DNN、NDN、NND、NNN}

  イベントDDD（三人の子供はすべて先天性欠損症で生まれている）とNNN（子供のどれも先天性欠損症で生まれていない）も同様に可能性が高いですか？P(NNN)がP(DDD)よりもはるかに大きいことは合理的です。これは、P（N）とP（D）が同じ可能性の高いイベントではないためです。ランダムに選択された子供が先天性欠損症で生まれることはまれです（確かに50％ではありません）。

  確率のルール

  ここでは、確率の基本的なルールのいくつかを学ぶことに移ります。

  幸いなことに、これらのルールは非常に直感的であり、体系的に適用される限り、より複雑な問題、特に直感が不十分な問題を解決することができます。

  あなたが見つけるように求められる確率のほとんどは、

  • ロジックとカウント

  と

  • 私たちが学ぶルール、

  私たちは原則として次のア

  原則：

  ロジックとカウントを使用して確率を計算できる場合は、確率ルールは必要ありません（正しいルールは常に適用できますが）

  確率ルールOne

  最初のルールは、単に私たちがすでに学んだ確率の基本的な性質を思い出させます。

  発生する可能性を通知するイベントの確率は、0（イベントが発生しないことを示す）から1（イベントが特定であることを示す）の範囲です。

  確率ルール1：

  • 任意のイベントAに対して、0≤P（A）≤1。

  注：このルールの実用的な使用法の1つは、1を超える（または0未満）と判明した確率計算を正しくないと識別するために使用できる

  他のルールに進む前に、最初に次のいくつかのルールを説明するためのコンテキストを提供する例を見てみましょう。

  例：血液型

  前述したように、すべての人間の血液はO、A、B、またはABとして入力できます。

  さらに、これらの血液型の発生頻度は、民族や人種によって異なります。スタンフォード大学の血液センター（bloodcenter。スタンフォードだedu）、これらは米国におけるヒト血液型の確率である（タイプAの確率は意図的に省略されている）：

  

  ルール2の動機付けの問 血液型Aを持つ人の確率は何ですか？

  答え

  答えp: 私たちの直感は、O、A、B、ABの4つの血液型がすべての可能性を使い果たしているので、それらの確率は一緒に1に合計しなければならず、これは”特定の”

  O、B、およびABの確率は一緒に合計されるため、次のようになります。

  0.44 + 0.1 + 0.04 =0.58、タイプAの確率は残りでなければなりません0.42 (1 – 0.58 = 0.42):

  

  確率ルールTwo

  この例は、すべての可能な結果の確率が一緒に1でなければならないことを教えてくれる私たちの第二のルールを示しています。

  確率ルール2：

  すべての可能な結果の確率の合計は1です。これは、Exploratory Data Analysis（EDA）セクションで学んだこととここでやっていることを比較し、対比するのに適した場所です。

  • この問題では、本質的に単一のカテゴリ変数に焦点を当てていることに注意してください：血液型。
  • この変数は、EDAセクションで単一のカテゴリ変数を要約したように、変数が取る値とそれらを取る頻度を一覧表示することによって、上に要約しました。
  • EDAではパーセンテージを使用しましたが、ここでは確率を使用していますが、2つは同じ情報を伝えます。
  • EDAセクションでは、単一のカテゴリ変数が含まれている場合に円グラフが適切な表示を提供することを学びました。:

  

  ここでやっていることは確かにEDAセクションでやったことと似ていますが、基礎となる状況の間には微妙ですが重要な違いがあ

• ここでは、各血液型の確率を提示するとき、米国の人々の人口全体を念頭に置いており、関心のある変数によって取られた値の全体的な頻度を知っていると仮定しています。

ここで理解すべき重要な点は、”イベントAは発生しません”は、Aにないすべての可能な結果で構成される別個のイベントであり、”aの補 ここでは、イベントAとその補完イベント”not A”が一緒にすべての可能な結果を表す方法を視覚的に表現しています。

確率ルールThree(補数ルール):

• P(not A)=1–P(A)
• つまり、イベントがある確率は次のようになります。

  確率ルールThree(補数ルール):

  • P(not A)=1-P(A)
  • つまり、イベントがある確率は次のようになります。発生しない確率は、1から発生する確率を引いたものです。例：血液型

    血液型の例に戻る：

    

    ここではいくつかの追加情報があります：

    • 型を持つ人aは、a型またはab型の人に血液を寄付することができます。
    • B型の人は、b型またはAB型の人に血液を寄付することができます。
    • AB型の人は、AB型の人にのみ血液を寄付することができます。
    • O型の血液を持つ人は誰にでも寄付することができます。無作為に選ばれた人が誰にも血液を寄付できない確率は何ですか？

    無作為に選ばれた人が誰にも血液を寄付できない確率は？ 言い換えれば、ランダムに選ばれた人が血液型O型を持っていない確率は何ですか？ P（Oではない）を見つける必要があります。 補数規則を使用すると、P（not O）=1–P（O）=1–0.44=0.56となります。 つまり、米国人口の56％が血液型Oを持っていない：

    

    明らかに、我々はまた、B、AB、およびAの確率を追加することによ:補数規則P(not A)=1–P(A)はP(A)=1-P(not A)として再定式化できることに注意してください。

    • P(not A)=1–P(a)
    • は、P(a)=1-P(not A)として再定式化することができます。
    • この一見些細な代数的操作は重要な応用を持ち、実際には補数規則の強さを捉えています。場合によっては、P（A）を直接見つけることが非常に複雑な場合、p（aではない）を見つけてから1から減算して目的のP（A）を取得する方がはるかに簡
    • 私たちはすぐにこのコメントに戻って、追加の例を提供します。

  • 補数ルールは、イベント自体ではなくイベントの補数の確率を計算する方が簡単な場合に便利です。

  • 注意してください、我々は再びフレーズを使用しました”少なくとも一つ。”
  • 今、私たちは、”少なくとも一つ…”の補数が”なし…”または”いいえ….”であることを見てきました。”（我々はイベントが”反対”されているという点で前述したように）。
  • 上記の活動では、
    • P(これら二つの副作用のどれも)=1–P(これら二つの副作用の少なくとも一つ)
  • これは、問題の”少なくとも一つ”という句で認識できる補数規則の一般的な適用である。

  複数のイベントを含む確率

  • P(aまたはB)=P(イベントAが発生するか、イベントBが発生するか、またはその両方が発生する)
  • P(aおよびB)=P(イベントAが発生するか、イベントBが発生するか、またはその両方が発生する)

  用語の共通の問題は、私たちが日常生活の中で”or”をどのように考えるかに関するものです。 たとえば、親がおもちゃ店で子供に”おもちゃAまたはおもちゃBが欲しいですか？「これは、子供が1つのおもちゃだけを手に入れようとしていることを意味し、彼または彼女はそれらの間で選択する必要があります。 両方のおもちゃを得ることは、通常、オプションではありません。これとは対照的に、

  確率では、”OR”はどちらか一方または両方を意味します。つまり、p(a or B)=P(event a occurs or event B occurs or BOTH occurs)

  と言っても、2つのイベントが両方とも同時に発生することは単に不可能な場合があることに注意してくださ

  確率ルールFour

  一緒に起こることができるイベントとできないイベントの区別は重要なものです。p>

  互いに素: 同時に発生できない2つのイベントは、disjointまたは相互に排他的と呼ばれます。 （私たちはdisjointを使用します。)

  

• 最初のケースでは、イベントが互いに素でない場合、P(a and B)≤0
• 2番目のケースでは、イベントが互いに素である場合、P(a and B)=0です。 ここでは2つの例があります：

  例:

  次の二つのイベントを考えてみましょう：

  a—ランダムに選択された人は血液型Aを持っており、

  B—ランダムに選択された人は血液型Bを持っています。

  まれに、人が自分の静脈を流れる複数のタイプの血液を持つことは可能ですが、私たちの目的のために、それぞれの人が一つの血液型しか持つことができないと仮定します。 したがって、事象Ａと事象Ｂが一緒に発生することは不可能である。

  • イベントAとBは互いに素です

  一方、…

  例:

  次の2つのイベントを考えてみましょう：

  a—無作為に選ばれた人は血液型A

  b—無作為に選ばれた人は女性です。

  b-無作為に選ばれた人は女性です。

  B-無作為に選ばれた人はこの場合、イベントAとBが一緒に発生する可能性があります。

  この場合、イベントAとBが一緒に発生する可能性があります。

  • イベントAとBは互いに素ではありません。

  ベン図は、互いに素なイベントと非互いに素なイベントについて考える別の方法は、互いに素なイベントが重複しないことを示唆し 彼らは可能な結果のいずれかを共有していないので、一緒に起こることはできません。一方、互いに素ではないイベントは、可能な結果の一部を共有しているため、同時に発生する可能性があるという意味で重複しています。

  ここでは、互いに素なイベントのP(aまたはB)を見つけるための簡単なルールから始めます。

  確率ルール4（互いに素なイベントの加算ルール）：

  • AとBが互いに素なイベントである場合、P（aまたはB）=P（A）+P（B）。

  コメント：

  • 確率を扱うとき、単語”or”は常に加算の操作に関連付けられます。