Magic Square

A magic square is a square array of numbers consisting of the distinct positive integers 1, 2, …, úgy elrendezve, hogy az összeg a számok bármely vízszintes, függőleges, vagy fő átlós vonal mindig ugyanazt a számot (Kraitchik 1942,. o. 142; Andrews 1960, p. 1; Gardner 1961, p. 130; Madachy 1979, p. 84; Benson meg Jacoby 1981, p. 3; Labdát, majd Coxeter 1987, p. 193), ismert, mint a mágia állandó

Ha minden szám egy bűvös négyzet levonják a , hogy egy másik mágikus teret nyert az úgynevezett kiegészítő bűvös négyzet. Az 1-től kezdődő egymást követő számokból álló négyzetet néha “normál” mágikus négyzetnek nevezik.

a harmadik rend egyedi normál négyzetét az ősi kínaiak ismerték, akik Lo Shu-nak hívták. A rend-4 bűvös négyzet változata a 15-ös és 14-es számokkal az alsó sor szomszédos középső oszlopaiban Dürer bűvös négyzetének nevezik. Mágikus négyzetek sorrendben 3-8 fent látható.

A mágia állandó egy ik érdekében általános bűvös négyzet kezdve egy egész szám , majd a bejegyzések növekvő számtani sorozat különbség között feltételek

(Vadász, illetve Madachy 1975).

megoldatlan probléma az önkényes rendű mágikus négyzetek számának meghatározása, de a , 2, sorrendű különálló mágikus négyzetek száma (a forgással és visszaverődéssel kapott négyzetek kivételével)… vannak 1, 0, 1, 880, 275305224, … (OEIS A006052; Madachy 1979, 87. o.). A 4.rend 880 négyzetét 1693-ban Bessy Frénicle de Bessy felsorolta, és a Berlekamp et al. (1982, 778-783. o.). A mágikus négyzetek számát R. Schroeppel számította ki 1973-ban. A négyzetek száma nem ismert, de Pinn és Wieczerkowski (1998) becslése szerint Monte Carlo szimuláció és statisztikai mechanika módszereinek felhasználásával. Módszerek felsorolására mágikus négyzetek tárgyalja Berlekamp et al. (1982) és a MathPages honlapján.

egy négyzet, amely csak azért nem varázslatos, mert az egyik vagy mindkét fő átlós összeg nem egyenlő a mágikus állandóval, félmagos négyzetnek nevezik. Ha az összes átló (beleértve azokat is, amelyeket körbevettek) egy mágikus négyzet összegéből a mágikus állandóhoz, akkor a négyzetről azt mondják, hogy panmagic négyzet (más néven ördögi négyzet vagy pandiagonális négyzet). Ha minden számot négyzetével egy másik mágikus négyzetet állít elő, akkor a négyzet egy bimagikus négyzet (vagy kétszeresen mágikus tér). Ha egy négyzet a , és , akkor trimágikus négyzetnek (vagy trebly magic square) nevezzük. Ha az összes számpár szimmetrikusan ellentétes a középső összeggel , akkor a négyzet asszociatív mágikus négyzet.

azok a négyzetek, amelyek összeadás helyett a szorzás alatt varázslatosak, felépíthetők, és szorzási mágikus négyzetekként ismertek. Ezen kívül, négyzetek, amelyek a mágia alatt mind összeadás és szorzás lehet kialakítani, és az úgynevezett összeadás-szorzás mágikus négyzetek (Hunter and Madachy 1975).

Kraitchik (1942) általános technikákat ad a páros és páratlan négyzetek felépítésére. A odd esetében egy nagyon egyszerű, sziámi módszerként ismert technika használható, amint azt a fentiekben bemutattuk (Kraitchik 1942, 148-149.o.). Úgy kezdődik, hogy az 1-et a felső sor középső négyzetébe helyezi, majd fokozatosan a következő számokat a négyzetbe helyezi egy egység felett és jobbra. A számlálás körül van tekerve, úgy, hogy leesik a felső visszatér az alsó és leesik a jobb visszatér a bal oldalon. Ha egy már kitöltött négyzet találkozik, a következő szám helyett az előző alá kerül, a módszer pedig folytatódik, mint korábban. A módszer, más néven de la Loubere módszere, állítólag először nyugaton jelentették be, amikor De la Loubere visszatért Franciaországba, miután Siam nagyköveteként szolgált.

Egy általánosítása ez a módszer egy “rendes vektor” ad az ofszet minden noncolliding mozgás, illetve egy “break-vektor” ad az ofszet bemutatni egy ütközés után. A standard sziámi módszer tehát rendes vektorral (1, és törésvektorral (0, 1) rendelkezik. Annak érdekében, hogy ez egy mágikus négyzetet hozzon létre, minden törési lépésnek egy nem kitöltött cellára kell kerülnie. A bűvös négyzetek speciális osztályai a és . Hívja ezeknek a számoknak a készletét a sumdiffs (összegek és különbségek). Ha az összes sumdiff viszonylag prímszám és a négyzet egy mágikus tér, akkor a tér is panmagic tér. Ez az elmélet származik de la Hire. Az alábbi táblázat a rendes és törésvektorok adott választásainak összegeit tartalmazza.

a páratlan rendű mágikus négyzetek generálásának második módszerét J. H. Conway tárgyalta a” cukorka ” módszer néven. Amint azt a fentiekben bemutattuk, ebben a módszerben a páratlan számok a négyzet középső részén gyémánt alakú átlós vonalak mentén épülnek fel. A kihagyott páros számokat ezután egymás után adják hozzá a négyzet köré tekerve kapott átló folytatása mentén, amíg a becsomagolt átló el nem éri a kiindulási pontot. A fenti téren az első átló tehát kitölti 1, 3, 5, 2, 4, a második átló kitölti 7, 9, 6, 8, 10, és így tovább.

egy elegáns módszer a kétszeres páros rendű mágikus négyzetek építésére s minden subsquare és töltse ki az összes négyzetet egymás után. Ezután cserélje ki az egyes bejegyzéseket áthúzott átlón vagy egyenértékűen fordítsa meg az áthúzott bejegyzések sorrendjét. Így a fenti példában , az áthúzott számok eredetileg 1, 4, …, 61, 64, tehát az 1.bejegyzés helyébe a 64., a 4., a 61. stb. lép.

egy nagyon elegáns módszer a páros rendű mágikus négyzetek építésére (a 2.rend mágikus négyzete nincs) J. H. Conway-nek köszönhető, aki “LUX” módszernek nevezi. s, 1 sornyi amerikai és s, teljes hossz . Cserélje ki a középső U-t az L felett. Most generálja a mágikus négyzetet A sziámi módszerrel, amely a betűk tömbjére összpontosít (a felső sor középső négyzetétől kezdve), de töltse ki a betűt körülvevő négy négyzet mindegyikét egymás után a betű által előírt sorrend szerint. Ezt a sorrendet a fenti ábra bal oldalán szemléltetjük, a befejezett négyzetet pedig jobbra szemléltetjük. Az L, U és X betűk” alakjai ” természetesen a kitöltési sorrendet sugallják, innen ered az algoritmus neve.

variációk mágikus négyzetek is kialakítható betűk (akár meghatározó a tér vagy bejegyzések benne), mint például az alphamagic tér és templar magic square.

a mágikus négyzetekhez különböző numerológiai tulajdonságok is társultak. Pivari a fenti négyzeteket a Szaturnuszhoz, a Jupiterhez, a Marshoz, a Naphoz, a Vénuszhoz, a Merkúrhoz és a Holdhoz társítja. Vonzó mintákat kapunk összekapcsolásával egymást követő számok az egyes négyzetek (kivéve a nap mágikus tér).