Bevezetés
- Ha ez egy fizikai mennyiség, mint a stressz, akkor általában tenzornak hívják.Ha ez nem fizikai mennyiség, akkor általában mátrixnak nevezik.
- a mérnöki tenzorok túlnyomó többsége szimmetrikus. Az egyik közös mennyiség, amely nem szimmetrikus, és nem tenzor, egy rotációs mátrix.
- a tenzorok valójában bármilyen fizikai mennyiség, amelyet skalár, vektor vagy mátrix ábrázolhat.A nulla rendű tenzorokat, mint a tömeget, skalároknak nevezik, míg az 1.rendű tenzorokat vektoroknak nevezik.Példák a magasabb rendű tenzorok közé tartozik a stressz, törzs, merevség tenzorok.
- a mátrix vagy a tenzor sorrendje vagy rangja az alkönyvtárak száma. A vektor egy 1. rangú tenzor. A 3×3 stress tensor a 2. helyezés.
- koordináta transzformációk tenzorok részletesen tárgyaljuk itt.
Identitásmátrix
az identitásmátrix
\]
Az identitásmátrix szorzata olyan, mint egy szorzata.
Tensor jelölés
az identitásmátrix a tensor jelölésben egyszerűen \ (\delta_{ij} \).Ez a Kronecker-Delta, amely egyenlő 1 Ha \ (i = j \) és 0 egyébként.
ez egy mátrix vagy sem?
egy megjegyzés a puristáktól… Az identitásmátrix egy mátrix, de a Kronecker deltatechnikailag nem. \ (\delta_{ij}\) egy skalár érték, amely a \(i\) és \(j\) értékektől függően 1 vagy 0. Ez az oka annak is, hogy a tenzor jelölés nem félkövér, mert mindig a tenzorok egyes összetevőire utal,de sohaa tenzor egészére.
kövesse ezt a linket egy szórakoztató beszélgetéshez valaki, aki ezt állítja, és valaki más, aki nem.
átültetés
A mátrix átültetése tükrözi összetevőit a fő átlóról. A mátrix \({\bf a}\) átírása \ ({\Bf a}^{ \ !T}\).
Transpose Example
\,\qquad\text{then}\qquad{\bf a}^{\!T} = \ bal\]
Tensor jelölés
A \(a_{IJ}\) átültetése \(A_{j\, i}\).
determinánsok
a mátrix determinánsa det(\({\bf a}\) vagy \(|{\bf a}|\), és
\
Ha a tenzor vagy mátrix determinánsa nulla, akkor nincs inverse.
tenzor jelölés
a determináns kiszámítása tenzorjelöléssel írható néhány különböző módon
\ a két mátrix termékének meghatározója megegyezik a két mátrix determinánsainak termékével. Más szóval,
\
a deformációs gradiens meghatározója ada differenciálelem kezdeti és végső térfogatának aránya.
inverzek
A mátrix \({\bf a}\) inverzét \({\bf a}^{ \ !-1}\) és a következő nagyon fontos tulajdonsággal rendelkezik (lásd az alábbi mátrixszorzási szakaszt)
\
Ha \ ({\bf B}\) a \({\bf a}\) inverze, akkor
\
Tensor jelölés
A \(a_{ij}\) inverse gyakran \(a^{-1}_{ij}\).Ne feledje, hogy ez valószínűleg nem szigorúan helyes, mivel a korábban tárgyalt módon sem a \(a_{IJ}\), sem a \(A^{-1}_{IJ}\) nem technikailag mátrixok.Ezek csak egy mátrix összetevői. Ó, hát…
az inverz kiszámítható a
\
Matrix inverz Web
segítségével ez az oldal kiszámítja a 3×3 mátrix inverzét.
.. A mátrix transzpozíciójának inverze megegyezik a mátrix inverzének átültetésével. Mivel a megrendelés nem számít, a kettős művelet rövidítésegyszerűen \({\bf{a}}^{\!- T}\).
\
Matrix Addition
mátrixok és tenzorok hozzá komponensenként, mint vektorok.Ez könnyen kifejezhető a tenzor jelölésben.
\
mátrix szorzás (Dot Products)
két mátrix pontterméke az első sorait a második oszlop minden egyes oszlopával megszorozza. A termékeket gyakran mátrix jelöléssel írják\( {\bf a} \cdot {\bf b}\), de néha pont nélkül írják \ ({\bf a} {\bf B}\). Multiplicationrules valójában a legjobban magyarázható tenzor jelölés.
\
(vegye figyelembe,hogy a tenzor jelölésben nincs pont.) A\ (k\) mindkét tényezőben automatikusan
\
– t jelenti, amely az első Mátrix I.sora, szorozva a második mátrix J. oszlopával. Ha például \(C_{23}\), akkor \(i=2\) és \(j=3\), és
\
Matrix szorzás weboldal
ez az oldal két 3×3 mátrixból álló pontterméket számít ki.
A Mátrixszorzás nem kommutatív
nagyon fontos felismerni, hogy a mátrixszorzás nem kommutatív, azaz nem kommutatív.
\
termékek átültetése és inverzei
egy termék átültetése fordított sorrendben egyenlő az átültetés termékével, és egy termék inverz értéke fordított sorrendben egyenlő az inverzek termékével.
vegye figyelembe, hogy a” fordított sorrendben ” kritikus.Ezt széles körben alkalmazzák a deformációs gradiensekre és a zöld törzsekre vonatkozó szakaszokban.
\
ez több termékre is vonatkozik. Például
\
saját Transzpose
egy mátrix és saját transzpose terméke mindig szimmetrikus mátrix.\({\bf a}^T \ cdot {\bf a}\) és \({\bf a} \cdot {\bf a}^T\)mindkettő szimmetrikus, bár eltérő eredményt ad.Ezt széles körben alkalmazzák a deformációs gradiensekre és a zöld törzsekre vonatkozó szakaszokban.
Double Dot Products
két mátrixból álló double dot termék skalárt eredményez result.It mátrix jelölésben van írva, mint \({\bf a}: {\bf B}\).Bár ritkán használják kívül kontinuum mechanika, valójában elég gyakori a fejlett alkalmazásoklineáris rugalmasságát. Például \ ({1 \over 2} \sigma : \epsilon\) a törzs energiasűrűségét kis léptékű lineáris rugalmasságban adja meg.Még egyszer, a számítás a legjobban magyarázható tenzor jelölés.
\
mivel a\ (i\) és a\ (j\) alkönyvtárak mindkét tényezőben megjelennek, mindkettőt úgy összegzik, hogy
\