határtalan Algebra

A változás mértéke

lineáris függvények vonatkoznak az állandó sebességgel járó valós problémákra.

a változás mértéke

a lineáris egyenletek gyakran tartalmaznak változási sebességet. Például azt a sebességet, amelyen a távolság idővel változik, sebességnek nevezzük. Ha két pont az időben, és a teljes megtett távolság ismert a változás mértéke, más néven lejtőn, lehet meghatározni. Ebből az információból lineáris egyenletet lehet írni, majd előrejelzéseket lehet készíteni a vonal egyenletéből.

Ha az egység vagy mennyiség, amelyhez valami változik, nincs megadva,általában az arány egységnyi idő. A leggyakoribb típusú sebesség “egységnyi idő”, mint például a sebesség, a pulzusszám és a fluxus. A nem-idő nevezővel rendelkező arányok közé tartoznak az árfolyamok, az írástudási arányok, valamint az elektromos mező (volt/méterben).

a sebesség mértékegységeinek leírásakor a “per” szót használják a sebesség kiszámításához használt két mérés egységeinek elválasztására (például a pulzusszámot “percenként ütem” – ként fejezik ki).

változás mértéke: Real World alkalmazás

egy sportoló kezdődik ő normális gyakorlat a következő maratoni este. Este 6 – kor elkezd futni és elhagyja az otthonát. 7:30-kor a sportoló otthon fejezi be a futást, összesen 7,5 mérföldet futott. Milyen gyors volt az átlagos sebessége a futás során?

a változás sebessége a futás sebessége; távolság az idő múlásával. Ezért a két változó az idő (x) és a távolság (y). Az első pont a házában van, ahol az órája 6:00-kor olvasható. Ez az első alkalom, tehát állítsuk 0-ra. Tehát az első pontunk (0,0), mert még nem futott sehova. Gondolkodjunk órákon belül az időnkön. A második pontunk 1,5 órával később volt, és 7,5 mérföldet futottunk. A második pont (1,5,7,5). A sebességünk (a változás sebessége) egyszerűen a két pontot összekötő vonal lejtése. A meredekség, amelyet: m = \ frac{Y_{2} – y_{1}}{x_{2} – x_{1}}}} AD, m = \frac{7.5} {1.5}=5 mérföld / óra.

példa: Grafikonozza a

értéket, ehhez az egyenlet megírásához az y-intercept és a meredekség szükséges. A lejtő 5 mérföld / óra volt, és mivel a kiindulási pont (0,0) volt, az y-intercept 0. Tehát a végső függvényünk y = 5x.

ezzel az új funkcióval most már válaszolhatunk néhány további kérdésre.

• hány kilométert futott az első fél óra után? Az egyenlet segítségével, ha x=\frac{1}{2}, oldja meg y. ha y=5x, akkor y = 5 (0,5)=2,5 mérföld.
• Ha összesen 3 órán keresztül ugyanabban a tempóban futott, hány mérföldet fog futni? Ha x=3, oldja meg y. ha y = 5x, akkor y = 5 (3)=15 mérföld.

sok ilyen alkalmazás létezik a lineáris egyenletekhez. Bármi, ami állandó változási sebességet jelent, szépen ábrázolható a lejtővel ellátott vonallal. Valóban, amíg csak két pontod van, ha tudod, hogy a függvény lineáris, akkor grafikonozhatod, és elkezdhetsz kérdéseket feltenni! Csak győződjön meg róla, amit kér, és grafikon van értelme. Például a maratoni példában a domain valójában csak x \ geq0, mivel nincs értelme negatív időben menni, mérföldeket veszíteni!

lineáris matematikai modellek

lineáris matematikai modellek valós alkalmazásokat írnak le vonalakkal.

matematikai modellek

matematikai modell közötti lineáris kapcsolat modellezése egy matematikai fogalmakat és nyelvet használó rendszer leírása. A matematikai modelleket nemcsak a természettudományokban és a mérnöki tudományokban, hanem a társadalomtudományokban is használják. A lineáris modellezés magában foglalhatja a népesség változását, a telefonhívások költségeit, a kerékpár bérlésének költségeit, a súlykezelést vagy az adománygyűjtést. A lineáris modell tartalmazza a változás sebességét (m) és a kezdeti összeget, az y-intercept b-t. Miután a modell meg van írva, és egy grafikon a vonal készül, vagy lehet használni, hogy előrejelzéseket viselkedés.

valós élet lineáris modell

sok mindennapi tevékenység matematikai modellek használatát igényli, talán öntudatlanul. A matematikai modellek egyik nehézsége abban rejlik, hogy a valós alkalmazást pontos matematikai ábrázolássá fordítják.

Példa: mozgó kisteherautó bérlése

egy kölcsönző cég 30 dollár átalánydíjat, mérföldenként pedig további 0, 25 dollárt számít fel egy mozgó kisteherautó bérlésére. Írjon egy lineáris egyenletet az Y (dollárban) költségének megközelítésére x, a megtett mérföldek száma szempontjából. Mennyibe kerülne egy 75 mérföldes utazás?

az lejtőn lehallgatott formája egy lineáris egyenlet, a teljes költség jelölt y (függő változó), valamint a km feliratú x (független változó):

\displaystyle y=mx+b

A teljes költség megegyezik a sebesség / mérföld-ször több km-t vezettem, plusz a költségek az átalánydíj:

\displaystyle y=0.25 x+30

számítani a költség 75 mérföldes utazás, helyettesítő 75 x az egyenlet:

\displaystyle \begin{align} y&=0.25 x+30\\ &&&=48.75 \end{align}

az Igazi élet Modell Több Egyenletek

Az is lehetséges, hogy a modell több vonalak, valamint az egyenletek.

példa

kezdetben az A és B vonatok 325 mérföldre vannak egymástól. Az A vonat a B felé halad 50 mérföld / óra sebességgel, a B vonat pedig az a felé halad 80 mérföld / óra sebességgel. Mikor találkozik a két vonat? Ebben az időben milyen messzire utaztak a vonatok?

először a vonatok kiindulási helyzetével kezdődik, (y-intercepts, b). A vonat indul az eredete, (0,0). Mivel a B vonat kezdetben 325 mérföldre van az a vonattól, helyzete (0,325).

másodperc, annak érdekében, hogy az egyes vonatok teljes távolságát az idő szempontjából reprezentáló egyenleteket írjuk, számítsuk ki az egyes vonatok változási sebességét. Mivel az A vonat a B vonat felé halad, amelynek y értéke nagyobb, az a vonat változási sebességének pozitívnak és 50-es sebességével egyenlőnek kell lennie. A B vonat az A felé halad, amelynek kisebb y értéke van, így a B negatív változás: -80.

a két vonal tehát:

\displaystyle y_A = 50x\ \

és:

\displaystyle y_B = −80x+325

a két vonat találkozik, ahol a két vonal metszi egymást. Megtalálni, ahol a két vonal adatbázis beállítása az egyenletek egyenlő egymással, majd oldja meg a x:

\displaystyle y_{A}=y_{B}

\displaystyle 50x=-80x+325

Megoldása az x ad:

\displaystyle x=2.5

A két vonat után találkozunk 2,5 óra. Ha meg szeretné találni, hol van, csatlakoztassa a 2.5-öt mindkét egyenlethez.

dugja be az első egyenlet ad nekünk 50 (2.5)=125, ami azt jelenti, hogy megfelel után utazik 125 mérföld.

itt van a távolság versus time grafikus modell a két vonat:

egy görbe illesztése

a vonalhoz illeszkedő görbe megpróbál rajzolni egy vonalat úgy, hogy” a legjobban illeszkedjen ” az összes adathoz.

görbe illesztése

a görbe illesztése egy görbe vagy matematikai függvény felépítésének folyamata, amely a legjobban illeszkedik az adatpontok sorozatához, esetleg korlátozásoknak kitéve. A görbe illesztése magában foglalhatja az interpolációt, ahol az adatokhoz való pontos illeszkedés szükséges, vagy simítás, amelyben egy “sima” funkció van kialakítva, amely megközelítőleg megfelel az adatoknak. Az illesztett görbék felhasználhatók adatvizualizációs segédeszközként, egy olyan függvény értékeinek következtetésére, ahol nincs adat, valamint két vagy több változó közötti kapcsolatok összegzésére. Az extrapoláció a megfigyelt adatok tartományán túlmutató illesztett görbe használatára utal, és nagyobb fokú bizonytalanságnak van kitéve, mivel tükrözheti a görbe felépítéséhez használt módszert, amennyire tükrözi a megfigyelt adatokat.

ebben A szakaszban már csak illeszkedő sorokat adatokat, de meg kell jegyezni, hogy egy fér polinom függvények, körök, darab-bölcs funkciókat, valamint számos funkciót, hogy adatokat egy erősen használt téma a statisztika.

lineáris regressziós képlet

a lineáris regresszió egy függő változó, y és egy független változó közötti lineáris kapcsolat modellezésének megközelítése, x. lineáris regresszióval, egy lejtő-elfogott formában lévő vonal, y=mx+b azt találjuk, hogy “a legjobban illeszkedik” az adatokhoz.

a legegyszerűbb és talán leggyakoribb lineáris regressziós modell a rendes legkisebb négyzetek közelítése. Ez a közelítés megpróbálja minimalizálni az összegeket a négyzet távolság a vonal és minden pont.

\ displaystyle m=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}\sum_{j=1}^{n}y_{j}}{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}^{2})-\frac{1}{n}(\sum_{i=1}^{n}x_{i})^{2}}

a legjobban illeszkedő vonal meredekségének megállapításához számítsa ki a következő lépéseket:

1. az x és y koordináták szorzatának összege \sum_{i=1}^{n}x_{i}Y_{i}.
2. az X-koordináták összege \sum_{i=1}^{n}x_{i}.
3. az y-koordináták összege \sum_{j=1}^{n}Y_{j}.
4. az X-koordináták négyzeteinek összege \sum_{i=1}^{n}(x_{i}^{2}).
5. az X-koordináták négyzetének összege (\sum_{i=1}^{n}x_{i})^{2}.
6. a számláló és a nevező hányadosa.

\displaystyle \begin{align} b&= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} Y_{1} – m \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i} \\ &= \bal (\Bar{y} – m \bar{x} \right) \end{align}

az y-intercept (B) megtalálásához számítsa ki a következő lépéseket:

1. az Y-koordináták átlagát. Let \ bar{y}, ejtsd y-bar, képviseli az összes adatpont átlagos (vagy átlagos) y értékét: \bar y =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} Y_{i}.
2. az X-koordináták átlaga. \ Bar{x}, ejtsd x-bar, az összes adatpont átlagos (vagy átlagos) x értéke: \bar x=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_{i}.
3. cserélje ki az értékeket a fenti képletbe b = \ bar{y} – m \ bar{x}.

ezeknek az m és b értékeknek a felhasználásával most van egy sorunk, amely közelíti a grafikonon lévő pontokat.

példa: írja be a legkisebb négyzetek illesztési sorát, majd grafikonozza azt a sort, amely a legjobban megfelel az adatoknak

n = 8 pont: (-1,0),(0,0),(1,1),(2,2),(3,1),(4,2.5),(5,3) és (6,4).

Először is, meg a lejtőn (m) y-tengellyel (b), amely a legjobban közelítő ezen adatok felhasználásával, az egyenletek a korábbi szakasz:

ahhoz, Hogy megtalálja a lejtőn, számítsuk ki:

1. Az összeg a terméket az x-y koordináták \sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}.
2. az X-koordináták összege \sum_{i=1}^{n}x_{i}.
3. az y-koordináták összege \sum_{i=1}^{n}Y_{i}.

\displaystyle \begin{align} \sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}&&=57 \end{align} \displaystyle \begin{align} \sum_{i=1}^{n}x_{i}&&=20 \end{align}\displaystyle \begin{align} \sum_{i=1}^{n}y_{i}&&=13.5 \ end{align}

\ displaystyle m=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}\sum_{j=1}^{n}y_{j}}{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}^{2})-\frac{1}{n}(\sum_{i=1}^{n}x_{i})^{2}}

4. Számítsuk ki a számláló: a termék A x
y-koordináta
mínusz egy-nyolcadik a termék az összeg az x-koordinátákat, majd az összeg az y koordináták:

\displaystyle \sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}\sum_{j=1}^{n}y_{j}

A számláló a lejtőn egyenlet:

\displaystyle 57-\frac{1}{8}(20)(13.5)=23.25

5. Számítsa ki a nevezőt: A
összege a négyzetet az x-koordináták mínusz egy-nyolcadik összege az x-koordináták a négyzeten:

\displaystyle \sum_{i=1}^{n}(x_{i}^{2})-\frac{1}{n}(\sum_{i=1}^{n}x_{i})^{2}

\displaystyle \begin{align} \sum_{i=1}^{n}(x_{i}^{2})&&=92 \end{align}

A nevező 92-\frac{1}{8}(20)^{2}=92-50=42 a lejtőn a hányados, a számláló pedig nevező: \frac{23.25}{42}\approx0.554.

most az y-intercept esetében, (b) az x-koordináták átlagának egynyolcada: \bar{x}=\frac{20}{8}=2.Az y-koordináták átlagának 5-8-szorosa: \ bar{y} = \ frac{13,5}{8} = 1,6875.

ezért B = \ frac{1}{n} \ sum_{i=1}^{n} Y_{1} – m \frac{1}{n} \ sum_{i=1}^{n} x_{i}\\:

displaystyle b\approx1.6875-0.554(2.5)=0.3025.

végső egyenletünk tehát y = 0,554 x + 0,3025, és ezt a sort a pontokkal együtt ábrázoljuk.

kiugró értékek és a legkisebb négyzet regresszió

Ha van olyan pontunk, amely messze van a közelítő vonaltól, akkor eltorzítja az eredményeket, és sokkal rosszabbá teszi a vonalat. Például, mondjuk az eredeti példánkban, a pont helyett (-1,0) van (-1,6).

ugyanazokat a számításokat használva, mint fent az új ponttal, az eredmények: m\approx0.0536 és b\approx2.3035, az új egyenlet eléréséhez y=0,0536 x+2,3035.

az alábbi új ábrán látható pontokat és sorokat tekintve ez az új sor nem illeszkedik jól az adatokhoz a kiugró (-1,6) miatt. Valójában a lineáris modellek négyzetes, köbös vagy bármi nemlineáris adatokhoz való illesztése, vagy sok kiugró vagy hiba esetén az adatok rossz közelítést eredményezhetnek.