tanulási célok
e szakasz végére képes lesz:
- leírni a megfelelő hosszúságot.
- kiszámítja a hosszösszehúzódást.
- magyarázza el, miért nem vesszük észre ezeket a hatásokat a mindennapi mérlegekben.
1.ábra. Az emberek eltérő módon írhatják le a távolságokat, de relativisztikus sebességgel a távolságok valóban eltérőek. (hitel: Corey Leopold, Flickr)
hajtott már valaha olyan úton, amely úgy tűnik, mintha örökké folytatódik? Ha előre nézel, azt mondhatod, hogy körülbelül 10 km van hátra. Egy másik utazó azt mondhatja,hogy az előttünk álló út körülbelül 15 km hosszú. Ha mindketten megmérték az utat, azonban, egyetértene. A mindennapi sebességgel történő utazás, a távolság, amelyet mindketten mérnek, ugyanaz lenne. Ebben a szakaszban azonban el fogja olvasni, hogy ez relativisztikus sebességgel nem igaz. A fénysebesség közelében a mért távolságok nem azonosak, ha különböző megfigyelők mérik.
megfelelő hosszúság
egy dolog, amiben minden megfigyelő egyetért, a relatív sebesség. Annak ellenére, hogy az órák ugyanazt a folyamatot különböző eltelt időket mérnek, továbbra is egyetértenek abban, hogy a relatív sebesség, amely az eltelt idővel megosztott távolság, ugyanaz. Ez azt jelenti, hogy a távolság is a megfigyelő relatív mozgásától függ. Ha két megfigyelő különböző időket lát, akkor különböző távolságokat kell látniuk ahhoz, hogy a relatív sebesség azonos legyen mindegyikkel.
az 1. példában tárgyalt muon az Egyidejűségben és az Időtágulásban szemlélteti ezt a fogalmat. A földi megfigyelő számára a muon 0,950 c-on halad 7,05 µs-re attól az időponttól kezdve, amíg el nem bomlik. Így halad a távolság
L0 = vΔt = (0,950)(3,00 × 108 m/s)(7,05 × 10-6 s) = 2,01 km
a földhöz viszonyítva. A muon referenciakeretében élettartama mindössze 2,20 µs. Van elég ideje, hogy utazz
L0 = vΔt0 = (0.950)(3.00 × 108 m/s)(2.20 × 10-6 s) = 0.627 km-re.
ugyanazon két esemény (egy müon előállítása és bomlása) közötti távolság attól függ, hogy ki méri és hogyan mozog hozzá képest.
megfelelő hosszúság
megfelelő hosszúság L0 a megfigyelő által mért két pont közötti távolság, aki nyugalomban van mindkét ponthoz képest.
a földhöz kötött megfigyelő méri a megfelelő L0 hosszúságot, mivel a müon keletkezésének és bomlásának pontjai a földhöz viszonyítva állandóak. A müon felé a Föld, a levegő és a felhők mozognak, így a távolság, amit L lát, nem a megfelelő hosszúság.
2.ábra. a) a földhöz kötött megfigyelő látja, hogy a muon 2, 01 km-re halad a felhők között. b) a muon úgy látja, hogy ugyanazon az úton halad, de csak 0, 627 km távolságra. A föld, a levegő és a felhők a vázában lévő muonhoz képest mozognak, és úgy tűnik, hogy mindegyiknek kisebb hossza van az útirány mentén.
Hosszösszehúzódás
a különböző megfigyelők által mért távolságokra vonatkozó egyenlet kidolgozásához megjegyezzük, hogy a földhöz kötött megfigyelőhöz viszonyított sebességet a muon példánkban a
V=\frac{L_0}{\Delta {t}}\\\.
a földhöz kötött megfigyelőhöz viszonyított idő Δt, mivel az időzített objektum ehhez a megfigyelőhöz képest mozog. A mozgó megfigyelőhöz viszonyított sebességet
v=\frac{L}{\Delta{t}_0}\ \ adja.
a mozgó megfigyelő a muonnal utazik, ezért megfigyeli a Δt0 megfelelő időt. A két sebesség azonos; így
\frac{L_0}{\Delta{t}}}=\frac{L} {\Delta{t} _0}\.
tudjuk, hogy Δt = γΔt0. Az egyenlet helyettesítése a fenti összefüggésbe
L=\frac{L_0}{\gamma}\
a γ helyettesítése egyenletet ad a különböző megfigyelők által mért távolságokra vonatkozóan.
Hosszösszehúzódás
Hosszösszehúzódás L egy objektum mért hosszának lerövidítése, amely a megfigyelő keretéhez viszonyítva mozog.
\displaystyle{l}=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{C^2}}}\\
Ha a keretünkhöz képest mozgó bármi hosszát mérjük, akkor az L hossza kisebb, mint a megfelelő L0 hosszúság, amelyet akkor mérnénk, ha az objektum álló helyzetben lenne. Például a muon referenciakeretében rövidebb a távolság a pontok között, ahol előállították, és ahol romlott. Ezek a pontok a földhöz viszonyítva vannak rögzítve, de a muonhoz képest mozognak. A müon referenciakeretében a mozgás iránya mentén felhők és egyéb tárgyak is összehúzódnak.
1. példa. Hosszösszehúzódás kiszámítása: a csillagok közötti távolság összehúzódik, ha nagy sebességgel halad
tegyük fel, hogy egy űrhajós, például az egyidejűleg tárgyalt iker és az idő tágulása olyan gyorsan halad, hogy γ = 30.00.
- a földről a legközelebbi csillagrendszerbe, az Alpha Centauri-ba utazik, 4.300 fényévre (ly) távol a földhöz kötött megfigyelő mérésével. Milyen messze vannak egymástól a Föld és az Alfa Centauri az űrhajós mérései szerint?
- A C szempontjából mi a sebessége a Földhöz képest? Elhanyagolhatja a Föld mozgását a Naphoz képest. (Lásd A 3. Ábrát.)
3. ábra. a) a földhöz kötött megfigyelő méri a megfelelő távolságot a Föld és az Alfa Centauri között. b) az űrhajós megfigyel egy hosszösszehúzódást, mivel a Föld és az Alfa Centauri a hajójához képest mozog. Ezt a rövidebb távolságot kisebb idő alatt (megfelelő időben) utazhatja anélkül, hogy meghaladná a fénysebességet.
stratégia
első megjegyzés, hogy a fényév (ly) egy kényelmes távolságegység csillagászati skálán—ez a távolság fény utazik egy év alatt. Az 1.résznél vegye figyelembe, hogy az Alfa Centauri és a Föld közötti 4.300 ly távolság a megfelelő L0 távolság, mivel azt egy földhöz kötött megfigyelő méri, akinek mindkét csillag (megközelítőleg) álló. Az idegenek, a Föld pedig az Alfa Centauri mozog által ugyanabban a sebesség, így a köztük lévő távolság a szerződött hossza L. A 2. Rész kapnak, γ, ezért találunk v átrendezésével a meghatározása γ kifejezni v szempontjából c.
Megoldás 1. Rész
Azonosítani az ismer:
L0 − 4.300 ly; γ = 30.00
azonosítsa az ismeretlent: L
válassza ki a megfelelő egyenletet:
L= \ frac{l_0} {\gamma}\.
átrendezheti az egyenletet, hogy megoldja az ismeretlen.
\begin{array}{lll}L&&\frac{L_0}{\gamma}\\\text{ }&&\frac{4.300\text{ ly}}{30.00}\\\text{ }&&0.1433\text{ ly}\end{array}\\
Megoldás 2. Rész
Azonosítani az ismert: γ = 30.00
Azonosítani az ismeretlen: v in terms of c
Choose the appropriate equation.
\displaystyle\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\\
Rearrange the equation to solve for the unknown.
\begin{array}{lll}\gamma&&\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\\30.00&&\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\end{array}\\
Squaring both sides of the equation and rearranging terms gives
\displaystyle900.0=\frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}\\ annyira, hogy 1-\frac{v^2}{c^2}=\frac{1}{900}\\ s \frac{v^2}{c^2}=1-\frac{1}{900.0}=0.99888\dots\\
Véve a négyzetgyök, találunk \frac{v}{c}=0.99944\\, ami átrendezte, hogy készítsen egy érték a sebesség v = 0.9994 c.
Vita
Először is, emlékezz arra, hogy nem kerek le számítások, amíg a végső eredmény, vagy lehetne hibás eredményeket. Ez különösen igaz a speciális relativitási számításokra, ahol a különbségeket csak több tizedesjegy után lehet feltárni. A relativisztikus hatás itt nagy (γ = 30.00), és látjuk, hogy v közeledik (nem egyenlő) a fénysebesség. Mivel az űrhajós által mért távolság sokkal kisebb, az űrhajós sokkal kevesebb idő alatt képes utazni a keretben.
az embereket nagyon nagy távolságokra (több ezer vagy akár több millió fényévre) lehet küldeni, és csak néhány évvel az úton, ha rendkívül nagy sebességgel utaztak. De, mint az elmúlt évszázadok emigránsai, elhagyják a földet, amelyet örökre ismernek. Még akkor is, ha visszatértek, több ezer-millió év telt volna el a Földön, megsemmisítve a legtöbb létező dolgot. Van is egy komolyabb gyakorlati akadálya utazik ilyen sebességek; mérhetetlenül nagyobb energiákat, mint a klasszikus fizika jósolja lenne szükség, hogy elérjék az ilyen nagy sebességek. Ezt a Relatavisztikus energiában tárgyaljuk.
4.ábra. A nagy sebességű töltött részecske elektromos mezővonalait a mozgás iránya mentén hossz-összehúzódással összenyomják. Ez más jelet ad, amikor a részecske egy tekercsen megy keresztül, a hosszösszehúzódás kísérletileg ellenőrzött hatása.
miért nem vesszük észre a hossza összehúzódását a mindennapi életben? Úgy tűnik, hogy az élelmiszerbolt távolsága nem függ attól, hogy mozogunk-e vagy sem. Az L=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{C^2}} \ \ egyenletet vizsgálva azt látjuk, hogy alacsony sebességnél (v<< c) a hossz majdnem egyenlő, a klasszikus elvárás. De a hosszösszehúzódás valódi,ha nem gyakran tapasztalható. Például egy feltöltött részecske, mint egy elektron, relativisztikus sebességgel halad, olyan elektromos mezővonalakkal rendelkezik, amelyek a mozgás iránya mentén tömörülnek, amint azt egy helyhez kötött megfigyelő látja. (Lásd A 4. Ábrát.) Mivel az elektron áthalad egy detektoron, például egy tekercs huzalon, a mező sokkal rövidebben kölcsönhatásba lép, ami a részecskegyorsítóknál megfigyelhető hatás, például a 3 km hosszú Stanford lineáris gyorsító (SLAC). Valójában egy olyan elektronhoz, amely a SLAC sugárcsövén halad lefelé, a gázpedál és a Föld mind mozog, és hossza összehúzódik. A relativisztikus hatás annyira nagy, hogy a gyorsító csak 0,5 m hosszú az elektronhoz. Valójában könnyebb, hogy az elektronnyaláb le a csövet, mivel a fénysugár, nem kell olyan pontosan, amelynek célja, hogy egy rövid cső, mint egy 3 km hosszú. Ez ismét a speciális relativitáselmélet kísérleti ellenőrzése.
ellenőrizze megértését
egy részecske 0, 750 c sebességgel halad át a Föld légkörén. egy földhöz kötött megfigyelőhöz az általa megtett távolság 2, 50 km. Milyen messze halad a részecske a részecske referenciakeretében?
\displaystyle{l}=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{C^2}}=\bal(2.50\text{ km}\jobb)\sqrt{1-\frac{\bal(0.750 C\jobb)^2}{C^2}}=1.65\text{ km}\\
szakasz összefoglaló
- minden megfigyelő egyetért a relatív sebességgel.
- a távolság a megfigyelő mozgásától függ. Az L0 megfelelő hossza a megfigyelő által mért két pont közötti távolság, aki nyugalomban van mindkét ponthoz képest. A földhöz kötött megfigyelők megfelelő hosszúságot mérnek a Földhöz viszonyított két pont közötti távolság mérésekor.
- Hosszösszehúzódás L a megfigyelő keretéhez képest mozgó objektum mért hosszának rövidítése:
L = l_{0} \ sqrt{1 – \frac {v}^{2}}{{C}^{2}}}}}} = \ frac {l} _ {0}}} {\gamma}\\.
fogalmi kérdések
- kinek tűnik egy objektum hosszabbnak, egy megfigyelő, aki az objektummal vagy egy megfigyelővel mozog az objektumhoz képest? Melyik megfigyelő méri az objektum megfelelő hosszát?
- relativisztikus hatások, mint például az időtágulás és a hosszösszehúzódás jelen vannak az autók és repülőgépek esetében. Miért tűnnek furcsának ezek a hatások számunkra?
- tegyük fel, hogy egy űrhajós a fénysebesség jelentős hányadán mozog a Földhöz képest. a) megfigyeli, hogy az óráinak sebessége lelassult? b) milyen változást lát a földhöz kötött órák sebességében? c) úgy tűnik, hogy a hajója lerövidül? d) mi a helyzet a csillagok közötti távolsággal, amelyek a mozgásával párhuzamos vonalakon fekszenek? e) egyetért-e ő és egy földhöz kötött megfigyelő a Földhöz viszonyított sebességével?
problémák & gyakorlatok
- egy űrhajó, 200 m hosszú, mint látható a fedélzeten, mozog a Föld 0.970 c. mi a hossza, mint egy földhöz kötött megfigyelő?
- milyen gyorsan kell haladnia egy 6, 0 m hosszú sportkocsinak, hogy csak 5, 5 m hosszú legyen?
- a) Milyen messzire utazik a muon az 1. példában az Egyidejűségben és az Időtágulásban a földhöz kötött megfigyelő szerint? b) milyen messzire utazik, ahogy egy vele mozgó megfigyelő látja? Alapozza meg számítását a földhöz viszonyított sebességére és az élettartamára (megfelelő idő). C) ellenőrizze, hogy ez a két távolság összefügg-e a γ = 3,20 hosszösszehúzódással.
- (a) mennyi ideig élt a muon az 1. példában az Egyidejűségben és az Időtágulásban, ahogy a Földön megfigyelték, ha sebessége 0,0500 c volt? b) milyen messzire jutott volna a földön megfigyelt módon? c) milyen távolságra van ez a muon keretéből?
- (a) mennyi ideig tart az űrhajós az 1. példában, hogy 4, 30 ly-T utazzon 0, 99944 c-on (a földhöz kötött megfigyelő mérésével)? b) mennyi ideig tart az űrhajós szerint? (c) ellenőrizze, hogy ez a két alkalommal összefügg-e az idő tágulásával γ = 30,00-val.
- (a) Milyen gyorsan kell futnia egy sportolónak egy 100 m-es versenyre, hogy 100 yd hosszúnak tűnjön? b) összhangban van-e a válasz azzal a ténnyel, hogy a relativisztikus hatásokat rendes körülmények között nehéz megfigyelni? Magyarázd meg.
- ésszerűtlen eredmények. a) Keresse meg a γ értékét a következő helyzetben. Egy űrhajós méri az űrhajó hosszát 25,0 m-re, míg egy földhöz kötött megfigyelő 100 m-re méri. b) mi ésszerűtlen ez az eredmény? c) mely feltételezések ésszerűtlenek vagy következetlenek?
- ésszerűtlen eredmények. Egy űrhajó közvetlenül a Föld felé halad 0,800 c sebességgel. a fedélzeten lévő űrhajós azt állítja, hogy a Földhöz képest 1,20 c-on tartályt küldhet a Föld felé. (a) Számítsa ki a tartálynak az űrhajóhoz viszonyított sebességét. b) mi ésszerűtlen ez az eredmény? c) mely feltételezések ésszerűtlenek vagy következetlenek?
Szójegyzék
megfelelő hossz: L0; a távolság két pont között mért az olyan megfigyelő számára, aki a többi relatív, hogy mindkét pont; a Földön megfigyelők intézkedés megfelelő hosszúságú, amikor mérési távolság két pont között, amelyek helyhez képest a Föld
hossza összehúzódás: L, a lerövidítése a mért hossza mozgó tárgyat relatív, hogy a megfigyelő keret:
L=L_0\sqrt{1-\frac{{v}^{2}}{{c}^{2}}}=\frac{{L}_{0}}{\gamma}\\
a Kiválasztott Problémák megoldását & Gyakorlatok
1. 48, 6 m
3. a) 1.387 km = 1.39 km; B) 0.433 km; (c) \begin{array}{lllll}L&&\frac{{L}_{0}}{\gamma }&&\frac{1.387\times{10}^{3}\text{m}}{3.20}\\\text{ }&&433.4\text{ m}&&\text{0.433 km}\end{array}\\
Thus, the distances in parts (a) and (b) are related when γ = 3.20.
5. (a) 4.303 y (to four digits to show any effect); (b) 0.1434 y; (c) \Delta{t} = \ gamma \ Delta {t} _ {0} \ Rightarrow \ gamma = \ Frac{\Delta {t}}} {\Delta{T}_{0}}} = \ frac{4.303 \ text{ y}}{0.1434 {y}} = 30.0\
így a két alkalommal összefügg, amikor γ = 30.00.
7. a) 0.250; b) γ-nak ≥ 1-nek kell lennie; c) a földhöz kötött megfigyelőnek rövidebb hosszúságot kell mérnie, ezért ésszerűtlen hosszabb hosszúságot feltételezni.