van egy speciális típusú rendszer, amely további vizsgálatot igényel. Ezt a típusú rendszert homogén egyenletrendszernek nevezzük ,amelyet a fentiekben definiáltunk. Ebben a részben arra koncentrálunk, hogy megvizsgáljuk, milyen típusú megoldások lehetségesek egy homogén egyenletrendszer számára.
vegye figyelembe a következő meghatározást.
Definition \(\PageIndex{1}\): Triviális megoldás
vegye figyelembe a \ Then által megadott egyenletek homogén rendszerét, \(x_{1} = 0, x_{2} = 0, \cdots, x_{n} =0\) mindig megoldást jelent erre a rendszerre. Ezt triviális megoldásnak nevezzük .
Ha a rendszernek van olyan megoldása, amelyben nem minden \(x_1, \ cdots, x_n\) egyenlő nullával, akkor ezt a megoldást nem triviálisnak nevezzük . A triviális megoldás nem sokat mond nekünk a rendszerről, mivel azt mondja, hogy \(0=0\)! Ezért, amikor homogén egyenletrendszerekkel dolgozunk, szeretnénk tudni, hogy a rendszernek van-e nem triviális megoldása.
tegyük fel, hogy a \(m\) egyenletek homogén rendszere van, \(n\) változókat használva, és tegyük fel, hogy \(n > m\). Más szavakkal, több változó van, mint az egyenletek. Ezután kiderül, hogy ez a rendszer mindig nem triviális megoldás. Nem csak a rendszer nem triviális megoldással rendelkezik, hanem végtelenül sok megoldással is rendelkezik. Az is lehetséges, de nem szükséges, hogy egy nem triviális megoldás, ha \(n = m\) és \(n <m\).
vegye figyelembe a következő példát.
példa \(\PageIndex{1}\): Megoldások Homogén egyenletrendszer
keresse meg a nemtriviális megoldások a következő homogén egyenletrendszer \
Megoldás
Figyeljük meg, hogy ez a rendszer a \(m = 2\) egyenletek, \(n = 3\) változók, úgyhogy \(n>m\). Ezért korábbi vitánk alapján arra számítunk, hogy ennek a rendszernek végtelenül sok megoldása lesz.
a homogén egyenletrendszer megoldásainak megtalálásához használt folyamat ugyanaz a folyamat, amelyet az előző szakaszban használtunk. Először felépítjük a\\] által megadott kibővített mátrixot, majd ezt a mátrixot az alábbiakban adjuk meg. \\ ] A megfelelő egyenletrendszer \ mivel \(z\) semmilyen egyenlet nem korlátozza, tudjuk, hogy ez a változó lesz a paraméterünk. Hagyja \(z=t\) ahol \(t\) bármilyen szám. Ezért megoldásunk formája \ ezért ennek a rendszernek végtelenül sok megoldása van, egy paraméterrel \(t\).
tegyük fel,hogy a megoldást az előző példára egy másik formában írjuk. Pontosabban, \ lehet írni, mint \ = \ bal + t \ bal\] figyeljük meg, hogy már épített egy oszlopot a konstansok a megoldás (minden egyenlő \(0\)), valamint egy oszlop megfelelő együtthatók \(t\) minden egyenletben. Míg a megoldás ezen formáját részletesebben tárgyaljuk a további fejezetekben, most fontolja meg a \(t\) paraméter együtthatóinak oszlopát. Ebben az esetben ez a \(\bal\) oszlop.
ennek az oszlopnak van egy speciális neve, amely alapvető megoldás. A rendszer alapvető megoldásai a megoldás paramétereinek együtthatóiból felépített oszlopok. Gyakran jelöljük az alapvető megoldásokat \(X_1, X_2\) stb., attól függően, hogy hány megoldás fordul elő. Ezért például van az alapvető megoldás \(X_1 = \ bal\).
ezt tovább vizsgáljuk a következő példában.
példa \(\PageIndex{1}\): egy homogén rendszer alapvető megoldásai
vegye figyelembe a következő homogén egyenletrendszert. \ Keresse meg a rendszer alapvető megoldásait.
megoldás
ennek a rendszernek a kibővített mátrixa és a kapott \ \rightarrow \cdots \rightarrow \left\] egyenletekben írva ezt a rendszert \ Notice adja meg, hogy csak \ (x\) felel meg egy pivot oszlopnak. Ebben az esetben két paraméterünk lesz, az egyik a \(y\), a másik a \(z\). Legyen \ (y = s\) és \(z = t\) bármilyen számhoz \(s\) és \(t\). Ezután a megoldás lesz \ amely lehet írni, mint \ = \ bal + s \ bal + t \ bal\] itt látható, hogy van két oszlop együtthatók megfelelő paraméterek, kifejezetten egy \(s\) és egy \(t\). Ezért ennek a rendszernek két alapvető megoldása van! Ezek a\, X_2 = \ left\]
most egy új meghatározást mutatunk be.
Definition \(\PageIndex{1}\): Linear Combination
Let \(X_1,\cdots ,X_n,V\) be column mátrixok. Akkor azt mondják, hogy a \(V\) az oszlopok lineáris kombinációja \(X_1,\cdots, X_n\) ha léteznek skalárok, \(a_{1},\cdots, a_{n}\) úgy, hogy \
ennek a szakasznak a figyelemre méltó eredménye az, hogy az alapvető megoldások lineáris kombinációja ismét megoldás a rendszerre. Még figyelemre méltó, hogy minden megoldás lehet írni, mint egy lineáris kombinációja ezeket a megoldásokat. Ezért, ha a két megoldás lineáris kombinációját vesszük példának, ez is megoldás lenne. Például a következő lineáris kombinációt vehetjük fel:
\ + 2 \ left = \ left\] egy pillanatra ellenőriznie kell, hogy a \ = \left\]
valójában megoldás a rendszerre .
egy másik módja annak, hogy további információkat találjunk egy homogén rendszer megoldásairól, figyelembe kell venni a kapcsolódó együttható mátrix rangját. Most meghatározzuk, hogy mit jelent a mátrix rangja.
Definition \(\PageIndex{1}\): rank of a Matrix
Let \(a\) be a matrix and consider any of \(A\). Ezután a \(A\) vezető bejegyzéseinek \(r\) száma nem függ a választotttól, hanem \(A\) rangnak nevezik. A rangot(\(a\)) jelöljük.
hasonlóképpen meg tudtuk számolni a pivot pozíciók (vagy pivot oszlopok) számát A \(a\) rangjának meghatározásához.
példa \(\PageIndex{1}\): A Mátrix rangjának megtalálása
fontolja meg a mátrixot\\] mi a rangja?
megoldás
először meg kell találnunk a \(A\) értéket. A szokásos algoritmuson keresztül azt találjuk, hogy ez\\] itt van két vezető bejegyzés, vagy két pivot pozíció, fent a dobozokban.A \(A\) rang \(r = 2.\)
figyeljük meg, hogy mi volna elérni ugyanazt a választ, ha megtaláltuk volna a \(A\) helyett .
tegyük fel, hogy a \(m\) egyenletek homogén rendszere van a \(n\) változókban, és tegyük fel, hogy \(n > m\). A fenti vitánkból tudjuk, hogy ennek a rendszernek végtelenül sok megoldása lesz. Ha figyelembe vesszük a rendszer koefficiens mátrixának rangját, még többet megtudhatunk a megoldásról. Ne feledje, hogy csak az együttható mátrixot nézzük, nem a teljes kibővített mátrixot.
Tétel \(\PageIndex{1}\): Rang, az a megoldás, hogy egy Homogén Rendszer
Let \(A\) a \(m \n\) együttható mátrix megfelelő homogén egyenletrendszer, de gondolom, \(A\) a rangot \(r\). Ezután a megfelelő rendszer megoldása \(n-r\) paraméterekkel rendelkezik.
Tekintsük a fenti példát e tétel összefüggésében. Ebben a példában a rendszer\ (m = 2\) egyenletekkel rendelkezik \(n = 3\) változókban. Először is, mert \(n >m\), tudjuk, hogy a rendszernek nincs triviális megoldása, ezért végtelenül sok megoldás. Ez azt mondja nekünk, hogy a megoldás legalább egy paramétert tartalmaz. Az együttható mátrix rangja még többet mondhat nekünk a megoldásról! A rendszer koefficiens mátrixának rangja \(1\), mivel egy vezető bejegyzéssel rendelkezik . A tétel azt mondja nekünk, hogy a megoldásnak \(n-r = 3-1 = 2\) paraméterei vannak. Ellenőrizheti, hogy ez igaz-e a példa megoldásában .
vegye figyelembe, hogy ha \(n=m\) vagy \(n<m\), akkor lehet egyedi megoldás (amely triviális megoldás lesz) vagy végtelenül sok megoldás.
itt nem korlátozódunk homogén egyenletrendszerekre. A mátrix rangja felhasználható a lineáris egyenletek bármely rendszerének megoldásainak megismerésére. Az előző részben azt tárgyaltuk, hogy egy egyenletrendszernek nincs megoldása, egyedi megoldása vagy végtelenül sok megoldása. Tegyük fel, hogy a rendszer következetes, függetlenül attól, hogy homogén-e vagy sem. A következő tétel azt mondja nekünk, hogyan tudjuk használni a rangot, hogy megtudjuk, milyen típusú megoldás van.
Tétel \(\PageIndex{1}\): Rang, az a megoldás, hogy egy Következetes egyenletrendszer
a Hagyom \(A\) a \(m \times \left( n+1 \right)\) kibővített mátrix megfelelő következetes egyenletrendszer a \(n\) változók, valamint hiszem \(A\) a rangot \(r\). Akkor
-
a rendszer egy egyedi megoldás, ha a \(r = n\)
-
a rendszer végtelen sok megoldás van, ha a \(r < n\)
nem Fogunk jelenlegi hivatalos bizonyíték erre, de fontolja meg a következő megbeszélések.
-
nincs megoldás a fenti tétel feltételezi, hogy a rendszer következetes, vagyis van megoldása. Kiderül, hogy lehetséges, hogy egy megoldatlan rendszer kibővített mátrixa \(r\) legyen, amíg \(r>1\). Ezért tudnunk kell, hogy a rendszer következetes a tétel használatához!
-
egyedi megoldás tegyük \ (r=n\). Ezután a \(a\) koefficiens mátrix minden oszlopában van egy pivot pozíció. Ezért van egy egyedülálló megoldás.
-
végtelenül sok megoldás létezik \(r<n\). Aztán végtelenül sok megoldás van. Kevesebb pivot pozíció van (tehát kevesebb vezető bejegyzés), mint az oszlopok, ami azt jelenti, hogy nem minden oszlop egy pivot oszlop. Az oszlopok, amelyek \(nem\) pivot oszlopok megfelelnek a paramétereknek. Valójában ebben az esetben \(n-r\) paraméterek vannak.