🎯 miksi 0! = 1 (nolla factorial on yksi)?

äskettäin mietin erilaisia perusteluja 0: n määritelmälle! (factorial of zero), joka on

$$0!=1$$

oletettu arvo 1 voi tuntua varsin ilmeiseltä, jos tarkastellaan rekursiivista kaavaa. Se ei kuitenkaan tyydyttänyt minua ”matemaattisesti”. Siksi päätin kirjoittaa nämä lauseet. Annan motivaatiot vähemmän kehittyneille, mutta motivaatioita on myös hieman useammille sisäpiiriläisille.

️factorial in Scalar Calculator

️ factorial and recurrence

for integer n > 0 factorial määritellään seuraavasti

$$n!=n\times (n-1)\times (n-2)\times \ldots \times 2\times 1$$

helposti näet, että alla rekursiivinen kaava seuraa

$$n!=n\times (n-1)!$$

$ 1!=1$$

️ 0! = 1-toistumiseen perustuva motivaatio

pieni muutos

$$n!=n\times (n-1)!$$

antaa

$$(n-1)!= \frac{n!}{n}$$

korvaa N = 1

$$(1-1)!= \frac{1!}{1}$$

$$0!=1!=1$$

tämä selitys, vaikka se onkin helppo, ei anna (mielestäni) riittävän syvää ymmärrystä ”miksi tämän pitäisi olla paras vaihtoehto”.

❤ ️ factorial n! laskee N: N erillisten olioiden mahdolliset erilliset sekvenssit (permutaatiot)

oletetaan, että meillä on joukko,joka sisältää n: n elementtejä

$$\{1,2,\ldots, n\}$

nyt”S lasketaan alkuaineiden mahdollinen järjestys on tämä joukko

• n tapoja valita ensimmäinen alkio (koska meillä on koko joukko käytettävissä)
• n-1 tapoja valita toinen alkio (koska ensimmäinen oli jo valittu, on N-1 Vasen)
• n-2 tapaa valita kolmas elementti (koska kaksi oli jo valittu, jäljellä on n-2)
• …
• n- (k-1) tapoja valita elementti numero K (koska K-1 oli jo valittu, n- (k-1) jää)
• 2 tapaa valita elementti N-1 (koska N-2 valittiin, silti 2 jää)
• 1 tapa valita elementti n (koska N-1 valittiin, jäi vain yhdeksi)

lopuksi, laskien kaikki mahdolliset tavat, saamme

$$n\times (n-1)\times (n-2)\times \ldots \kertaa 2\kertaa 1=n!$$

johtopäätös: Factorial of n laskee joukon, joka sisältää n elementtejä, permutaation määrän.

❤ ️ n: n k-permutaatiot, joita joskus kutsutaan osittaisiksi permutaatioiksi tai muunnoksiksi

n: n k-permutaatiot ovat n: n joukon k-elementin osajoukon erilaisia järjestysjärjestyksiä. Tällaisten n: n k-permutaatioiden lukumäärä on

$$P_k^n = n\times (n-1)\times (n-2)\times\ldots\times \bigg(n-(k-1)\bigg) = \frac{n!{(n-k)!} $$

on helppo nähdä, että N: N permutaatio on permutaatio, joten

$$P_n^n=n!$$

$$n! = \frac{n!- mitä?} = \frac{n!}{0!} $$

seuraava oivallus miksi 0!=1 on oikea määritelmä tulee siitä, että mille tahansa n > 0 meillä pitäisi olla

$$0! \kertaa n! = n!$ $

️ Function as a sets mapping

Function

f:A\to B$$

funktio f : A → B, jossa jokaista A ∈ A on f(a) = b ∈ b, määrittelee alkuaineiden A ja b välisen suhteen. voidaan sanoa, että alkuaineet a ∈ a ja b ∈ B ovat suhteessa ”f”, jos ja vain jos f(A) = b.

uta️ funktio karteesisen tuotteen osajoukkona

funktio on binäärirelaatio, eli funktio voidaan ilmaista karteesisen tuotteen osajoukkona.

$$(a,b)\in F \subseteq a\times B \iff f(a)=b$$

️ injective function

injektiivinen funktio on funktio, joka säilyttää erotettavuuden: se ei koskaan kartoita Domeeninsa erillisiä osia samaan codomaininsa elementtiin. Piakkoin

$$x\neq y \Rightarrow f(x) \neq f(y)$$

️ surjective function

funktio f on surjektiivinen (tai onto), jos jokaista alkiota B codomainissa on ainakin yksi alkio a siten, että F(A)=B . X: n ei tarvitse olla uniikki.

$$f:A\to b$$

$${\large \displaystyle\forall_{B \in b} \quad\displaystyle\exists_{a\in a}\quad}f(a)=b$$

️ bijective function

bijektiivinen funktio eli yksi yhteen-vastaavuus on funktio, jossa yhden joukon jokainen alkio paritetaan täsmälleen yhden toisen joukon alkion kanssa ja toisen joukon jokainen alkio paritetaan täsmälleen yhden ensimmäisen joukon alkion kanssa. Siinä ei ole parittomia elementtejä.

matemaattisesti bijektiivinen funktio on sekä injective että surjective mapping of a set a to a set B.

uta️ bijective function vs Permutation

permutation on funktio, joka palauttaa joukon järjestyksen, eli jos ajatellaan n-elementtijoukkoa {1, 2, …, n}, niin permutaatio on funktio

$$p:\{1, 2,…, n\}\to\{1, 2,…, n\}$$

täyttää bijektiivisen funktion ehdon.

kysymällä permutaatioiden lukumäärästä voimme yhtä lailla kysyä, kuinka monta eri bijektiota annetusta joukosta on itsestään.

️ tyhjä funktio

tyhjä funktio on jokainen funktio, jonka verkkotunnus on tyhjä joukko.

f:\emptyset\to b$$

tyhjä funktio ”kaavio” on tyhjä joukko, koska domainin ja codomainin Karteesinen tulo on tyhjä.

$$\emptyset\times b = \emptyset$$

tyhjä funktio säilyttää erotettavuuden (on injective), koska verkkotunnuksessa (tyhjä joukko) ei ole kahta eri elementtiä, joille funktion arvo olisi yhtä suuri.

uta️ tyhjän funktion erikoistapaus

analysoidaan funktio, joka kartoittaa tyhjän joukon

$$f:\emptyset\to\emptyset$$

tällainen funktio on bijektio, koska se on injektiivinen funktio (kuten yllä on esitetty) eikä codomainissa ole mitään elementtiä (codomain on tyhjä joukko), joka ei ole suhteessa verkkotunnuksen elementteihin.

huomaa, että on olemassa täsmälleen yksi tällainen bijektio, joka on seurausta siitä, että funktio on karteesisen alueen ja codomainin tulon osajoukko. Tässä tapauksessa kyseessä on vain yksi mahdollinen sarja.

$$f:\emptyset\to\emptyset$$

$$\emptyset\times\emptyset = \emptyset$$

tyhjällä joukolla on täsmälleen yksi osajoukko, joka on tyhjä joukko – näin tällainen bijektio on yksikäsitteisesti määritelty.

️ 0! = 1 vs. tyhjä funktio

kirjoitin edellä, että n-alkiojoukon permutaatioiden määrä on yhtä suuri kuin tämän joukon itsensä erillisten bijektiivisten funktioiden määrä.

seuraava – 0-alkiojoukon permutaatio vastaa tyhjän joukon bijektiota tyhjäksi joukoksi/

tyhjän funktion erikoistapaus on vain 1 – ja esitin todisteen siitä, että on olemassa vain yksi tällainen funktio 🙂

melko syvä oivallus miksi 0! pitäisi 1.

uta️ gammafunktio

matematiikassa Gammafunktio on yksi faktorifunktion laajennuksista, jonka argumentti siirtyy alaspäin 1: llä reaali-ja kompleksilukuihin.

$$\Gamma (z)=\displaystyle\int_0^{+\infty}t^{z-1}e^{-t}DT$$

osien yhdistämisen jälkeen saadaan rekursiivinen kaava

$$\Gamma(z+1)=z\cdot\Gamma(z)$$

Katsotaanpa arvo

$$\Gamma(1)=?$$

$ $ \Gamma(1)=\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-t}DT=\displaystyle\int_{-\infty}^{0}e^{t}DT$$

seuraavat

$$\Gamma (n+1) = n!$$

$0! = \Gamma(1) = 1$$

⭐️ Scalar support for the Gamma function

Functions in Scalar Calculator, that support Gamma special function

• Gamma(x) – Gamma special function Γ(s)
• sgnGamma(x) – Signum of Gamma special function, Γ(s)
• logGamma(x) – Log Gamma special function, lnΓ(s)
• diGamma(x) – Digamma function as the logarithmic derivative of the Gamma special function, ψ(x)
• GammaL(s,x) – Lower incomplete gamma special function, γ(s,x)
• GammaU(s,x) – Upper incomplete Gamma special function, Γ(s,x)
• GammaP(s,x) , GammaRegL(s,x) – Lower regularized P gamma special function, P(s,x)
• GammaQ(s,x), GammaRegU(s,x) – Upper regularized Q Gamma special function, Q(s,x)

Gamma function chart

Gamma function vs Factorial chart

️ Number E and factorial relation

perustuu Taylorin sarjalaajennukseen e^x on helppo osoittaa, että

$$e=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!}+\ldots$$

Sequence convergence

This is fascinating, as it shows even stronger relation of factorial to e

Thanks for reading! All the best 🙂