funktio suhteuttaa tulon tulosteeseen.
 |
se on kuin kone, jolla on Tulo ja Lähtö. ja tuotos liittyy jotenkin tuloon. |
| f(x) |
Input, Relationship, Output
näemme monia tapoja ajatella funktioita, mutta aina on kolme pääosaa:
- input
- the relationship
- the output
esimerkki: ”kerrotaan by 2” on hyvin yksinkertainen funktio.
tässä on kolme osaa:
| Input | Relationship | Output |
|---|---|---|
| 0 | × 2 | 0 |
| 1 | × 2 | 2 |
| 7 | × 2 | 14 |
| 10 | × 2 | 20 |
| … | … | … |
For an input of 50, what is the output?
joitakin esimerkkejä funktioista
- x2 (neliö) on funktio
- x3+1 on myös funktio
- sini, kosini ja tangentti ovat trigonometriassa käytettyjä funktioita
- ja niitä on paljon enemmän!
mutta emme aio tarkastella tiettyjä funktioita …
… sen sijaan tarkastelemme funktion yleistä ideaa.
Nimet
ensin on hyödyllistä antaa funktiolle nimi.
yleisin nimi on ”f”, mutta meillä voi olla muitakin nimiä, kuten ”g” … tai vaikka marmeladia.
mutta käytetään ”f”:
sanomme, että ”F of x on yhtä kuin X potenssiin”
se, mikä menee funktioon, laitetaan sulkeisiin () funktion nimen jälkeen:
joten f(x) osoittaa meille funktion olevan ”f”, ja ”x” menee
ja yleensä näemme, mitä funktio tekee tulo:
f(x) = X2 osoittaa, että funktio ”f” ottaa ”x”: n ja neliöi sen.
esimerkki: with f(x) = x2:
- 4
- tuloksi tulee 16.
itse asiassa voimme kirjoittaa f(4) = 16.
”x” on vain paikan haltija!
älä huolestu liikaa ”x: stä”, se on vain siellä näyttämässä, mihin tulo menee ja mitä sille tapahtuu.
It could be any Any!
siis tämä funktio:
f(x) = 1 – x + x2
on sama funktio kuin:
- f(q) = 1 – q + q2
- h(a) = 1 – A + A2
- w(θ) = 1 – θ + θ2
muuttuja (x, q, A, jne) on just there so we know where to put the values:
f(2) = 1 – 2 + 22 = 3
joskus ei ole Funktion nimeä
joskus funktiolla ei ole nimeä, ja näemme jotain:
y = x2
mutta silti on:
- tulo (x)
- suhde (neliöiminen)
- ja ulostulo (y)
liittyvät
huipulla sanoimme funktion olevan kuin kone. Mutta funktiossa ei oikeastaan ole vöitä, rattaita tai mitään liikkuvia osia – eikä se itse asiassa tuhoa sitä, mitä siihen laitetaan!
funktio suhteuttaa tulon tulosteeseen.
sanomalla ”f(4) = 16” on kuin sanomalla 4 olisi jotenkin sukua 16: lle. Tai 4 → 16
esimerkki: tämä puu kasvaa 20 cm joka vuosi, joten puun korkeus suhteutetaan sen ikään funktiolla h:
h(ikä) = ikä × 20
joten, jos ikä on 10 vuotta, korkeus on:
h(10) = 10 × 20 = 200 cm
Tässä muutamia esimerkkiarvoja:
| Ikä | h(ikä) = ikä × 20 |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 1 | 20 |
| 3,2 | 64 | 300 |
| … | … |
What Types of Things Do Functions Process?
”Numbers” seems an obvious answer, but …
 |
… which numbers? For example, the tree-height function h(age) = age×20 makes no sense for an age less than zero. |
 |
… se voi olla myös kirjaimia (”A”→”B”) tai tunnistekoodeja (”A6309″→”Pass”) tai vieraita asioita. |
tarvitaan siis jotain voimakkaampaa, ja siinä tulevat joukot:
 |
jokaista joukon yksittäistä asiaa (kuten ”4” tai ”hattu”) kutsutaan jäseneksi eli elementiksi.
niin, funktio ottaa joukon elementtejä ja antaa takaisin joukon elementtejä.
funktio on erityinen
, mutta funktiolla on erityiset säännöt:
- sen täytyy toimia jokaiselle mahdolliselle tuloarvolle
- ja sillä on vain yksi suhde jokaiselle tuloarvolle
tämä voidaan sanoa yhdessä määritelmässä:
Funktion formaali määrittely
funktio suhteuttaa joukon jokaista alkiota
, jossa on täsmälleen yksi alkio anothersetistä
(mahdollisesti sama joukko).
kaksi tärkeää asiaa!
|
”…jokainen elementti…”tarkoittaa, että jokainen X: n alkio liittyy johonkin Y: n alkioon. sanomme, että funktio kattaa X: n (koskee jokaista sen alkiota). (mutta joihinkin Y: n elementteihin ei välttämättä liity lainkaan, mikä on hienoa.) |
|
”…täsmälleen yksi…”tarkoittaa, että funktio on yksi arvo. Se ei anna takaisin 2 tai enemmän tuloksia samasta panoksesta. joten ”f(2) = 7 tai 9” ei ole oikein! |
|
”One-to-many” ei ole sallittu, mutta ”many-to-one” on sallittu: |
||
| (one-to-many) | (monesta toiseen) | |
| tämä ei ole ok funktiossa | mutta tämä on OK funktiossa |
kun suhde ei noudata näitä kahta sääntöä niin se ei ole funktio … se on edelleen suhde, mutta ei funktio.
esimerkki: The relationship x → x2
Could also be written as a table:
| X: x | Y: x2 |
|---|---|
| 3 | 9 |
| 1 | 1 |
| 0 | 0 |
| 4 | 16 |
| -4 | 16 |
| … | … |
It is a function, because:
- jokainen X: n alkuaine liittyy Y: hen
- millään X: n alkuaineella ei ole kahta tai useampaa suhdetta
, joten se noudattaa sääntöjä.
(huomaa, miten sekä 4 että -4 liittyvät 16: een, mikä on sallittua.)
esimerkki: tämä suhde ei ole funktio:
se on relaatio, mutta se ei ole funktio, näistä syistä:
- arvo ”3” X: ssä ei ole relaatiota Y: ssä
- arvo ”4” X: ssä ei ole relaatiota Y: ssä
- arvo ”5” liittyy useampaan kuin yhteen arvoon Y: ssä
(mutta sillä, että ”6” Y: ssä ei ole suhdetta, ei ole väliä)
pystyviivakoe
graafissa yhden arvon ajatus tarkoittaa, että yksikään pystyviiva ei koskaan ylitä useampaa kuin yhtä arvoa.
Jos se ylittää useamman kerran, se on edelleen voimassa oleva käyrä, mutta ei ole funktio.
joillakin funktiotyypeillä on tiukemmat säännöt, jotta saadaan selville lisää, voidaan lukea Injective, Surjective ja bijective
äärettömän monta
esimerkeissäni on vain muutamia arvoja, mutta funktiot toimivat yleensä joukoilla, joissa on äärettömän monta alkiota.
esimerkki: y = x3
- tulojoukko ”X” on kaikki reaaliluvut
- lähtöjoukko ”Y” on myös kaikki reaaliluvut
emme voi näyttää kaikkia arvoja, joten tässä vain muutama esimerkki:
| x: x | y: x3 |
|---|---|
| -2 | -8 |
| -0.1 | -0.001 |
| 0 | 0 |
| 1.1 | 1.331 |
| 3 | 27 |
| and so on… | and so on… |
Domain, Codomain and Range
yllä olevissa esimerkeissämme
- joukkoa ”Y” kutsutaan Domainiksi,
- joukkoa ”Y” kutsutaan Codomainiksi, ja
- alkuaineiden joukkoa, johon tähdätään Y: ssä (funktion tuottamat todelliset arvot on nimeltään range.
meillä on erityinen sivu domainista, Rangesta ja Codomainista, jos haluat tietää enemmän.
niin monta nimeä!
funktioita on käytetty matematiikassa hyvin pitkään, ja niistä on syntynyt paljon erilaisia nimiä ja tapoja kirjoittaa funktioita.
Tässä muutamia yleisiä termejä, joihin kannattaa perehtyä:
esimerkki: z = 2u3:
esimerkki: F(4) = 16:
- ”4” voidaan kutsua ”argumentiksi”
- ”16” voidaan kutsua ”funktion arvoksi”
esimerkki: h(vuosi) = 20 × vuosi:
- h() on funktio
- ”vuosi” voidaan kutsua ”argumentiksi”, tai ”muuttuja”
- kiinteää arvoa kuten ”20” voidaan kutsua parametriksi
kutsumme usein funktiota ”f(x)”, kun todellisuudessa funktio on oikeasti ”f”
järjestetyt parit
ja tässä on toinen tapa ajatella funktioita:
Kirjoita funktion Tulo ja ulostulo ”järjestetyksi pariksi”, kuten (4,16).
niitä kutsutaan järjestetyiksi pareiksi, koska tulo tulee aina ensimmäisenä ja Lähtö toisena:
(input, output)
näin se näyttää:
( x, f(x) )
esimerkki:
(4,16) tarkoittaa, että funktio ottaa sisään ”4” ja antaa ulos ”16”
joukko järjestettyjä pareja
funktio voidaan sitten määritellä järjestettyjen parien joukoksi:
esimerkki: {(2,4), (3,5), (7,3)} on funktio, jonka mukaan
”2 on sukua 4: lle”, ”3 on sukua 5: lle” ja ”7 on sukua 3”.
huomaa myös, että:
- domeeni on {2,3,7} (tuloarvot)
- ja alue on {4,5,3} (lähtöarvot)
, mutta funktion on oltava yksikäsitteinen, joten sanomme myös
”Jos se sisältää (A, b) ja (A, c), niin B: n on oltava yhtä suuri kuin c”
, mikä on vain tapa sanoa, että tulo ”a” ei voi tuottaa kahta erilaista tulosta.
esimerkki: {(2,4), (2,5), (7,3)} ei ole funktio, koska {2,4} ja {2,5} tarkoittavat, että 2 voi liittyä 4: ään tai 5: een.
toisin sanoen se ei ole funktio, koska se ei ole yksiarvoinen
järjestettyjen parien etu
voimme piirtää niitä…
… koska ne ovat myös koordinaatteja!
joten koordinaattijoukko on myös funktio (jos ne noudattavat yllä olevia sääntöjä, eli)
funktio voi olla kappaleina
voimme luoda funktioita, jotka käyttäytyvät eri tavalla riippuen tuloarvosta
esimerkki: funktio, jossa on kaksi kappaletta:
- when x is less than 0, it gives 5,
- when x is 0 or more it gives x2
 |
Here are some example values:
|
Lue lisää paloittain funktioita.
eksplisiittinen vs. implisiittinen
vielä viimeinen aihe: termit ”eksplisiittinen” ja ”implisiittinen”.
eksplisiittinen on, kun funktio näyttää, miten mennään suoraan x: stä y: hen, kuten:
y = x3 − 3
kun tunnemme x: n, voimme löytää y
, joka on klassinen y = f(x) – tyyli, jonka kanssa työskentelemme usein.
implisiittinen on, kun sitä ei anneta suoraan kuten:
x2 − 3xy + y3 = 0
kun tiedämme x: n, miten löydämme y: n?
se voi olla vaikeaa (tai mahdotonta!) mennä suoraan X: stä Y: hen.
”implisiittinen” tulee sanasta ”implisiittinen”, toisin sanoen esitetty epäsuorasti.
kuvaaja
- Funktiograaferi voi käsitellä vain eksplisiittisiä funktioita,
- Yhtälögraaferi voi käsitellä molempia tyyppejä (mutta kestää hieman kauemmin, ja joskus erehtyy).
johtopäätös
- funktio liittyy tuloihin lähdöissä
- funktio ottaa elementtejä joukosta (verkkotunnus) ja suhteuttaa ne joukon alkuaineisiin (codomain).
- kaikkia tuotoksia (niihin liittyviä reaaliarvoja) kutsutaan yhdessä vaihteluväliksi
- funktio on erityinen relaatiotyyppi, jossa:
- jokainen osa-alueella on mukana, ja
- mikä tahansa tulo tuottaa vain yhden tuotoksen (ei tätä tai tuota)
- Tulo ja sen vastaava tuotos ovat yhdessä nimeltään järjestetty pari
- joten funktio voidaan nähdä myös järjestettyjen parien joukkona