Johdanto
- Jos se on fyysinen suure, kuten stressi, sitä kutsutaan yleensä tensoriksi.Jos se ei ole fysikaalinen suure, sitä kutsutaan yleensä matriisiksi.
- valtaosa insinööritensoreista on symmetrisiä. Yksi yhteinen kvantiteetti, joka ei ole symmetrinen, eikä sitä kutsuta tensoriksi, on rotaatiomatriisi.
- tensorit ovat itse asiassa mitä tahansa fysikaalista suuretta, joka voidaan esittää skalaarilla, vektorilla tai matriisilla.Nollan kertaluvun tensoreita, kuten massaakin, kutsutaan skalaareiksi, kun taas 1. kertaluvun tensoreita kutsutaan vektoreiksi.Esimerkkejä korkeamman kertaluvun tensoreista ovat jännitys -, rasitus-ja jäykkyystensorit.
- matriisin tai tensorin järjestys eli arvojärjestys on niiden osajoukkojen lukumäärä, jotka se sisältää. Vektori on 1. sijan tensori. 3×3 stressi tensor on 2. sija.
- Tensorien Koordinaattimuunnoksia käsitellään yksityiskohtaisesti tässä.
Identiteettimatriisi
identiteettimatriisi on
\\]
kertomalla mitä tahansa identiteettimatriisilla on sama kuin kertomalla yhdellä.
Tensor notaatio
Tensor notaation identiteettimatriisi on yksinkertaisesti \( \delta_{ij} \).Se on Kroneckerin Delta, joka on yhtä kuin 1 Kun \ (i = j \) ja 0 muuten.
onko se matriisi vai ei?
sävel puristeilta… Identiteettimatriisi on matriisi,mutta Kronecker deltateknisesti ei. \ (\delta_{ij} \) on yksittäinen skalaariarvo, joka on joko 1 tai 0 riippuen \(i\) ja \(j\) arvoista. Tämän vuoksi tensorin notaatio ei myöskään ole lihavoitu, koska se viittaa aina tensorien yksittäisiin komponentteihin, mutta ei koskaan tensoriin kokonaisuutena.
seuraa tästä linkistä viihdyttävää keskustelua jonkun sellaisen välillä, joka kuvaa sitä, ja jonkun toisen, joka ei.
Transponoi
matriisin transponointi peilaa sen osia pääviistoon. Matriisin \({\bf a}\) transpositio kirjoitetaan \({\bf a}^{\!T}\).
Transpose Example
\,\qquad\text{then}\qquad{\bf a}^{\!T} = \left\]
Tensor notaatio
\(a_{ij}\) transponaatio on \(a_{j\,i}\).
determinantit
\
Jos tensorin eli matriisin determinantti on nolla, sillä ei ole käänteistä.
Tensor notaatio
determinantin laskeminen voidaan kirjoittaa Tensor notaationa parilla eri tavalla
\ kahden matriisin tulon determinantti on sama kuin kahden matriisin determinanttien tulo. Toisin sanoen
\
muodonmuutosgradientin determinantti antaa differentiaalielementin alku-ja lopputilavuuden suhteen.
käänteismatriisin \({\bf a}\) käänteismatriisi kirjoitetaan \({\bf a}^{\!-1}\) ja sillä on seuraava erittäin tärkeä ominaisuus(katso kohta matriisikertolaskusta alla)
\
Jos \({\bf B}\) on \({\bf a}\) käänteisluku, niin
\
Tensor notaatio
\(a_{ij}\) käänteisluku kirjoitetaan usein \(a^{-1}_{ij}\).Huomaa, että tämä ei luultavasti ole täsmällisesti oikein, sillä kuten aiemmin on todettu, \(A_{ij}\) tai \(a^{-1}_{ij}\) eivät ole teknisesti matriiseja itsessään.Ne ovat vain matriisin osia. No niin…
käänteismatriisi voidaan laskea käyttämällä
\
matriisin Käänteismatriisia
Tämä sivu laskee 3×3-matriisin käänteismatriisin.
Transposes of Inverses of Transposes of…
matriisin transposition käänteisarvo on sama kuin matriisin transposition käänteisarvo. Koska järjestyksellä ei ole merkitystä, kaksoisoperaatio lyhennetään yksinkertaisesti muotoon \({\bf{a}}^{\!-T}\).
\
Matriisilisäys
Matriisit ja tensorit lisätään komponentti kerrallaan aivan kuten vektorit.Tämä ilmaistaan helposti tensorimerkinnällä.
\
Matriisikertolasku (Pistetuotteet)
kahden matriisin pistetulo kertoo jokaisen ensimmäisen rivin toisen sarakkeella. Tuotteet kirjoitetaan usein pisteellä matriisin merkintänä\ ({\bf a} \cdot {\BF B} \), mutta joskus ilman pistettä merkitään \( {\bf a} {\bf b}\). Multiplicationrules ovat itse asiassa parhaiten selittää Tensor notaatio.
\
(Huomaa, että tensorin notaatiossa ei käytetä pistettä.) \(K\) kummassakin tekijässä merkitsee automaattisesti
\
, joka on ensimmäisen matriisin I: S rivi kerrottuna toisen matriisin J: nnen sarakkeella. Jos haluat esimerkiksi laskea \(c_{23}\), Niin \(i=2\) ja \(j=3\), ja
\
Matriisikertolasku
Tämä sivu laskee kahden 3×3-matriisin pistetulon.
Matriisikertolasku ei ole kommutatiivinen
on hyvin tärkeää tunnistaa, että matriisikertolasku ei ole kommutatiivinen, ts.
\
tuotteiden Transpositiot ja Inverssit
tuotteen transpositio on transpositioiden tulo käänteisessä järjestyksessä, ja tuotteen käänteisarvo on käänteisessä järjestyksessä inverssien tulo.
Huomaa, että” käänteisessä järjestyksessä ” on kriittinen.Tätä käytetään laajasti muodonmuutosgradientteja ja vihreitä kantoja koskevissa jaksoissa.
\
Tämä koskee myös useita tuotteita. Esimerkiksi
\
tuote, jolla on oma Transpositio
matriisin ja sen oma transpositio on aina symmetrinen matriisi.\({\bf A}^T \cdot {\BF A}\) ja \({\bf a} \cdot {\bf a}^t\) antavat molemmat symmetrisiä, joskin erilaisia tuloksia.Tätä käytetään laajasti muodonmuutosgradientteja ja vihreitä kantoja koskevissa jaksoissa.
Kaksoispistetuotteet
kahden matriisin tuplapistetulo tuottaa skalaarin result.It kirjoitetaan matriisin notaatiolla \({\bf a}: {\bf b}\).Vaikka harvoin käytetään ulkopuolella continuum mekaniikka, on itse asiassa melko yleinen kehittyneissä sovelluksissa oflineaarinen elastisuus. Esimerkiksi \ ({1 \over 2} \sigma : \epsilon \)antaa kannan energiatiheydelle pienen mittakaavan lineaarisen elastisuuden.Jälleen kerran sen laskeminen selittyy parhaiten tensorimerkinnällä.
\
koska \(i\) ja \(j\) alaindeksit esiintyvät molemmissa tekijöissä, ne molemmat summataan siten, että
\