matematiikka

järjestelmän kehitys

omaa lukujärjestelmäämme, joka koostuu kymmenestä symbolista {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, kutsutaan hindulais-arabialaiseksi järjestelmäksi. Tämä on perus-kymmenen (desimaali) järjestelmä, koska paikka-arvot kasvavat potenssit kymmenen. Lisäksi tämä järjestelmä on positionaalinen, mikä tarkoittaa, että symbolin sijainti vaikuttaa kyseisen symbolin arvoon numeron sisällä. Esimerkiksi symbolin 3 sijainti numerossa 435681 antaa sille arvon, joka on paljon suurempi kuin symbolin 8 arvo samassa numerossa. Tutkimme tukijärjestelmiä tarkemmin myöhemmin. Näiden kymmenen symbolin kehittäminen ja niiden käyttö paikkajärjestelmässä tulee meille ensisijaisesti Intiasta.

kuva 10. Al-Biruni

se oli vasta viidestoista luvulla, että symbolit, että olemme tuttuja tänään ensimmäisen kerran muotoutui Euroopassa. Näiden lukujen ja niiden kehityksen historia ulottuu kuitenkin satojen vuosien taakse. Yksi tärkeä tietolähde tästä aiheesta on kirjailija al-Biruni, jonka kuva on esitetty kuvassa 10. Al-Biruni, jotka on syntynyt nykypäivän Uzbekistan, oli vieraillut Intiassa useaan otteeseen ja tehnyt kommentteja Intian numerojärjestelmä. Kun tarkastelemme alkuperää numerot, että al-Biruni kohdannut, meidän on mentävä takaisin kolmannen vuosisadan eaa tutkia niiden alkuperää. Tuolloin käytettiin Brahmi-numeroita.

Brahmi-numerot olivat monimutkaisempia kuin omassa modernissa järjestelmässämme käytetyt. Heillä oli erilliset symbolit numeroille 1-9, sekä erilliset symbolit 10, 100, 1000,…, myös 20, 30, 40,… ja muut 200, 300, 400, …, 900. Brahmi-symbolit 1, 2 ja 3 näkyvät alla.

näitä numeromerkkejä käytettiin aina 300-luvulle saakka, vaihteluina ajan ja maantieteellisen sijainnin kautta. Esimerkiksi ensimmäisellä vuosisadalla CE, yksi tietty joukko Brahmi-numeroita sai seuraavan muodon:

neljänneltä vuosisadalta lähtien voidaan itse asiassa jäljittää useita eri polkuja, joita Brahmi-numerot kulkivat päästäkseen eri pisteisiin ja inkarnaatioihin. Yksi noista poluista johti nykyiseen numerojärjestelmäämme ja kulki niin sanottujen Gupta-numeroiden kautta. Gupta-numerot olivat merkittäviä aikana, jota hallitsi Gupta-dynastia, ja ne levisivät koko valtakuntaan valloittaessaan maita neljännestä kuudenteen vuosisataan. Niiden muoto on seuraava:

siitä, miten numerot päätyivät Gupta-muotoonsa, on paljon keskustelua. On esitetty monia mahdollisia hypoteeseja, joista useimmat tiivistyvät kahteen perustyyppiin. Ensimmäisen hypoteesin mukaan numerot tulivat numeroiden nimien alkukirjaimista. Tämä ei ole harvinaista . . . kreikkalaiset numerot kehittyivät tällä tavalla. Toisen hypoteesityypin mukaan ne ovat peräisin jostakin varhaisemmasta lukujärjestelmästä. Tarjolla on kuitenkin muitakin hypoteeseja, joista yksi on tutkija Ifrah. Hänen teoriansa on, että alun perin oli yhdeksän numeroa, joista jokaista edusti vastaava määrä pystyviivoja. Yksi mahdollisuus on tämä:

koska Näiden symbolien kirjoittaminen olisi vienyt paljon aikaa, niistä kehittyi lopulta kaunokirjoitussymboleja, jotka voitiin kirjoittaa nopeammin. Jos vertaamme näitä edellä oleviin Gupta-lukuihin, voimme yrittää nähdä, miten tuo kehitysprosessi olisi voinut tapahtua, mutta mielikuvituksemme olisi lähes kaikki, mihin meidän tarvitsisi luottaa, koska emme tiedä tarkalleen, miten prosessi eteni.

Gupta-numerot kehittyivät lopulta toisiksi numeroiksi, joita kutsuttiin Nagarin numeroiksi, ja nämä kehittyivät edelleen aina yhdennelletoista vuosisadalle saakka, jolloin ne näyttivät tältä:

huomaa, että tähän mennessä on ilmestynyt 0: n tunnus! Mayat Amerikassa oli symboli nolla kauan ennen tätä, kuitenkin, kuten näemme myöhemmin luvussa.

nämä numerot omaksuivat Arabit, todennäköisimmin 700-luvulla islamilaisten tunkeutuessa Intian pohjoisosiin. Uskotaan, että arabit olivat mukana levittämässä niitä muualle maailmaan, mukaan lukien Espanjaan (katso alla).

muita esimerkkejä 1000-luvulle ulottuvista variaatioista ovat:

kuva 11. Devangari, kahdeksas vuosisata

kuva 12. Länsi-Arabi gobar, 900-luku

kuva 13. Espanja, 976 eaa

lopuksi, kuvio 14 esittää näiden numeroiden eri muotoja niiden kehittyessä ja lopulta lähentyessä viidettätoista vuosisataa Euroopassa.

kuva 14.

Roomalaiset numerot

enemmän paikkalukuarvosta

nykyinen lukujärjestelmämme on paikkalukujärjestelmä. Toisin sanoen mikä tahansa numero voi esiintyä missä tahansa asennossa ja asema, jossa se esiintyy, kertoo meille, mikä sen arvo on todellisuudessa kymmenen potensseissa. Tästä syystä meidän on käytettävä nollia paikan haltijoina.

Ex. Jotta luku 4057 olisi erilainen kuin luku 457, sisällytämme nollan satojen asemaan.

neljä tuhatta + nolla sataa + viisi kymppiä + seitsemän on eri asia kuin neljä sataa + viisi kymppiä + seitsemän.

4,057 = 4\ast 10^{3} + 0\ast 10^{2} + 5\ast 10^1 + 7\ast 10^{0}.

roomalaisten numeroiden edustama numerojärjestelmä oli peräisin antiikin Roomasta (753 eaa–476 jKr.) ja säilyi tavallisena numeroiden kirjoitustapana kaikkialla Euroopassa pitkälle Myöhäiskeskiajalle (käsitti yleensä 1300-ja 1400-luvuilla (n.1301-1500)). Numeroita tässä järjestelmässä edustavat latinalaisten aakkosten kirjainyhdistelmät. Nykyisin käytössä olevat roomalaiset numerot perustuvat seitsemään symboliin:

d m

symboli	V	X	l	C
arvo	1	5	10	50	500	1 000

roomalaisten numeroiden käyttö jatkui vielä pitkään Rooman valtakunnan rappion jälkeenkin. 1300-luvulta lähtien Roomalaiset numerot alkoivat useimmissa yhteyksissä korvautua kätevämmillä Hindu-arabialaisilla numeroilla; tämä prosessi oli kuitenkin asteittainen, ja roomalaisten numeroiden käyttö jatkuu joissakin pienissä sovelluksissa vielä tänäkin päivänä.

numerot 1-10 ilmaistaan yleensä roomalaisilla numeroilla seuraavasti:

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X.

luvut muodostetaan yhdistämällä symboleja ja lisäämällä arvot, joten II on kaksi (kaksi ykköstä) ja XIII on kolmetoista (kymmenen ja kolme ykköstä). Koska jokaisella numeraalilla on kiinteä arvo sen sijaan, että se edustaisi kymmenen, sadan ja niin edelleen kerrannaisia kannan mukaan, ei tarvita ”paikan pitämistä” nollia, kuten luvuissa 207 tai 1066; nämä numerot kirjoitetaan CCVII (kaksi sataa, viisi ja kaksi ykköstä) ja MLXVI (tuhat, viisikymmentä, kymmenen, viisi ja yksi).

symbolit asetetaan vasemmalta oikealle arvojärjestykseen alkaen suurimmasta. Kuitenkin muutamissa erityistapauksissa, jotta neljä merkkiä ei toistuisi peräkkäin (kuten IIII tai XXXX), käytetään subtraktiivista merkintää: kuten tässä taulukossa:

Number	4	9	40	90	400	900
Roman Numeral	IV	IX	XL	XC	CD	CM

In summary:

• i sijoitettu ennen V: tä tai X: ää ilmaisee yhden vähemmän, joten neljä on IV (yksi vähemmän kuin viisi) ja yhdeksän on IX (yksi vähemmän kuin kymmenen)
• X ennen L: ää tai C osoittaa kymmenen vähemmän, joten neljäkymmentä on XL (kymmenen vähemmän kuin viisikymmentä) ja yhdeksänkymmentä on XC (kymmenen vähemmän kuin sata)
• C ennen D: tä tai M: ää on sata vähemmän, joten neljäsataa on CD (sata vähemmän kuin viisisataa) ja yhdeksänsataa on CM (sata vähemmän kuin tuhat)

esimerkki

Kirjoita mcmiville hindu-arabialainen numero.

Näytä ratkaisu

Tuhat yhdeksänsataa neljä, 1904 (M on tuhat, CM on yhdeksänsataa ja IV on neljä)

kokeile sitä

Nykykäyttö

1000–luvulla Al-Andalusista oli tullut Eurooppaan hindulais-arabialaisia numeroita arabikauppiaiden ja aritmeettisten tutkielmien kautta. Roomalaiset numerot osoittautuivat kuitenkin hyvin pysyviksi, ja ne säilyivät yleisessä käytössä lännessä pitkälle 1300-ja 1400-luvuille, jopa kirjanpito-ja muissa liikeasiakirjoissa (joissa varsinaiset laskelmat olisi tehty helmitaululla). Niiden korvaaminen kätevämmillä ”arabialaisilla” vastineilla tapahtui melko vähitellen, ja roomalaisia numeroita käytetään vielä nykyäänkin tietyissä yhteyksissä. Muutamia esimerkkejä niiden nykyisestä käytöstä ovat:

Espanjan Real käyttäen iv: n sijasta ”IIII”

• monarkkien ja paavien nimiä, esim. Elisabet II Yhdistyneen kuningaskunnan, paavi Benedictus XVI.näitä kutsutaan regnal numerot; esim. II lausutaan ”toinen”. Tämä perinne alkoi Euroopassa satunnaisesti keskiajalla, ja yleistyi Englannissa vasta Henrik VIII: n hallituskaudella. Aiemmin monarkkia ei tunnettu numeraalisena, vaan epiteettinä, kuten Edvard Tunnustaja. Jotkut monarkit (esimerkiksi Espanjan Kaarle IV ja Ranskan Ludvig XIV) näyttävät suosineen IIII: n käyttöä IV: n sijasta kolikoissaan (KS.kuva yllä).
• Generational suffikses, erityisesti Yhdysvalloissa, ihmisille, jotka jakavat saman nimen eri sukupolvien välillä, esimerkiksi William Howard Taft IV.
• Ranskan vallankumouksen aikana aloitetussa tasavaltalaisessa kalenterissa Vuodet numeroitiin roomalaisin numeroin – vuodesta I (1792), jolloin kalenteri otettiin käyttöön, vuoteen XIV (1805), jolloin siitä luovuttiin.
• itse teokseen kuuluvien elokuvien, televisio-ohjelmien ja muiden taideteosten tuotantovuosi. On esitetty – BBC: n uutisissa, ehkä vitsikkäästi-että tämä tehtiin alun perin ” yrittäessään peitellä elokuvien tai televisio-ohjelmien aikakautta.”Teoksen ulkopuolella käytetään säännöllisiä Hindu-arabialaisia numeroita.
• tuntimerkinnät kelloissa. Tässä yhteydessä 4 kirjoitetaan yleensä IIII.
• Rakennusvuosi rakennusten julkisivuista ja kulmakivistä.
• kirjojen esipuheiden ja johdantojen sekä joskus myös liitteiden sivunumerointi.
• kirjan tilavuus-ja lukunumerot sekä näytelmän sisällä olevat useat näytökset (esim.näytös iii, Kohtaus 2).
• jatko-osia joistakin elokuvista, videopeleistä ja muista teoksista (kuten Rocky II: ssa).
• hahmottelee, että numeroiden avulla voidaan osoittaa hierarkkisia suhteita.
• toistuvan suurtapahtuman esiintymät, esim.:
  • kesä-ja talviolympialaiset (esim.XXI talviolympialaiset; XXX olympiadin ottelut)
  • Super Bowl, National Football Leaguen vuosittainen mestaruusottelu (esim. Super Bowl XXXVII; Super Bowl 50 on kertaluonteinen poikkeus)
  • WrestleMania, WWE: n vuosittainen showpainitapahtuma (esim. WrestleMania XXX). Tämäkin käyttö on ollut epäjohdonmukaista.