Magic Square

A magic square is a square array of numbers consisting of the distinct positive integers 1, 2, …, järjestetty siten, että lukujen summa millä tahansa vaaka -, pysty-tai pääviivajanalla on aina sama numero (Kraitchik 1942, s. 142; Andrews 1960, s. 1; Gardner 1961, s. 130; Madachy 1979, s. 84; Benson ja Jacoby 1981, s. 3; pallo ja Coxeter 1987, s. 193), joka tunnetaan taikavakiona

Jos jokainen luku taikaneliöstä vähennetään , saadaan toinen Taikaneliö, jota kutsutaan täydentäväksi Taikaneliöksi. Neliö, joka koostuu peräkkäisistä numeroista alkaen 1, tunnetaan joskus ”normaalina” taikaneliönä.

järjestyskolmikon ainutlaatuinen normaali neliö tunnettiin muinaiskiinalaisille, jotka kutsuivat sitä nimellä Lo Shu. Versiota järjestys – 4 taikaneliöstä, jossa numerot 15 ja 14 ovat vierekkäisissä keskimmäisissä sarakkeissa alarivissä, kutsutaan Dürerin taikaneliöksi. Yllä on esitetty järjestyksen 3-8 maagiset neliöt.

taikavakio TH järjestys yleinen Taikaneliö, joka alkaa kokonaisluvulla ja jossa merkinnät kasvavassa aritmeettisessa sarjassa erona termien välillä on

(hunter and madachy 1975).

on ratkaisematon ongelma määrittää mielivaltaisen kertaluvun taikaneliöiden lukumäärä, mutta kertaluvun , 2, … ovat 1, 0, 1, 880, 275305224, … (OEIS A006052; Madachy 1979, s. 87). The 880 neliöt järjestyksessä neljä oli lueteltu Frénicle de Bessy vuonna 1693, ja on kuvitettu Berlekamp et al. (1982, s.778-783). taikaneliöt on laskenut R. Schroeppel vuonna 1973. neliöitä ei tunneta, mutta Pinn ja Wieczerkowski (1998) arvioivat sen olevan käyttäen Monte Carlo-simulaatiota ja tilastollisen mekaniikan menetelmiä. Menetelmiä luetella magic neliöt ovat keskustelleet Berlekamp et al. (1982) ja MathPages-sivustolla.

neliötä, joka ei ole taikaa vain siksi, että toinen tai molemmat päävikojen summista eivät vastaa taikavakiota, kutsutaan puolimagiseksi neliöksi. Jos kaikki lävistäjät (myös ne, jotka on saatu käärimällä ympäri) maagisen neliösumman taikavakioon, neliön sanotaan olevan panmaginen neliö (kutsutaan myös pirulliseksi neliöksi tai pandiagonaaliseksi neliöksi). Jos jokaisen luvun korvaaminen sen neliöllä tuottaa toisen taikaneliön, sanotaan neliön olevan bimaginen neliö (tai tuplasti Taikaneliö). Jos neliö on magiaa ja , sitä kutsutaan trimagiseksi neliöksi (tai treblyn taikaneliöksi). Jos kaikki lukuparit ovat symmetrisesti keskussummaa vastapäätä , sanotaan neliön olevan assosiatiivinen Taikaneliö.

neliöt, jotka ovat yhteenlaskun sijasta magiaa, voidaan konstruoida, ja niitä kutsutaan kertolaskun taikaneliöiksi. Lisäksi voidaan konstruoida neliöitä, jotka ovat magiaa sekä yhteen-että kertolaskun alla, ja niitä kutsutaan yhteen-kertolaskun taikaneliöiksi (Hunter and Madachy 1975).

Kraitchik (1942) antaa yleisiä tekniikoita parillisten ja parittomien neliöiden rakentamiseksi järjestykseen odd, voidaan käyttää hyvin suoraviivaista siamilaismenetelmänä tunnettua tekniikkaa, kuten yllä on esitetty (Kraitchik 1942, s.148-149). Se alkaa sijoittamalla 1: n ylärivin keskimmäiseen neliöön, sitten asteittain sijoittamalla seuraavat numerot neliön yhden yksikön yläpuolelle ja oikealle. Laskenta kietoutuu niin, että ylhäältä putoaminen palaa pohjaan ja oikealta putoaminen palaa vasemmalle. Kun kohdalle tulee neliö, joka on jo täytetty, seuraava numero sijoitetaan sen sijaan edellisen alle ja menetelmä jatkuu entiseen tapaan. Menetelmästä, jota kutsutaan myös de la Louberen menetelmäksi, kerrotaan uutisoidun ensimmäisen kerran lännessä, kun de la Loubere palasi Ranskaan toimittuaan Siamin suurlähettiläänä.

tämän menetelmän yleistyksessä käytetään ”tavallista vektoria” , joka antaa offsetin jokaiselle kollidoitumattomalle siirrolle ja ”murtovektoria” , joka antaa offsetin käyttöön törmäyksessä. Siamilaisessa standardimenetelmässä on siis tavallinen vektori (1, ja murtovektori (0, 1). Jotta tämä tuottaisi taikaneliön, jokaisen taukoliikkeen on päätyttävä täyttämättömään soluun. Taikaneliöiden erikoisluokat voidaan konstruoida ottamalla huomioon absoluuttiset summat ja . Soita joukko näitä numeroita sumdiffs (summat ja erot). Jos kaikki sumdiffit ovat suhteellisen alkulukuja ja neliö on Taikaneliö, niin neliö on myös panmaginen neliö. Tämä teoria sai alkunsa de la Hiresta. Seuraavassa taulukossa on esitetty tavallisten ja murtovektorien tiettyjen valintojen sumdiffit.

J. H. Conway on pohtinut toista menetelmää parittomien taikaneliöiden tuottamiseksi nimellä ”imeskelytabletti” – menetelmä. Kuten edellä on esitetty, tässä menetelmässä parittomat luvut rakentuvat vinoviivoja pitkin neliön keskiosassa olevan timantin muotoon. Väliin jääneet parilliset numerot lisätään tämän jälkeen peräkkäin neliön ympäri käärimällä saadun lävistäjän jatkeeksi, kunnes kääritty lävistäjä saavuttaa alkupisteensä. Edellä mainitussa neliössä ensimmäinen lävistäjä täyttyy siis 1, 3, 5, 2, 4, toinen lävistäjä täyttyy 7, 9, 6, 8, 10, ja niin edelleen.

tyylikäs menetelmä kaksin verroin parillisten taikaneliöiden rakentamiseksi on piirtää s jokaisen osaneliöt ja täyttää kaikki ruudut järjestyksessä. Tämän jälkeen korvataan jokainen merkintä yliviivattavalla lävistäjällä tai vastaavasti käännetään yliviivattujen merkintöjen järjestys. Niinpä yllä olevassa esimerkissä yliviivattuja lukuja on alun perin 1, 4,…, 61, 64, joten merkintä 1 korvataan numerolla 64, 4 numerolla 61 jne.

hyvin elegantti menetelmä yksittäin tasaisen kertaluvun taikaneliöiden rakentamiseksi kanssa (kertaluvun 2 taikaneliötä ei ole) johtuu J. H. Conwaysta, joka kutsuu sitä ”LUX” – menetelmäksi. Luo ryhmä, jossa on rivit s, 1 rivi meitä, ja rivit s, kaikki pituus . Vaihda keskimmäinen U ja sen yläpuolella oleva L. Luo nyt kertaluvun Taikaneliö käyttäen siamilaista menetelmää, jonka keskipisteenä on kirjainten joukko (alkaen ylärivin keskimmäisestä neliöstä), mutta täytä jokainen kirjaimen ympärillä oleva neljän ruudun joukko peräkkäin kirjaimen määräämän järjestyksen mukaisesti. Tämä järjestys on kuvitettu vasemmalla puolella edellä kuva, ja valmis neliö on kuvitettu oikealle. Kirjainten L, U ja X” muodot ” viittaavat luonnollisesti täyttöjärjestykseen, mistä johtuu algoritmin nimi.

variaatioita taikaneliöistä voidaan myös konstruoida kirjaimilla (joko neliötä määriteltäessä tai siinä olevina merkintöinä), kuten alfamaginen neliö ja Temppeliherrojen Taikaneliö.

Taikaneliöihin on liitetty myös erilaisia numerologisia ominaisuuksia. Pivari yhdistää yllä kuvatut neliöt Saturnukseen, Jupiteriin, Marsiin, aurinkoon, Venukseen, Merkuriukseen ja Kuuhun. Viehättävät kuviot saadaan yhdistämällä peräkkäiset numerot jokaiseen neliöön (poikkeuksena auringon Taikaneliö).