oppimistavoitteet
tämän osion loppuun mennessä pystyt:
- kuvaamaan oikean pituuden.
- laske pituuden supistuminen.
- selitä, miksi emme huomaa näitä vaikutuksia arkiasteikolla.
kuva 1. Ihmiset saattavat kuvata etäisyyksiä eri tavalla, mutta relativistisilla nopeuksilla etäisyydet todella ovat erilaisia. (luotto: Corey Leopold, Flickr)
Oletko koskaan ajanut tiellä, joka tuntuu jatkuvan ikuisesti? Jos katsoo eteenpäin, voi sanoa, että matkaa on jäljellä noin 10 kilometriä. Toinen matkailija voisi sanoa, että edessä oleva tie näyttää noin 15 kilometrin pituiselta. Jos te molemmat mittaisitte tien, olisitte kuitenkin samaa mieltä. Arkinopeuksilla kulkiessa molempien mittaama matka olisi sama. Voitte kuitenkin lukea tästä osiosta, että tämä ei pidä paikkaansa relativistisilla nopeuksilla. Lähellä valonnopeutta mitatut etäisyydet eivät ole samoja, kun niitä mitataan eri havainnoijilla.
oikea Pituus
yksi asia, josta kaikki tarkkailijat ovat yhtä mieltä, on suhteellinen nopeus. Vaikka kellot mittaavat eri kulumisaikoja samaa prosessia varten, ne ovat silti yhtä mieltä siitä, että suhteellinen nopeus, joka on etäisyys jaettuna kuluneella ajalla, on sama. Tämä merkitsee sitä, että myös etäisyys riippuu havaitsijan suhteellisesta liikkeestä. Jos kaksi havainnoitsijaa näkee eri ajat, heidän täytyy myös nähdä eri etäisyydet, jotta suhteellinen nopeus olisi sama kummallekin.
esimerkissä 1 Simultaneity And Time Dilation käsitelty Myon havainnollistaa tätä käsitettä. Maan päällä olevalle tarkkailijalle myoni kulkee 0,950 c: n lämpötilassa 7,05 µs: n ajan sen valmistumisajankohdasta sen hajoamiseen saakka. Näin se kulkee matkan
L0 = vΔt = (0,950)(3,00 × 108 m/s)(7,05 × 10-6 s) = 2,01 km
suhteessa maahan. Muonin viitekehyksessä sen elinikä on vain 2,20 µs. Sillä riittää matkaa vain
L0 = vΔt0 = (0,950)(3,00 × 108 m/s)(2,20 × 10-6 S) = 0,627 km.
samojen kahden tapahtuman (myonin tuotanto ja hajoaminen) välinen etäisyys riippuu siitä, kuka sitä mittaa ja miten ne liikkuvat suhteessa siihen.
oikea Pituus
oikea pituus L0 on kahden pisteen välinen etäisyys, jonka mittaa levossa oleva havaitsija suhteessa molempiin pisteisiin.
maahan sidottu havaitsija mittaa sopivan pituuden L0, koska pisteet, joissa muoni syntyy ja hajoaa, ovat paikallaan suhteessa maahan. Muoniin liikkuu maa, ilma ja pilvet, joten sen näkemä etäisyys L ei ole oikea pituus.
kuva 2. a) maahan sidottu tarkkailija näkee myonin kulkevan 2,01 km pilvien välissä. B) muon näkee itsensä kulkevan samaa polkua, mutta vain 0,627 kilometrin matkan. Maa, ilma ja pilvet liikkuvat suhteessa kehyksessään olevaan muoniin, ja kaikilla näyttää olevan pienemmät pituudet kulkusuunnassaan.
pituuden supistuminen
kehittääksemme yhtälön, joka liittyy eri havainnoijien mittaamiin etäisyyksiin, huomaamme, että myonin esimerkissämme nopeus suhteessa maahan sidottuun havaitsijaan on annettu
v=\frac{L_0}{\Delta{t}}\\.
aika suhteessa maahan sidottuun havaitsijaan on Δt, koska ajoitettava kappale liikkuu suhteessa tähän havaitsijaan. Nopeuden suhteessa liikkuvaan havaitsijaan antaa
v=\frac{l}{\Delta{t}_0}\\\.
liikkuva havaitsija kulkee myonin mukana ja havaitsee siten oikean ajan Δt0. Nämä kaksi nopeutta ovat identtiset; siten
\frac{L_0}{\Delta{t}}=\frac{l}{\Delta{t}_0}\\\.
tiedämme, että Δt = γΔt0. Korvaamalla tämä yhtälö yllä olevaan suhteeseen saadaan
L=\frac{L_0}{\gamma}\\
korvaamalla γ saadaan yhtälö, joka liittyy eri havainnoijien mittaamiin etäisyyksiin.
Pituussupistus
Pituussupistus L on havaitsijan runkoon nähden liikkuvan kappaleen mitatun pituuden lyheneminen.
\displaystyle{l}=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{C^2}}\\
jos mittaamme jonkin liikkuvan pituuden suhteessa kehoomme, huomaamme sen pituuden L olevan pienempi kuin oikea pituus L0, joka mitattaisiin, jos kappale olisi paikallaan. Esimerkiksi muonin viitekehyksessä sen syntypisteiden ja hajoamispisteiden välinen etäisyys on lyhyempi. Nämä pisteet ovat kiinteitä suhteessa maahan, mutta liikkuvat suhteessa muoniin. Myös pilvet ja muut kappaleet supistuvat liikesuuntaan muonin viitekehyksessä.
Esimerkki 1. Pituuden supistumisen laskeminen: tähtien välinen etäisyys supistuu, kun matkaat suurella nopeudella
Oletetaan, että astronautti, kuten Samanaikaisuudessa ja Aikadilataatiossa käsitelty kaksonen, kulkee niin nopeasti, että γ = 30.00.
- se matkaa maasta lähimpään tähtijärjestelmään, Alfa Centauriin, 4 300 valovuoden (ly) päähän maahan sidotun havaitsijan mittaamana. Kuinka kaukana toisistaan maa ja Alfa Centauri ovat astronautin mittaamina?
- C: n suhteen, mikä on hänen nopeutensa suhteessa maahan? Voit laiminlyödä maan liikkeen suhteessa Aurinkoon. (KS. Kuva 3.)
kuva 3. a) maahan sidottu tarkkailija mittaa oikean etäisyyden maan ja Alfa Centaurin välillä. B) astronautti havaitsee pituussupistuksen, sillä maa ja Alfa Centauri liikkuvat suhteessa hänen alukseensa. Hän voi kulkea tämän lyhyemmän matkan pienemmässä ajassa (hänen oikea aika) ylittämättä valonnopeutta.
strategia
huomaa ensin, että valovuosi (ly) on tähtitieteellisessä mittakaavassa kätevä etäisyyden yksikkö—se on matka, jonka valo kulkee vuodessa. Osan 1 osalta on huomattava, että Alfa Centaurin ja maan välinen 4,300 ly: n etäisyys on oikea etäisyys L0, koska sen mittaa maahan sidottu havaitsija, jolle molemmat tähdet ovat (likimain) paikallaan. Astronautille maa ja Alfa Centauri liikkuvat samalla nopeudella, joten niiden välinen etäisyys on sopimuspituus L. osassa 2 meille annetaan γ, joten voimme löytää V järjestämällä γ: n määritelmän ilmaisemaan v: tä C: n suhteen.
ratkaisu osaan 1
tunnista knowns:
L0 − 4.300 ly γ = 30.00
Tunnista tuntematon: l
valitse sopiva yhtälö:
L=\frac{L_0}{\gamma}\\.
Järjestä yhtälö uudelleen ratkaistavaksi tuntemattomalle.
\begin{array}{ll}l&&\frac{L_0}{\gamma}\\\text{ }&&\frac{4.300\text{ ly}}{30.00}\\\text{ }&&0.1433\text{ ly}\end{array}\\
solution for part 2
tunnista tunnetut: γ = 30, 00
tunnista tuntemattomat: v in terms of c
Choose the appropriate equation.
\displaystyle\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\\
Rearrange the equation to solve for the unknown.
\begin{array}{lll}\gamma&&\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\\30.00&&\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\end{array}\\
Squaring both sides of the equation and rearranging terms gives
\displaystyle900.0=\frac{1}{1-\frac{v^2}{C^2}}\\ siten, että 1-\frac{v^2}{C^2}=\frac{1}{900}\\ ja \frac{v^2}{C^2}=1-\frac{1}{900.0}=0.99888\dots\\
kun otetaan neliöjuuri, löydämme \frac{v}{c}=0.99944\\, joka järjestetään uudelleen niin, että saadaan arvo nopeudelle v = 0.9994 c.
keskustelu
ensinnäkin, muista, että laskelmia ei pidä pyöristää ennen kuin lopullinen tulos on saatu, tai voit saada virheellisiä tuloksia. Tämä pätee erityisesti erityisiin suhteellisuusteorian laskutoimituksiin, joissa erot saattavat paljastua vasta useiden desimaalien jälkeen. Relativistinen vaikutus on tässä suuri (γ = 30.00), ja näemme, että v lähestyy (ei vastaa) valon nopeutta. Koska astronautin mittaama matka on niin paljon pienempi, astronautti voi matkustaa sen paljon lyhyemmässä ajassa kehyksessään.
ihmisiä voitiin lähettää hyvin suuria matkoja (tuhansia tai jopa miljoonia valovuosia) ja vanheta vain muutaman vuoden matkalla, jos he kulkivat erittäin suurilla nopeuksilla. Mutta menneiden vuosisatojen siirtolaisten tavoin he jättäisivät tuntemansa maan iäksi. Vaikka he palaisivatkin, maan päällä olisi kulunut tuhansia tai miljoonia vuosia ja tuhonnut suurimman osan siitä, mitä nykyään on. Tällaisilla nopeuksilla kulkemiselle on myös vakavampi käytännön este; tällaisten suurten nopeuksien saavuttamiseen tarvittaisiin suunnattomasti enemmän energiaa kuin klassinen fysiikka ennustaa. Tätä käsitellään Relatavistisessa energiassa.
kuva 4. Suurinopeuksisen varautuneen hiukkasen sähkökenttäviivat puristuvat liikesuuntaan pituussupistuman avulla. Tämä tuottaa erilaisen signaalin, kun hiukkanen kulkee kelan läpi, mikä on kokeellisesti todennettu pituuden supistumisen vaikutus.
miksi pituuden supistumista ei huomaa arjessa? Matka ruokakauppaan ei näytä riippuvan siitä, liikutaanko vai ei. Tarkastelemalla yhtälöä L = L_0\sqrt{1 – \frac{v^2}{C^2}}\\, näemme, että pienillä nopeuksilla (v<<c) pituudet ovat lähes yhtä suuret, klassinen odotus. Mutta pituussupistus on todellinen, jos ei yleisesti koettu. Esimerkiksi elektronin tavoin relativistisella nopeudella kulkevalla varautuneella hiukkasella on sähkökenttäviivoja, jotka puristuvat liikkumattoman havaitsijan näkemän liikesuunnan mukaan. (KS. Kuva 4.) Kun elektroni ohittaa detektorin, kuten johdinkelan, sen kenttä vuorovaikuttaa paljon lyhyemmin, mikä on havaittu hiukkaskiihdyttimissä, kuten 3 km pitkässä Stanford Linear Acceleratorissa (SLAC). Itse asiassa slacin säteputkea pitkin kulkevalle elektronille kiihdytin ja maa liikkuvat kaikki ohi ja niiden pituus supistuu. Relativistinen vaikutus on niin suuri kuin kiihdytin on vain 0,5 metriä pitkä elektroniin nähden. Elektronisuihkun saaminen putkea pitkin on itse asiassa helpompaa, sillä säteen ei tarvitse olla niin tarkasti tähdätty lyhyen putken alas pääsemiseksi kuin yhden 3 km pitkän putken alas. Tämä taas on erityisen suhteellisuusteorian kokeellinen verifiointi.
Tarkista ymmärryksesi
hiukkanen kulkee maan ilmakehän läpi nopeudella 0,750 C. maahan sidotulle havaitsijalle sen kulkema matka on 2,50 km. Kuinka pitkälle hiukkanen kulkee hiukkasen viitekehyksessä?
ratkaisu
\displaystyle{l}=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{C^2}}=\left(2.50\text{ km}\right)\sqrt{1-\frac{\left(0.750 c\right)^2}{C^2}}=1.65\text{ km}\\
Sektion yhteenveto
- kaikki tarkkailijat ovat yhtä mieltä suhteellisesta nopeudesta.
- etäisyys riippuu havaitsijan liikkeestä. Oikea pituus L0 on kahden pisteen välinen etäisyys, jonka mittaa levossa oleva havaitsija suhteessa molempiin pisteisiin. Maahan sidotut tarkkailijat mittaavat oikean pituuden mitatessaan kahden maahan nähden paikallaan pysyvän pisteen välistä etäisyyttä.
- pituuden supistuminen L on havaitsijan kehykseen nähden liikkuvan kappaleen mitatun pituuden lyheneminen:
L=l_{0}\sqrt{1-\frac{{v}^{2}}{{C}^{2}}=\frac{{L}_{0}} {\gamma}\\.
käsitteelliset kysymykset
- kummasta objekti näyttää pituudeltaan suuremmalta, objektin mukana liikkuvasta havaitsijasta vai objektin suhteen liikkuvasta havaitsijasta? Kuka tarkkailija mittaa kohteen oikean pituuden?
- autoissa ja lentokoneissa esiintyy Relativistisia vaikutuksia, kuten aikavääristymää ja pituuden supistumista. Miksi nämä vaikutukset tuntuvat meistä oudoilta?
- Oletetaan, että astronautti liikkuu suhteessa maahan merkittävällä murto-osalla valonnopeudesta. a) huomaako hän kellojensa nopeuden hidastuneen? b) minkä muutoksen hän näkee maahan sidottujen kellojen nopeudessa? C)näyttääkö hänen laivansa hänestä lyhentyvän? d) Mitä on sanottava tähtien välisestä etäisyydestä, joka on samansuuntainen hänen esityksensä kanssa? e) onko hän ja maahan sidottu tarkkailija yhtä mieltä hänen nopeudestaan suhteessa maahan?
Problems &harjoitukset
- 200 metriä pitkä avaruusalus liikkuu maan vierellä 0,970 C. Mikä on sen pituus mitattuna maahan sidotulla tarkkailijalla?
- kuinka nopeasti 6,0 metriä pitkän urheiluauton pitäisi kulkea ohitsesi, jotta se näyttäisi vain 5,5 metriä pitkältä?
- (a) kuinka pitkälle esimerkin 1 myoni Simultaanisuudessa ja Aikadilataatiossa kulkee maahan sidotun havaitsijan mukaan? b) miten pitkälle se kulkee sen mukana liikkuvan havainnoitsijan katseltuna? Perusta laskelmasi sen nopeuteen suhteessa maahan ja sen elämään (oikeaan aikaan). (C) Todista, että nämä kaksi etäisyyttä liittyvät pituuden supistumisen γ = 3,20.
- (a) kuinka kauan simultaanisuudessa ja Aikadilataatiossa esiintyvä myoni olisi elänyt maapallolla havaitun mukaisesti, jos sen nopeus olisi ollut 0,0500 c? b) miten pitkälle se olisi kulkenut, kuten maan päällä on havaittu? c) minkä matkan tämä on muonin kehyksessä?
- (a) kuinka kauan astronautilta kestää esimerkissä 1 matkustaa 4,30 ly 0,99944 c (mitattuna maahan sidotulla tarkkailijalla)? b) Kuinka kauan se kestää astronautin mukaan? (C) tarkistaa, että nämä kaksi kertaa liittyvät kautta aikadilaatio γ = 30.00 annettuna.
- (a) kuinka kovaa urheilijan pitäisi juosta 100 metrin kisassa näyttääkseen 100 vuotta pitkältä? b) onko vastaus sopusoinnussa sen kanssa, että relativistisia vaikutuksia on vaikea havaita tavallisissa olosuhteissa? Selittää.
- kohtuuttomia tuloksia. (a) Etsi arvo γ seuraavaan tilanteeseen. Astronautti mittaa avaruusaluksensa pituuden 25,0 metriksi, kun taas maahan sidottu tarkkailija mittaa sen 100 metriksi. b) mikä on järjetöntä tässä tuloksessa? c) mitkä oletukset ovat kohtuuttomia tai epäjohdonmukaisia?
- kohtuuttomia tuloksia. Avaruusalus on menossa suoraan kohti Maata nopeudella 0.800 C. aluksella oleva astronautti väittää, että hän voi lähettää kanisterin kohti Maata 1.20 c suhteessa maahan. (A) Laske kanisterin nopeus suhteessa avaruusalukseen. b) mikä on järjetöntä tässä tuloksessa? c) mitkä oletukset ovat kohtuuttomia tai epäjohdonmukaisia?
Sanasto
oikea pituus: L0; kahden pisteen välinen etäisyys mitattuna havaitsijalla, joka on levossa suhteessa molempiin pisteisiin; maahan sidotut havainnoitsijat mittaavat oikean pituuden mitatessaan kahden maahan nähden stationäärisen pisteen välistä etäisyyttä
pituussupistus: L, havaitsijan runkoon nähden liikkuvan kappaleen mitatun pituuden lyheneminen:
L=L_0\sqrt{1-\frac{{v}^{2}}{{C}^{2}}}=\frac{{L}_{0}}{\Gamma}\\
valitut ratkaisut ongelmiin & harjoitukset
1. 48, 6 m
3. a) 1,387 km = 1,39 km; b) 0.433 km; (c) \begin{array}{lllll}L&&\frac{{L}_{0}}{\gamma }&&\frac{1.387\times{10}^{3}\text{m}}{3.20}\\\text{ }&&433.4\text{ m}&&\text{0.433 km}\end{array}\\
Thus, the distances in parts (a) and (b) are related when γ = 3.20.
5. (a) 4.303 y (to four digits to show any effect); (b) 0.1434 y; (C) \Delta{t}=\gamma\Delta{T}_{0}\Rightarrow\gamma=\frac{\Delta{t}}{\Delta{T}_{0}}=\frac{4.303\text{ y}}{0.1434{ y}}=30.0\\
näin ollen nämä kaksi kertaa liittyvät toisiinsa, kun γ = 30.00.
7. (a) 0,250; (B) γ on oltava ≥ 1; (c) maahan sidotun havaitsijan on mitattava lyhyempi pituus, joten on kohtuutonta olettaa pitempää pituutta.